446. Przedział ufności dla korelacji

Współczynnik korelacji obliczony w próbie, na przykład r Pearsona, jest tylko oszacowaniem zależności występującej w populacji. Gdybyśmy powtórzyli badanie na innych osobach, otrzymalibyśmy zwykle nieco inną wartość. Dlatego sama liczba r nie wystarcza do oceny precyzji wyniku. Potrzebny jest przedział ufności dla korelacji, który pokazuje, jakie wartości korelacji populacyjnej są zgodne z danymi i przyjętym poziomem ufności.

W tej lekcji, będącej częścią podręcznika do szkolenia dostępnego na statystyk.edu.pl, skupimy się przede wszystkim na korelacji Pearsona. Omówimy także, kiedy ostrożniej podchodzić do klasycznej procedury i dlaczego przedział ufności powinien być raportowany razem z oszacowaniem punktowym.

1. Co oznacza przedział ufności dla korelacji?

Niech ρ oznacza prawdziwą, populacyjną korelację między dwiema zmiennymi ilościowymi, a r – korelację obliczoną w konkretnej próbie. W badaniu znamy r, natomiast ρ pozostaje nieznane. Przedział ufności jest sposobem opisania niepewności związanej z estymacją ρ.

Przykładowo, wynik r = 0,42 z 95% przedziałem ufności od 0,18 do 0,61 można opisać następująco: w badanej populacji dane są zgodne z korelacją dodatnią o wartości około 0,18–0,61, przy zastosowanej metodzie i założeniach. Nie oznacza to, że istnieje 95% prawdopodobieństwo, iż konkretna, stała wartość ρ znajduje się w tym przedziale. W klasycznej interpretacji częstościowej parametr ρ traktuje się jako stały, a procedurę ocenia się przez jej zachowanie w hipotetycznych powtórzeniach badania.

Jeżeli wielokrotnie losowalibyśmy próby z tej samej populacji i za każdym razem wyznaczali 95% przedział ufności tą samą metodą, to w długiej serii takich powtórzeń około 95% skonstruowanych przedziałów obejmowałoby prawdziwe ρ. Jest to własność procedury, a nie bezpośrednie prawdopodobieństwo przypisane jednemu już obliczonemu przedziałowi.

2. Dlaczego korelacja wymaga transformacji?

Wartość współczynnika korelacji jest ograniczona do zakresu od −1 do 1. Rozkład próbkowania r nie jest jednak zwykle symetryczny, szczególnie gdy korelacja w populacji jest daleka od zera albo próba jest niewielka. Bezpośrednie dodawanie i odejmowanie błędu standardowego od r może więc prowadzić do przedziałów o niewłaściwej długości, a czasem nawet wykraczających poza dopuszczalny zakres.

Klasycznym rozwiązaniem jest transformacja z Fishera. Została ona wprowadzona w celu uzyskania skali, na której rozkład estymatora jest bliższy rozkładowi normalnemu (Fisher, 1915). Najpierw przekształca się korelację z próby:

z = 0,5 × ln[(1 + r) / (1 − r)]

• z – przekształcona wartość korelacji;
• r – korelacja obliczona w próbie;
• ln – logarytm naturalny.

Następnie oblicza się błąd standardowy na skali z:

SEz = 1 / √(n − 3)

• SE_z – przybliżony błąd standardowy przekształconej korelacji;
• n – liczebność próby;
• √ – pierwiastek kwadratowy.

Dla 95% przedziału ufności wykorzystuje się wartość 1,96, odpowiadającą centralnemu obszarowi 95% standardowego rozkładu normalnego:

zdolna = z − 1,96 × SEz
zgórna = z + 1,96 × SEz

Na końcu obie granice przekształca się z powrotem na skalę korelacji:

r = [exp(2z) − 1] / [exp(2z) + 1]

W tym wzorze exp oznacza funkcję wykładniczą. Otrzymane granice są już wyrażone w tej samej skali co współczynnik korelacji, czyli od −1 do 1.

3. Przykład obliczeniowy

Załóżmy, że w badaniu 40 pacjentów oceniono zależność między poziomem aktywności fizycznej a skurczowym ciśnieniem tętniczym. Otrzymano korelację Pearsona r = −0,45.

Krok 1: transformacja korelacji

z = 0,5 × ln[(1 − 0,45) / (1 + 0,45)]

Po obliczeniu otrzymujemy w przybliżeniu z = −0,485.

Krok 2: błąd standardowy

SEz = 1 / √(40 − 3) = 1 / √37 ≈ 0,164

Krok 3: granice na skali z

zdolna = −0,485 − 1,96 × 0,164 ≈ −0,807
zgórna = −0,485 + 1,96 × 0,164 ≈ −0,163

Krok 4: powrót do skali korelacji

Po odwrotnej transformacji otrzymujemy w przybliżeniu 95% przedział ufności od −0,67 do −0,16.

Wynik można zaraportować tak: r(38) = −0,45, 95% CI [−0,67; −0,16]. Wskazuje to na ujemną zależność w próbie, a przedział obejmuje wartości od słabej do umiarkowanie silnej ujemnej korelacji. Ponieważ całość przedziału znajduje się poniżej zera, dane są niezgodne z brakiem liniowej zależności na poziomie odpowiadającym dwustronnemu testowi z α = 0,05. Nie należy jednak utożsamiać tego faktu z dowodem, że aktywność fizyczna powoduje obniżenie ciśnienia. Jeżeli badanie było obserwacyjne, wniosek powinien pozostać korelacyjny.

4. Jak interpretować szerokość przedziału?

Szerokość przedziału jest informacją o precyzji oszacowania. Wąski przedział oznacza, że wynik jest stosunkowo precyzyjny, natomiast szeroki wskazuje na większą niepewność. Na szerokość wpływają przede wszystkim liczebność próby, rzeczywista siła korelacji, zmienność danych oraz zgodność danych z założeniami wybranej metody.

Przedział [0,38; 0,56] wokół r = 0,47 jest znacznie bardziej precyzyjny niż przedział [0,02; 0,74] przy tej samej wartości punktowej. W obu przypadkach korelacja z próby wynosi 0,47, ale drugi wynik pozostawia znacznie więcej możliwych wartości korelacji populacyjnej.

Wąski przedział nie oznacza automatycznie dużego efektu ani znaczenia praktycznego. Duża próba może dać bardzo precyzyjny przedział wokół korelacji bliskiej zeru. Z kolei mała próba może dać pozornie dużą korelację, ale z bardzo szerokim przedziałem. Dlatego należy oddzielać trzy pytania:

• jak duża jest korelacja, czyli o wielkości efektu;
• jak precyzyjnie ją oszacowano, czyli o szerokości przedziału;
• czy ma ona znaczenie praktyczne w danym kontekście medycznym, psychologicznym lub społecznym.

5. Przykład z psychologii i zdrowia publicznego

W badaniu 120 studentów pielęgniarstwa zmierzono nasilenie objawów stresu oraz liczbę godzin snu. Zaobserwowano korelację r = −0,31, a 95% CI wyniósł [−0,47; −0,14]. Taki wynik oznacza, że większe nasilenie stresu wiązało się w próbie z mniejszą liczbą godzin snu. Przedział wskazuje, że populacyjna korelacja może być słaba lub umiarkowana i ma kierunek ujemny.

Nie wolno jednak powiedzieć, że stres „skraca sen” na podstawie samej korelacji. Możliwe są inne wyjaśnienia: mniejsza liczba godzin snu może zwiększać podatność na stres, obie zmienne może kształtować obciążenie zajęciami, a pomiar może obejmować wspólne błędy. Przedział ufności zwiększa przejrzystość wnioskowania, ale nie zmienia obserwacyjnego charakteru projektu.

Warto też zauważyć, że przedział nie odpowiada na pytanie, czy zależność jest wystarczająco ważna dla praktyki. Jeżeli celem programu profilaktycznego jest poprawa snu o co najmniej godzinę, sama korelacja nie określa, czy interwencja osiągnie taki efekt. Potrzebne byłyby odpowiednie miary wyniku i projekt pozwalający ocenić zmianę.

6. Korelacja Spearmana a przedział ufności

Dla korelacji rang Spearmana można spotkać różne sposoby wyznaczania przedziałów ufności. Klasyczna transformacja Fishera bywa stosowana jako przybliżenie, ale jej własności nie są identyczne jak w przypadku korelacji Pearsona. W praktyce można rozważyć przedział bootstrapowy, szczególnie gdy dane są skośne, zawierają odstające obserwacje albo zależność nie jest dobrze opisana przez model normalny.

Bootstrap polega na wielokrotnym losowaniu ze zwracaniem obserwacji z badanej próby, ponownym obliczaniu korelacji i wykorzystaniu rozkładu tych wyników do wyznaczenia granic przedziału. Metoda nie jest magicznym rozwiązaniem: przy małej próbie, silnych obserwacjach odstających lub zależności między obserwacjami także może działać słabo. Dobór metody powinien zależeć od struktury danych, a nie wyłącznie od tego, którą opcję oferuje program statystyczny (Bonett i Wright, 2000; Bishara i Hittner, 2015).

7. Przedział ufności a test istotności

Jeżeli 95% przedział ufności dla korelacji nie obejmuje zera, odpowiada to – przy standardowych założeniach i dwustronnym teście – odrzuceniu hipotezy H₀: ρ = 0 na poziomie α = 0,05. Jeżeli przedział obejmuje zero, nie ma wystarczających podstaw do odrzucenia tej hipotezy.

Nie oznacza to, że wartość p jest prawdopodobieństwem prawdziwości hipotezy zerowej. Wartość p opisuje zgodność danych z hipotezą zerową w określonym modelu i przy założeniu, że hipoteza ta jest prawdziwa. Przedział ufności dostarcza natomiast informacji o zakresie wartości parametru zgodnych z danymi i metodą wnioskowania.

W praktyce raportowanie samego p jest niewystarczające. Zalecane jest podanie współczynnika, liczebności próby, przedziału ufności oraz krótkiej interpretacji merytorycznej (Kelley i Preacher, 2012).

8. Najczęstsze błędy

• Interpretowanie przedziału jako prawdopodobieństwa dla parametru. W klasycznej interpretacji 95% odnosi się do długookresowej skuteczności procedury.
• Traktowanie korelacji jako dowodu przyczynowości. Korelacja nie rozstrzyga kierunku wpływu ani roli zmiennych zakłócających.
• Obliczanie przedziału metodą r ± 1,96 × SE bez sprawdzenia skali. Dla korelacji Pearsona zalecana jest zwykle transformacja Fishera, zwłaszcza przy małych i średnich próbach.
• Ignorowanie wartości odstających. Pojedyncza obserwacja może istotnie zmienić zarówno r, jak i jego przedział ufności.
• Porównywanie dwóch korelacji na podstawie nakładania się przedziałów. Nakładanie się lub brak nakładania przedziałów nie jest ogólną, poprawną metodą testowania różnicy między korelacjami. Do tego celu potrzebna jest procedura uwzględniająca zależność między korelacjami, ich wspólne zmienne oraz projekt badania (Zou, 2007).
• Przekładanie szerokości przedziału na znaczenie kliniczne. Precyzja statystyczna nie jest tym samym co użyteczność dla pacjenta.
• Używanie korelacji do oceny zgodności dwóch metod pomiaru. Dwie metody mogą być silnie skorelowane, a mimo to systematycznie różnić się wartościami. Ocena zgodności wymaga odrębnych analiz, na przykład podejścia Bland–Altmana (Bland i Altman, 1986).

9. Przykład praktyczny: jak napisać wynik?

Załóżmy, że w grupie 85 osób z przewlekłą chorobą oceniono zależność między wynikiem kwestionariusza zmęczenia a jakością życia. Otrzymano r = −0,52 oraz 95% CI [−0,66; −0,34]. Poprawny opis może brzmieć:

Wynik kwestionariusza zmęczenia był umiarkowanie ujemnie skorelowany z jakością życia, r(83) = −0,52, 95% CI [−0,66; −0,34]. Przedział ufności wskazuje na ujemną zależność o populacyjnej wartości prawdopodobnie mieszczącej się między słabą a umiarkowanie silną. Ze względu na obserwacyjny charakter badania wynik nie stanowi dowodu, że zmęczenie powoduje obniżenie jakości życia.

Warto podać również sposób obliczenia korelacji, informację o brakach danych, kontrolę obserwacji odstających oraz uzasadnienie wyboru Pearsona albo Spearmana. Jeżeli analiza była zaplanowana przed obejrzeniem wyników, należy to odnotować. Jeżeli korelacje były liczone dla wielu par zmiennych, trzeba uwzględnić problem wielokrotnego testowania lub jasno opisać eksploracyjny charakter analizy.

Co warto zapamiętać?

1. Współczynnik r jest oszacowaniem, a nie bezbłędnym pomiarem korelacji populacyjnej.
2. Przedział ufności pokazuje niepewność oszacowania i jego precyzję.
3. Dla korelacji Pearsona często stosuje się transformację z Fishera: najpierw na skalę z, a następnie z powrotem na skalę korelacji.
4. Przedział ufności nie jest prawdopodobieństwem, że stały parametr znajduje się w konkretnym przedziale.
5. Brak istotności statystycznej nie dowodzi braku zależności; może wynikać między innymi z małej próby i szerokiego przedziału.
6. Istotność statystyczna, wielkość efektu, precyzja i znaczenie praktyczne są odrębnymi aspektami wyniku.
7. Korelacja nie dowodzi przyczynowości, a wysoka korelacja nie dowodzi zgodności dwóch metod pomiaru.
8. Najbardziej informacyjny raport zawiera korelację, liczebność próby, 95% CI, metodę analizy oraz interpretację dostosowaną do projektu badania.

Źródła i dalsza lektura

1. Fisher, R. A. (1915). Frequency distribution of the values of the correlation coefficient in samples from an indefinitely large population. Biometrika, 10(4), 507–521. DOI: 10.1093/biomet/10.4.507.
2. Bonett, D. G., & Wright, T. A. (2000). Sample size requirements for estimating Pearson, Kendall and Spearman correlations. Psychometrika, 65(1), 23–28. DOI: 10.1007/BF02294183.
3. Zou, G. Y. (2007). Toward using confidence intervals to compare correlations. Psychological Methods, 12(4), 399–413. DOI: 10.1037/1082-989X.12.4.399.
4. Bishara, A. J., & Hittner, J. B. (2012). Testing the significance of a correlation with nonnormal data: Comparison of Pearson, Spearman, transformation, and resampling approaches. Psychological Methods, 17(3), 399–417. DOI: 10.1037/a0028087.
5. Kelley, K., & Preacher, K. J. (2012). On effect size. Psychological Methods, 17(2), 137–152. DOI: 10.1037/a0028086.
6. Bland, J. M., & Altman, D. G. (1986). Statistical methods for assessing agreement between two methods of clinical measurement. The Lancet, 327(8476), 307–310. DOI: 10.1016/S0140-6736(86)90837-8.