453. Korelacja punktowo-dwuseryjna – kiedy się pojawia?

W poprzednich lekcjach analizowaliśmy korelację Pearsona, jej interpretację, ograniczenia oraz wpływ rozkładu i obserwacji odstających. Teraz przechodzimy do szczególnego przypadku: sytuacji, w której jedna zmienna jest ilościowa, a druga ma tylko dwie kategorie. Przykładem może być stężenie hemoglobiny i informacja, czy u pacjenta wystąpiła niedokrwistość, wynik testu psychologicznego i płeć zakodowana jako dwie kategorie albo czas reakcji i poprawność odpowiedzi: poprawna–błędna.

W takich sytuacjach można zastosować korelację punktowo-dwuseryjną, oznaczaną najczęściej jako r_pb. Jest ona szczególnym przypadkiem współczynnika korelacji Pearsona, gdy jedna ze zmiennych jest ilościowa, a druga dychotomiczna, czyli przyjmuje dokładnie dwie wartości. Wartość tego współczynnika opisuje kierunek i siłę związku, ale nie dowodzi przyczynowości. W praktyce w kursie na statystyk.edu.pl traktujemy ją jako miarę związku oraz wielkości efektu, a nie wyłącznie jako test istotności.

Na czym polega korelacja punktowo-dwuseryjna?

Załóżmy, że mamy dwie zmienne:

• Y – zmienną ilościową, na przykład wynik depresji, czas hospitalizacji, ciśnienie skurczowe lub liczba punktów w teście;
• X – zmienną dychotomiczną, na przykład obecność–brak objawu, przeżycie–zgon, palenie–niepalenie albo odpowiedź poprawna–niepoprawna.

Kodowanie zmiennej dychotomicznej jako 0 i 1 pozwala obliczyć zwykłą korelację Pearsona między X i Y. Wynik tej kalkulacji jest właśnie korelacją punktowo-dwuseryjną. Nie jest to zatem całkowicie odrębna procedura obliczeniowa, lecz nazwa interpretacyjna dla szczególnego układu typów zmiennych (Kornbrot, 2005; Bonett, 2020). ([onlinelibrary.wiley.com](https://onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.1002/0470013192.bsa485?utm_source=openai))

Jeżeli grupa zakodowana jako 1 ma średnio wyższe wartości zmiennej ilościowej niż grupa zakodowana jako 0, współczynnik będzie dodatni. Jeżeli ma średnio niższe wartości, współczynnik będzie ujemny. Zmiana kodowania z 0/1 na 1/0 odwróci znak współczynnika, ale nie zmieni bezwzględnej siły związku.

Kiedy pojawia się ten współczynnik?

Naturalna dychotomia jednej zmiennej

Korelacja punktowo-dwuseryjna jest właściwa wtedy, gdy dwie kategorie wynikają z rzeczywistej właściwości badanego zjawiska. Naturalnymi przykładami są: wystąpienie zdarzenia niepożądanego versus jego brak, dodatni versus ujemny wynik testu, przyjęcie do szpitala versus brak przyjęcia oraz przeżycie versus zgon w określonym okresie obserwacji.

Określenie „naturalna” ma znaczenie. Jeżeli badacz bierze ciągłą zmienną, na przykład wiek, i dzieli ją arbitralnie na osoby poniżej oraz powyżej 65. roku życia, nie tworzy naturalnej dychotomii. Taki podział powoduje utratę informacji i może zmienić wynik analizy. W tym przypadku korelacja punktowo-dwuseryjna może być formalnie policzona, ale jej interpretacja wymaga szczególnej ostrożności.

Druga zmienna powinna być ilościowa

Zmienna ilościowa powinna mieć sensowną skalę liczbową, najlepiej interwałową lub ilorazową. Może to być wynik kwestionariusza, poziom glukozy, liczba dni hospitalizacji, czas wykonania zadania lub wynik pomiaru fizjologicznego. Sam fakt, że dane zapisano liczbami, nie wystarcza. Kod pocztowy, numer oddziału lub identyfikator pacjenta nie są zmiennymi ilościowymi w sensie statystycznym.

Wzór korelacji punktowo-dwuseryjnej

Wygodna postać wzoru jest następująca:

r_pb = (M₁ − M₀) / s_Y × √(p × q)

gdzie:

• M₁ – średnia zmiennej ilościowej w grupie zakodowanej jako 1;
• M₀ – średnia zmiennej ilościowej w grupie zakodowanej jako 0;
• s_Y – odchylenie standardowe zmiennej ilościowej obliczone dla wszystkich obserwacji;
• p – odsetek obserwacji należących do grupy 1;
• q – odsetek obserwacji należących do grupy 0, czyli q = 1 − p.

Współczynnik przyjmuje wartości od −1 do +1. Wartość bliska zeru oznacza słaby liniowy związek między przynależnością do grupy a zmienną ilościową. Wartość dodatnia wskazuje, że grupa 1 ma przeciętnie wyższe wyniki, a wartość ujemna – że ma przeciętnie niższe wyniki.

Wzór pokazuje także, dlaczego liczebność grup ma znaczenie. Czynnik √(p × q) jest największy, gdy grupy są podobnie liczne. Gdy jedna grupa jest bardzo mała, maksymalna możliwa wartość r_pb może być ograniczona, nawet jeśli różnica średnich jest wyraźna. Nie oznacza to automatycznie braku efektu; należy wtedy szczególnie dokładnie raportować liczebności, średnie, odchylenia standardowe oraz przedział ufności.

Związek z testem t dla dwóch grup

Korelacja punktowo-dwuseryjna jest blisko związana z porównaniem średnich w dwóch grupach. W tej konfiguracji test t dla prób niezależnych i analiza korelacji punktowo-dwuseryjnej dotyczą tego samego podstawowego kontrastu: czy wartości zmiennej ilościowej różnią się między dwiema kategoriami.

Nie oznacza to jednak, że obie analizy dostarczają identycznej informacji. Test t koncentruje się przede wszystkim na ocenie zgodności danych z hipotezą o braku różnicy średnich, natomiast r_pb można przedstawić jako standaryzowaną miarę związku i wielkości efektu. Warto raportować oba elementy: różnicę średnich z przedziałem ufności oraz miarę efektu, zamiast ograniczać się do samego p.

Kwadrat współczynnika, r_pb², może być opisany jako proporcja zmienności liniowo związana z przynależnością do dwóch grup. Trzeba jednak unikać nadinterpretacji. Nie jest to pełne wyjaśnienie zmienności wyniku ani dowód, że zmienna dychotomiczna „powoduje” zmianę zmiennej ilościowej. Współczynnik determinacji w tej sytuacji jest miarą opisową zależną od modelu i badanej próby.

Korelacja punktowo-dwuseryjna a korelacja biseryjna

Te dwa terminy są często mylone. Korelacja punktowo-dwuseryjna dotyczy sytuacji, gdy zmienna dychotomiczna jest rzeczywiście dwukategorialna. Korelacja biseryjna zakłada natomiast, że obserwowana dychotomia powstała przez sztuczne odcięcie zmiennej, która w populacji ma charakter ciągły lub co najmniej ukryty wymiar ciągły.

Przykładowo: wynik „choroba obecna–brak choroby” może być naturalną kategorią kliniczną, więc uzasadnia użycie korelacji punktowo-dwuseryjnej. Natomiast podział wyniku lęku na „niski–wysoki” według arbitralnego punktu odcięcia może sugerować utraconą zmienność ciągłą. W takim przypadku korelacja biseryjna może odpowiadać innemu założeniu teoretycznemu, choć jej zastosowanie wymaga uzasadnienia i ostrożności (Demirtas i Hedeker, 2016; Tate, 1954). ([tandfonline.com])

Założenia i diagnostyka

Ponieważ r_pb jest szczególnym przypadkiem korelacji Pearsona, należy sprawdzić podobne warunki interpretacyjne:

1. Obserwacje powinny być niezależne, chyba że zastosowano model uwzględniający zależność, na przykład model dla pomiarów powtarzanych.
2. Zmienna ilościowa powinna być mierzona w sposób sensowny i mieć rozkład możliwy do zaakceptowania w obu grupach.
3. Relacja między przynależnością do grupy a wynikiem ilościowym powinna być opisywana przez różnicę średnich, a nie przez silnie nieliniowy lub wielomodalny układ danych.
4. Należy ocenić obserwacje odstające, ponieważ pojedyncza nietypowa wartość w małej grupie może silnie zmienić średnią i współczynnik.
5. Trzeba podać liczebności obu grup. Sama wartość r_pb bez informacji o strukturze próby jest niepełna.

Normalność nie powinna być oceniana wyłącznie za pomocą automatycznego testu. Przydatne są wykresy, histogramy, wykresy pudełkowe oraz porównanie średniej i mediany w obu grupach. Przy wyraźnej asymetrii, dużej liczbie wartości odstających lub bardzo małych grupach można rozważyć metody odporne, bootstrapowy przedział ufności albo miary oparte na rangach. Wybór powinien wynikać z pytania badawczego, a nie z mechanicznego „polowania” na istotność.

Przykład 1: opieka pielęgniarska i długość hospitalizacji

Załóżmy, że w badaniu 120 pacjentów analizowano, czy wystąpiło majaczenie pooperacyjne oraz długość hospitalizacji w dniach. Zmienna „majaczenie: nie–tak” jest dychotomiczna, a liczba dni hospitalizacji jest ilościowa.

W grupie bez majaczenia było 96 osób, a średnia hospitalizacja wyniosła 5,2 dnia. W grupie z majaczeniem było 24 pacjentów, a średnia wyniosła 9,1 dnia. Różnica średnich to 3,9 dnia. Jeżeli odchylenie standardowe długości hospitalizacji w całej próbie wynosi 4,8 dnia, wtedy:

p = 24/120 = 0,20, a q = 0,80.

r_pb = (9,1 − 5,2) / 4,8 × √(0,20 × 0,80) ≈ 0,33.

Wynik wskazuje na dodatni, umiarkowany związek: pacjenci z majaczeniem mieli przeciętnie dłuższy pobyt. Nie należy jednak pisać, że majaczenie „spowodowało” wydłużenie hospitalizacji, jeśli badanie było obserwacyjne. Majaczenie może być markerem cięższego stanu, wieku, chorób współistniejących lub innych czynników. W raporcie warto podać także mediany i kwartyle, jeśli rozkład długości pobytu jest silnie skośny, oraz rozważyć model regresji dla czasu pobytu.

Przykład 2: psychologia zdrowia i wynik stresu

W badaniu studentów pielęgniarstwa mierzono wynik stresu za pomocą kwestionariusza oraz fakt uczestniczenia w krótkim programie psychoedukacyjnym. Program kodowano jako 0 – brak udziału i 1 – udział. Wynik stresu jest zmienną ilościową, a udział w programie – zmienną dychotomiczną.

Jeżeli osoby uczestniczące miały niższy średni wynik stresu, korelacja będzie ujemna przy takim kodowaniu. Przykładowo r_pb = −0,28 może oznaczać, że udział w programie wiązał się z niższym wynikiem stresu w badanej próbie. Nie wystarczy jednak dopisać „program obniżył stres”. Jeżeli uczestnictwo było dobrowolne, osoby zapisujące się mogły różnić motywacją, wcześniejszym poziomem stresu lub dostępem do wsparcia. Wnioskowanie przyczynowe wymaga odpowiedniego schematu, najlepiej randomizacji albo silnej kontroli czynników zakłócających.

Przykład praktyczny: jak raportować wynik?

Przykładowy zapis może wyglądać następująco:

Pacjenci z dodatnim wynikiem przesiewowego testu mieli wyższy średni poziom zmęczenia niż pacjenci z wynikiem ujemnym. Związek między wynikiem dychotomicznym a nasileniem zmęczenia był dodatni i mały do umiarkowanego, r_pb = 0,29, 95% CI [0,10; 0,45]. Współczynnik należy interpretować jako miarę związku w badanej próbie; nie stanowi on dowodu, że wynik testu powoduje zmęczenie.

Dobry raport powinien zawierać: sposób kodowania kategorii, liczebność każdej grupy, średnią i odchylenie standardowe wyniku ilościowego w obu grupach, wartość r_pb, przedział ufności oraz – jeśli wykonywano test hipotezy – dokładną wartość p i liczbę stopni swobody. Standardy raportowania APA zalecają przedstawianie wielkości efektu i miar precyzji, a nie tylko decyzji „istotne–nieistotne” (American Psychological Association, 2020). ([apastyle.apa.org])

Najczęstsze błędy

• Traktowanie kodu 0/1 jak pomiaru ilościowego. Kodowanie umożliwia obliczenie współczynnika, ale nie oznacza, że różnica między 0 i 1 ma taką samą naturę jak różnica między wartościami na skali ciągłej.
• Mylenie korelacji punktowo-dwuseryjnej z biseryjną. Należy ustalić, czy dychotomia jest naturalna, czy powstała przez sztuczne odcięcie zmiennej ciągłej.
• Automatyczne dzielenie zmiennej ilościowej na dwie grupy. Taki zabieg zwykle prowadzi do utraty informacji i może osłabić lub zniekształcić związek.
• Interpretowanie znaku bez znajomości kodowania. Wartość ujemna może oznaczać korzystny lub niekorzystny kierunek, zależnie od tego, którą kategorię oznaczono jako 1.
• Wnioskowanie przyczynowe z badania obserwacyjnego. Korelacja opisuje współwystępowanie, a nie mechanizm przyczynowy.
• Raportowanie wyłącznie wartości p. Istotność statystyczna zależy między innymi od liczebności próby. Należy oceniać także wielkość efektu, przedział ufności i znaczenie praktyczne.
• Pomijanie nierównych liczebności grup. Bardzo mała grupa może ograniczać precyzję oszacowania i wpływać na możliwy zakres współczynnika.

Co warto zapamiętać?

1. Korelacja punktowo-dwuseryjna pojawia się, gdy jedna zmienna jest ilościowa, a druga naturalnie dychotomiczna.
2. Jest szczególnym przypadkiem korelacji Pearsona dla zmiennej zakodowanej jako 0/1.
3. Współczynnik informuje o kierunku i sile związku, ale nie dowodzi przyczynowości.
4. Jego wartość zależy nie tylko od różnicy średnich, lecz także od zmienności wyniku i proporcji liczebności grup.
5. Korelację punktowo-dwuseryjną trzeba odróżniać od korelacji biseryjnej, która odpowiada sytuacji sztucznego podziału zmiennej ukrycie ciągłej.
6. W raporcie należy podać kodowanie, liczebności grup, statystyki opisowe, współczynnik, przedział ufności i – jeśli stosowano – wartość p.
7. Najlepsza interpretacja łączy wynik liczbowy z kontekstem klinicznym, psychologicznym lub społecznym oraz z ograniczeniami schematu badania.

Źródła i dalsza lektura

1. Tate, R. F. (1954). The Correlation Between a Discrete and a Continuous Variable. Point-Biserial Correlation. The Annals of Mathematical Statistics, 25, 603–607. DOI: 10.1214/aoms/1177728730.
2. Hall, C. E. (1974). Studies of Single Samples and Whole Populations: The Point Biserial and Its Generalizations. Multivariate Behavioral Research, 9(4), 447–459. DOI: 10.1207/s15327906mbr0904_5.
3. Das Gupta, S. (1960). Point Biserial Correlation Coefficient and Its Generalization. Psychometrika, 25(4), 393–408. DOI: 10.1007/BF02289756.
4. Demirtas, H.; Hedeker, D. (2016). Computing the Point-biserial Correlation under Any Underlying Continuous Distribution. Communications in Statistics – Simulation and Computation, 45(8), 2744–2751. DOI: 10.1080/03610918.2014.920883.
5. Bonett, D. G. (2020). Point-biserial Correlation: Interval Estimation, Hypothesis Testing, Meta-analysis, and Sample Size Determination. British Journal of Mathematical and Statistical Psychology, 73(S1), 113–144. DOI: 10.1111/bmsp.12189.
6. American Psychological Association (2020). Journal Article Reporting Standards for Quantitative Research. APA Style. American Psychological Association. Źródło.