277. Błąd standardowy średniej a odchylenie standardowe – nie myl tych miar

Odchylenie standardowe i błąd standardowy średniej często pojawiają się obok siebie w tabelach, wykresach i publikacjach naukowych. Ich podobne skróty — odpowiednio SD i SEM lub SE — sprzyjają pomyłkom. Nie są to jednak dwie nazwy tej samej miary. Odchylenie standardowe opisuje zróżnicowanie pojedynczych obserwacji, natomiast błąd standardowy średniej opisuje precyzję oszacowania średniej populacyjnej na podstawie próby. Rozróżnienie to jest jednym z podstawowych warunków poprawnego przedstawiania wyników badań, zwłaszcza w medycynie, psychologii, pielęgniarstwie i zdrowiu publicznym (Altman i Bland, 2005). ([bmj.com])

Dwie miary, dwa pytania badawcze

Najprościej zapamiętać różnicę, zadając dwa pytania:

• Jak bardzo różnią się między sobą osoby lub pomiary w mojej próbie? Odpowiedzią jest przede wszystkim odchylenie standardowe.
• Jak precyzyjnie średnia z mojej próby przybliża średnią w populacji? Do tego służy błąd standardowy średniej.

Odchylenie standardowe jest więc miarą zmienności danych. Jeżeli badamy czas oczekiwania pacjentów na przyjęcie do poradni, SD mówi, jak bardzo czasy poszczególnych pacjentów różnią się od średniego czasu oczekiwania. Jeżeli natomiast chcemy oszacować średni czas oczekiwania w całej populacji pacjentów korzystających z tej poradni, interesuje nas także niepewność średniej. Jej przybliżeniem jest SEM.

Ważne jest, że SEM nie opisuje tego, jak bardzo różnią się pacjenci. Dwie próby mogą mieć takie samo SD, ale różne SEM, jeśli liczą różną liczbę obserwacji. Analogicznie, dwie próby o tej samej liczebności mogą mieć różne SEM, jeżeli różnią się zmiennością.

Odchylenie standardowe: rozproszenie pojedynczych obserwacji

Odchylenie standardowe informuje o typowej odległości obserwacji od średniej arytmetycznej. Dla próby można je zapisać wzorem:

s = √[Σ(xi − x̄)2 / (n − 1)]

W tym wzorze:

• s oznacza odchylenie standardowe w próbie;
• xi oznacza wartość pojedynczej obserwacji;
• x̄ oznacza średnią arytmetyczną w próbie;
• n oznacza liczbę obserwacji;
• Σ oznacza sumowanie po wszystkich obserwacjach;
• n − 1 jest mianownikiem stosowanym przy estymacji zmienności populacji na podstawie próby.

Kwadrat różnicy (xi − x̄)2 sprawia, że odchylenia dodatnie i ujemne nie znoszą się wzajemnie. Pierwiastek przywraca wynik do jednostki oryginalnej zmiennej. Jeżeli mierzono ciśnienie skurczowe w mmHg, zarówno średnia, jak i SD są wyrażone w mmHg. Dzięki temu odchylenie standardowe jest łatwe do interpretacji w kontekście klinicznym.

Nie należy jednak traktować SD jako uniwersalnego przedziału, w którym muszą znajdować się wszystkie obserwacje. Przy rozkładzie zbliżonym do normalnego około 68% obserwacji leży w przybliżeniu w zakresie średnia ± 1 SD, a około 95% w zakresie średnia ± 2 SD. Przy silnej skośności lub obecności wartości odstających takie przybliżenia mogą być mylące. Sama definicja SD pozostaje poprawna, ale interpretacja oparta na regule 68–95–99,7 wymaga odpowiedniego kształtu rozkładu (Altman i Bland, 2005). ([bmj.com])

Błąd standardowy średniej: niepewność oszacowania średniej

Klasyczny wzór na błąd standardowy średniej ma postać:

SEM = s / √n

Oznaczenia są następujące:

• SEM oznacza błąd standardowy średniej;
• s oznacza odchylenie standardowe w próbie;
• n oznacza liczebność próby;
• √n oznacza pierwiastek kwadratowy z liczebności próby.

Wzór pokazuje dwie rzeczy. Po pierwsze, im większe zróżnicowanie obserwacji, tym większy SEM. Po drugie, im większa próba, tym mniejszy SEM, ponieważ średnia obliczona z większej liczby niezależnych obserwacji jest zwykle bardziej stabilna. Zależność od liczebności nie jest liniowa: aby zmniejszyć SEM dwukrotnie, trzeba — przy niezmiennym SD — zwiększyć liczebność aż czterokrotnie.

SEM należy rozumieć jako miarę zmienności średnich uzyskiwanych w hipotetycznych, wielokrotnie powtarzanych próbach z tej samej populacji. Nie jest on bezpośrednim opisem zróżnicowania osób w badaniu. W tym sensie SEM należy do narzędzi wnioskowania statystycznego, nawet jeśli bywa prezentowany w tabeli statystyk opisowych (Streiner, 1996). ([journals.sagepub.com])

Dlaczego SEM maleje wraz z liczebnością?

Wyobraźmy sobie populację pacjentów, z której losujemy wiele prób o tej samej liczebności. Każda próba będzie miała nieco inną średnią. Rozkład tych średnich nazywamy rozkładem z próby dla średniej. Odchylenie standardowe tego rozkładu jest właśnie błędem standardowym średniej.

Jeżeli pojedyncze obserwacje są bardzo zróżnicowane, średnie z małych prób mogą wyraźnie się między sobą różnić. Gdy zwiększamy liczebność, przypadkowe odchylenia poszczególnych osób częściowo się równoważą. Średnie z większych prób są więc mniej rozproszone. Nie oznacza to, że pacjenci stają się bardziej podobni. Zmniejsza się jedynie niepewność dotycząca średniej populacyjnej.

To rozróżnienie jest kluczowe: większa próba może zmniejszyć SEM, ale nie musi zmniejszyć SD. Gdybyśmy przebadali więcej osób z tej samej populacji, indywidualne różnice zdrowotne nadal mogłyby być duże.

Przykład 1: ciśnienie skurczowe pacjentów

W badaniu 25 pacjentów poradni kardiologicznej średnie ciśnienie skurczowe wyniosło 142 mmHg, a odchylenie standardowe 15 mmHg.

Błąd standardowy średniej wynosi:

SEM = 15 / √25 = 15 / 5 = 3 mmHg

Poprawna interpretacja jest następująca: ciśnienia pojedynczych pacjentów różniły się od średniej w sposób opisany przez SD = 15 mmHg, natomiast niepewność oszacowania średniego ciśnienia na podstawie tej próby jest opisana przez SEM = 3 mmHg.

Niepoprawne byłoby stwierdzenie, że „większość pacjentów miała ciśnienie 142 ± 3 mmHg”. Taki zapis sugerowałby, że pacjenci byli skupieni w wąskim zakresie. Tymczasem 3 mmHg dotyczy precyzji średniej, a nie rozrzutu indywidualnych ciśnień.

Jeżeli założenia odpowiedniej metody są spełnione, SEM można wykorzystać do wyznaczenia przedziału ufności dla średniej. Przybliżony 95-procentowy przedział można zapisać jako:

x̄ ± 1,96 × SEM

Dla przykładu daje to około:

142 ± 1,96 × 3 = 142 ± 5,88

czyli w przybliżeniu od 136,1 do 147,9 mmHg. Przy małej próbie i nieznanym odchyleniu populacyjnym częściej należy użyć wartości krytycznej rozkładu t-Studenta zamiast 1,96. W publikacji trzeba podać metodę oraz poziom ufności, a nie tylko sam SEM. Przedział ufności jest zwykle bardziej informacyjny dla czytelnika niż SEM przedstawiony bez dodatkowego kontekstu (Altman, Machin, Bryant i Gardner, 2000).

Przykład 2: wynik kwestionariusza stresu u studentów

Załóżmy, że 100 studentów pielęgniarstwa wypełniło skalę stresu. Średni wynik wyniósł 28 punktów, a SD = 10 punktów.

Wtedy:

SEM = 10 / √100 = 10 / 10 = 1 punkt

SD = 10 punktów mówi, że wyniki studentów były dość zróżnicowane. SEM = 1 punkt mówi, że średnia 28 punktów jest oszacowana z większą precyzją niż w próbie o tej samej zmienności, ale liczącej na przykład 25 osób. Gdyby liczebność wynosiła 25, SEM byłby równy 2 punkty.

Nie wolno wyciągać wniosku, że studenci różnili się między sobą przeciętnie o 1 punkt. Taka interpretacja myliłaby SEM z SD. Nie należy też twierdzić, że SEM dowodzi braku różnic indywidualnych. Przeciwnie — w tym przykładzie SD wskazuje na wyraźne zróżnicowanie wyników.

SEM a przedział ufności

SEM jest składnikiem obliczeń prowadzących do przedziału ufności, ale nie jest tym samym co przedział ufności. SEM jest pojedynczą liczbą wyrażającą standardową niepewność estymatora średniej. Przedział ufności zawiera dolną i górną granicę oraz poziom ufności, na przykład 95%.

W praktycznym raportowaniu warto rozważyć następującą zasadę:

• gdy opisujesz zróżnicowanie obserwacji, podaj średnią i SD;
• gdy opisujesz precyzję oszacowania średniej, podaj średnią i 95% przedział ufności;
• SEM podawaj wtedy, gdy jego rola jest jasna i została nazwana w tabeli, legendzie lub tekście;
• nie zastępuj SD przez SEM tylko dlatego, że SEM daje „mniejsze” i wizualnie bardziej uporządkowane słupki błędów.

W wielu pracach wykresy średnich z paskami SEM mogą sprawiać wrażenie, że obserwacje są mało zróżnicowane. Jest to szczególnie problematyczne, gdy celem wykresu jest opis badanej grupy. Altman i Bland podkreślali, że SD i SE odpowiadają na odmienne pytania: pierwsza miara dotyczy zmienności danych, druga — precyzji estymacji (Altman i Bland, 2005). ([bmj.com])

Czy mniejszy SEM oznacza lepsze dane?

Nie zawsze. Mały SEM może wynikać z dużej liczebności próby, a nie z małego zróżnicowania lub wysokiej jakości pomiaru. Przy bardzo dużej próbie można uzyskać bardzo mały SEM nawet wtedy, gdy wyniki poszczególnych osób są znacznie zróżnicowane. Mały SEM nie informuje również sam w sobie o trafności pomiaru, reprezentatywności próby ani braku błędów systematycznych.

Nie należy też traktować SEM jako pełnej miary błędu pomiaru. W literaturze medycznej termin „standard error” może odnosić się do różnych parametrów, a błąd pomiaru powinien być analizowany zgodnie z konstrukcją badania i właściwościami narzędzia. Bland i Altman zwracali uwagę, że zmienność pomiaru może zależeć od poziomu mierzonej cechy, dlatego nie zawsze można założyć stały błąd na całej skali wyników (Bland i Altman, 1996; Bland i Altman, 1996a). ([bmj.com])

Najczęstsze błędy

1. Traktowanie SD i SEM jako synonimów. SD opisuje rozproszenie obserwacji, a SEM precyzję średniej.
2. Raportowanie średnia ± SEM jako opisu pacjentów. Jeżeli celem jest pokazanie różnic między pacjentami, właściwsze jest średnia ± SD albo mediana i IQR, zależnie od rozkładu.
3. Porównywanie SEM między grupami bez uwzględnienia liczebności. SEM zależy od n, więc mniejszy SEM może wynikać wyłącznie z większej próby.
4. Interpretowanie SEM jako średniego błędu pojedynczego pomiaru. SEM średniej i standardowy błąd pomiaru to różne pojęcia.
5. Uznawanie braku nakładania się pasków SEM za formalny test różnic. Wizualna ocena wykresu nie zastępuje analizy różnicy między grupami i jej przedziału ufności.
6. Podawanie SEM bez liczebności, SD i definicji skrótu. Czytelnik powinien wiedzieć, co dokładnie oznacza przedstawiona miara.
7. Wyciąganie wniosków przyczynowych z samego SEM. SEM dotyczy precyzji oszacowania, a nie przyczynowości.
8. Mylenie istotności statystycznej ze znaczeniem praktycznym. Duża próba może dać mały SEM i bardzo wąski przedział ufności, ale różnica nadal może być klinicznie mało istotna.

Przykład praktyczny: raportowanie wyników badania

W badaniu oceniano czas do podania pierwszej dawki antybiotyku u 64 pacjentów przyjętych w trybie pilnym. Średni czas wyniósł 52 minuty, SD = 16 minut, a SEM = 2 minuty.

Raport opisowy powinien brzmieć na przykład: „Średni czas do podania pierwszej dawki antybiotyku wyniósł 52 minuty (SD = 16; n = 64)”. Taki zapis informuje o rozrzucie czasów między pacjentami.

Jeśli celem jest oszacowanie średniego czasu w populacji podobnych zgłoszeń, można dodatkowo podać 95% przedział ufności dla średniej. Wtedy SEM jest użyty w obliczeniu, ale czytelnik otrzymuje bardziej bezpośrednią informację o niepewności: „średnia 52 minuty; 95% CI: …”. Dokładne granice powinny być wyznaczone z użyciem odpowiedniej wartości krytycznej rozkładu t-Studenta dla 63 stopni swobody.

Gdyby w raporcie napisano „czas wyniósł 52 ± 2 minuty”, bez wyjaśnienia, czy 2 oznacza SD, SEM czy połowę szerokości przedziału ufności, zapis byłby niejednoznaczny. W publikacji naukowej należy zawsze wskazać jednostkę, liczebność próby i nazwę miary.

Jak wybierać miarę w tabeli lub na wykresie?

Dobór miary powinien wynikać z celu prezentacji:

Cel prezentacji	Zwykle właściwa miara	Przykładowy zapis
Opis zróżnicowania osób w próbie	SD	średnia = 52 min, SD = 16 min
Opis precyzji oszacowanej średniej	95% CI	średnia = 52 min, 95% CI: dolna–górna granica
Obliczenia dotyczące testu lub modelu	SE odpowiedniego estymatora	β = 0,42, SE = 0,15
Opis asymetrycznego rozkładu	Mediana i IQR	mediana = 48 min, IQR = 35–63 min

W tabelach wyników dobrze jest stosować konsekwentne oznaczenia i dodać przypis: „SD — odchylenie standardowe; SE — błąd standardowy; CI — przedział ufności”. Jeśli wykres wykorzystuje paski błędu, legenda powinna wyraźnie określać, czy są to SD, SEM czy 95% CI.

Co warto zapamiętać?

• SD opisuje dane. Pokazuje, jak bardzo pojedyncze obserwacje różnią się między sobą.
• SEM opisuje średnią. Informuje o precyzji średniej jako oszacowania średniej populacyjnej.
• SEM = SD / √n. Przy stałym SD rośnie precyzja średniej wraz ze wzrostem liczebności próby.
• Mały SEM nie oznacza małego zróżnicowania osób. Może wynikać przede wszystkim z dużej próby.
• Do opisu grupy najczęściej używa się SD, a do prezentacji niepewności oszacowania — 95% CI.
• Nigdy nie podawaj „średnia ± wartość” bez wyjaśnienia, co oznacza ta wartość.
• SEM nie jest miarą istotności klinicznej ani dowodem przyczynowości.

W ramach publicznego szkolenia na statystyk.edu.pl warto przećwiczyć tę różnicę na własnych tabelach: najpierw określić, czy opisujemy zmienność pacjentów, czy precyzję średniej, a dopiero potem wybrać SD, SEM albo przedział ufności. Taki prosty porządek decyzji ogranicza jeden z najczęstszych błędów w raportowaniu wyników ilościowych.

Źródła i dalsza lektura

1. Altman, D. G., & Bland, J. M. (2005). Standard deviations and standard errors. BMJ, 331(7521), 903. DOI: 10.1136/bmj.331.7521.903.
2. Streiner, D. L. (1996). Maintaining Standards: Differences between the Standard Deviation and Standard Error, and When to Use Each. Canadian Journal of Psychiatry, 41(8), 498–502. DOI: 10.1177/070674379604100805.
3. Kirkwood, B. R., & Sterne, J. A. C. (2003). Essential Medical Statistics. 2nd edition. Blackwell Science.
4. Altman, D. G., Machin, D., Bryant, T. N., & Gardner, M. J. (eds.) (2000). Statistics with Confidence: Confidence Intervals and Statistical Guidelines. 2nd edition. BMJ Books.
5. Bland, J. M., & Altman, D. G. (1996). Measurement error. BMJ, 313(7059), 744. DOI: 10.1136/bmj.313.7059.744.