458. Korelacje w danych powtarzanych – dlaczego zwykły Pearson może być błędny?

W poprzednich lekcjach analizowaliśmy różne własności korelacji oraz sytuacje, w których współczynnik Pearsona może być mylący. Tym razem przechodzimy do problemu szczególnie ważnego w badaniach podłużnych, klinicznych i psychologicznych: wielu pomiarów wykonanych u tych samych osób. Na pierwszy rzut oka wystarczy połączyć wszystkie obserwacje i obliczyć korelację Pearsona. To jednak często prowadzi do pytania innego niż to, które rzeczywiście postawiono w badaniu.

Kluczowa zasada brzmi: przed obliczeniem korelacji trzeba ustalić, czy interesuje nas zależność między osobami, czy zależność zmian zachodzących wewnątrz tych samych osób. Zwykły Pearson, zastosowany bez uwzględnienia struktury powtarzanych pomiarów, może mieszać oba poziomy zależności i naruszać założenie niezależności obserwacji (Bland i Altman, 1995a, 1995b). W ramach publicznego szkolenia na statystyk.edu.pl jest to naturalne rozwinięcie wcześniejszych lekcji o wykresach rozrzutu, korelacji i wielokrotnym testowaniu.

Na czym polegają dane powtarzane?

Dane powtarzane powstają wtedy, gdy tę samą zmienną mierzymy więcej niż jeden raz u tej samej osoby, pacjenta, gospodarstwa domowego, szkoły albo innej jednostki. Przykładowo:

• u pacjentów mierzymy ciśnienie tętnicze i częstość tętna podczas kilku wizyt;
• u tych samych osób oceniamy nasilenie lęku i jakość snu przez 14 kolejnych dni;
• w badaniu rehabilitacyjnym rejestrujemy ból i zakres ruchu przed terapią, po tygodniu oraz po miesiącu;
• w badaniu społecznym pytamy te same gospodarstwa o dochód i poczucie bezpieczeństwa w kolejnych falach badania.

Jeżeli mamy n osób i po m pomiarów na osobę, zbiór danych może zawierać około n × m wierszy. Nie oznacza to jednak, że dysponujemy n × m niezależnymi jednostkami obserwacji. Pomiar wykonany u pacjenta w poniedziałek jest zwykle bardziej podobny do jego pomiaru we wtorek niż do pomiaru wykonанego u innego pacjenta. Wspólna historia, cechy biologiczne i warunki życia tworzą zależność wewnątrz osoby.

Dwa poziomy zależności

W danych powtarzanych można rozdzielić co najmniej dwa pytania:

1. Zależność między osobami: czy osoby, które przeciętnie mają wyższe wartości zmiennej X, mają również przeciętnie wyższe wartości zmiennej Y?
2. Zależność wewnątrz osoby: czy w momentach, gdy dana osoba ma wyższą niż zwykle wartość X, ma także wyższą niż zwykle wartość Y?

To nie są równoważne pytania. Możliwe jest, że osoby o wyższym średnim poziomie stresu śpią gorzej, ale wahania stresu u pojedynczej osoby nie wiążą się z jej snem. Możliwa jest też sytuacja odwrotna: między osobami nie ma wyraźnej zależności, lecz u tej samej osoby wzrost zmęczenia wiąże się z pogorszeniem koncentracji.

Dlaczego zwykły Pearson może być błędny?

Współczynnik Pearsona oblicza się najczęściej jako:

r = Σ[(Xᵢ − X̄)(Yᵢ − Ȳ)] / √{Σ(Xᵢ − X̄)² · Σ(Yᵢ − Ȳ)²}

gdzie:

• Xᵢ i Yᵢ oznaczają wartości dwóch zmiennych dla obserwacji i;
• X̄ i Ȳ są średnimi wszystkich obserwacji;
• symbol Σ oznacza sumowanie po obserwacjach;
• r przyjmuje wartości od −1 do 1 i opisuje liniową współzmienność.

W klasycznym zastosowaniu zakłada się, że obserwacje tworzą niezależną próbę lub przynajmniej że model właściwie uwzględnia ich zależność. Gdy wszystkie pomiary z wielu dni i od wielu osób zostaną wrzucone do jednego obliczenia, Pearson nie wie, które wiersze pochodzą od tej samej osoby. Traktuje je tak, jakby każda para pomiarów była niezależną jednostką.

Skutki mogą być różne:

• zawyżenie lub zaniżenie samego współczynnika;
• zawyżenie liczby stopni swobody;
• zbyt wąskie przedziały ufności;
• nieprawidłowa wartość p;
• pomieszanie efektu różnic między osobami z efektem zmian wewnątrz osób.

Problem nie polega więc wyłącznie na tym, że „Pearson jest złą miarą”. Pearson może być odpowiedni dla określonego pytania, na przykład dla korelacji średnich pacjentów. Błąd pojawia się wtedy, gdy obliczamy go dla wszystkich pomiarów, ignorując ich zgrupowanie, a następnie interpretujemy wynik jako dowód zależności wewnątrz osoby. W analizach powtarzanych pomiarów ignorowanie korelacji między obserwacjami tej samej osoby może prowadzić do nieprawidłowych błędów standardowych, przedziałów ufności i wartości p (Hamlett i in., 2020). ([pmc.ncbi.nlm.nih.gov])

Przykład 1: ciśnienie tętnicze i częstość tętna

Załóżmy, że 40 pacjentów zmierzono pięć razy w ciągu dnia. Za każdym razem zapisano skurczowe ciśnienie tętnicze oraz częstość tętna. Otrzymujemy 200 par pomiarów.

Jeśli obliczymy zwykły Pearson dla wszystkich 200 par, wynik może być wysoki, ponieważ pacjenci różnią się między sobą ogólnym poziomem ciśnienia i ogólną częstością tętna. Osoby starsze lub obciążone chorobami układu krążenia mogą mieć przeciętnie wyższe wartości obu zmiennych. Taki wynik odpowiada przede wszystkim pytaniu: czy pacjenci z wyższym przeciętnym ciśnieniem mają także przeciętnie wyższy puls?

Nie odpowiada natomiast automatycznie na pytanie: czy w chwili, gdy konkretny pacjent ma wyższe niż zwykle ciśnienie, jego tętno również jest wyższe niż zwykle? Do drugiego pytania trzeba odsunąć poziom typowy dla każdego pacjenta, na przykład analizując odchylenia od jego indywidualnej średniej albo stosując model dla danych powtarzanych.

W praktyce można zatem raportować osobno:

• korelację między średnim ciśnieniem i średnim tętnem pacjentów;
• korelację wewnątrz pacjentów, opartą na odchyleniach pomiarów od ich własnych średnich;
• model mieszany, który pozwala formalnie uwzględnić powtarzanie pomiarów i ewentualne różnice między pacjentami.

Przykład 2: stres i jakość snu w badaniu dzienniczkowym

W badaniu psychologicznym 80 osób przez 14 dni ocenia codzienny stres w skali od 0 do 10 oraz jakość snu w skali od 0 do 10. Łącznie można uzyskać 1120 par obserwacji, choć niektóre osoby mogą mieć brakujące dni.

Wynik zwykłego Pearsona może wynosić na przykład r = −0,55. Taki rezultat może sugerować, że większy stres wiąże się z gorszym snem. Jednak trzeba sprawdzić, co właściwie odpowiada za tę korelację.

Wyobraźmy sobie, że osoby chronicznie zestresowane śpią przeciętnie gorzej, ale codzienne wahania stresu nie przekładają się silnie na sen. Wtedy korelacja między średnimi osób będzie ujemna, natomiast korelacja wewnątrz osoby może być bliska zeru. Odwrotna sytuacja również jest możliwa: osoby mogą mieć podobne średnie poziomy stresu i snu, ale u każdej z nich dni bardziej stresujące mogą wiązać się z gorszym snem.

Wniosek praktyczny zależy od poziomu analizy. Interwencja ukierunkowana na osoby o chronicznie wysokim stresie nie jest tym samym co interwencja pomagająca radzić sobie z codziennym skokiem napięcia. Nie należy więc przenosić wniosku z poziomu grupy na poziom jednostki bez odpowiedniej analizy.

Jak analizować korelację w danych powtarzanych?

1. Korelacja średnich osób

Pierwsza możliwość polega na obliczeniu dla każdej osoby średniej wartości X i średniej wartości Y, a następnie zastosowaniu korelacji Pearsona do tych średnich. To rozwiązanie odpowiada pytaniu międzyosobowemu. Redukuje liczbę obserwacji do liczby osób i nie udaje, że wszystkie pomiary są niezależne.

Jego wadą jest utrata informacji o zmienności w czasie. Dwie osoby mogą mieć tę samą średnią, ale zupełnie różne trajektorie. Ponadto przy małej liczbie osób moc testu może być ograniczona.

2. Korelacja wewnątrz osoby

Można odjąć od każdego pomiaru średnią danej osoby:

Xᵢⱼ* = Xᵢⱼ − X̄ᵢ
Yᵢⱼ* = Yᵢⱼ − Ȳᵢ

gdzie:

• Xᵢⱼ oznacza pomiar zmiennej X u osoby i w czasie j;
• X̄ᵢ jest średnią zmiennej X dla osoby i;
• Xᵢⱼ* oznacza odchylenie pomiaru od indywidualnego poziomu typowego;
• analogiczne oznaczenia dotyczą zmiennej Y.

Korelacja obliczona dla takich odchyleń opisuje, czy wyższe niż zwykle wartości jednej zmiennej współwystępują z wyższymi lub niższymi niż zwykle wartościami drugiej. Proste odcentrowanie jest intuicyjne, ale przy wnioskowaniu należy uwzględnić strukturę danych oraz sposób estymacji błędów.

3. Korelacja dla powtarzanych pomiarów

W literaturze psychometrycznej i metodologicznej stosuje się repeated measures correlation, często skracaną do rmcorr. Metoda ta estymuje wspólną zależność wewnątrz osób, jednocześnie uwzględniając fakt, że pomiary należą do tych samych uczestników. W klasycznej wersji zakłada się wspólne nachylenie relacji, ale różne wyrazy wolne dla osób. Innymi słowy, poszczególne osoby mogą mieć różne poziomy wyjściowe, natomiast analizowana jest wspólna tendencja współzmienności (Bakdash i Marusich, 2017).

Interpretacja rmcorr jest zbliżona do interpretacji Pearsona, lecz dotyczy innego poziomu: wartości dodatnie oznaczają, że wzrost jednej zmiennej ponad indywidualny poziom typowy wiąże się przeciętnie ze wzrostem drugiej; wartości ujemne wskazują na przeciwny kierunek. Rmcorr nie jest jednak uniwersalnym zamiennikiem modelu mieszanego. Należy ocenić, czy wspólne nachylenie i pozostałe założenia są rozsądne. ([frontiersin.org])

4. Model liniowy mieszany

Model mieszany pozwala uwzględnić zarówno efekty stałe, jak i losową strukturę zależności. Przykładowy model dla zmiennej Y może mieć postać:

Yᵢⱼ = β₀ + β₁Xᵢⱼ + b₀ᵢ + b₁ᵢXᵢⱼ + εᵢⱼ

gdzie:

• β₀ jest średnim wyrazem wolnym dla populacji;
• β₁ jest przeciętnym nachyleniem związku Y z X;
• b₀ᵢ oznacza indywidualne odchylenie wyrazu wolnego osoby i;
• b₁ᵢ pozwala, aby siła związku różniła się między osobami;
• εᵢⱼ jest składnikiem resztowym dla pomiaru j u osoby i.

Jeżeli podejrzewamy, że związek różni się między osobami, model z losowym nachyleniem może być bardziej adekwatny niż rmcorr ze wspólnym nachyleniem. Można też wprowadzić czas, grupę terapeutyczną, płeć, wiek lub inne zmienne zakłócające. Model mieszany jest szczególnie użyteczny przy nierównej liczbie pomiarów, brakach danych i nieregularnych odstępach między wizytami, choć wymaga większej uwagi przy sprawdzaniu założeń.

Przykład praktyczny: jak zaplanować analizę?

Załóżmy, że badacz chce sprawdzić, czy dzienny poziom bólu wiąże się z liczbą godzin snu u pacjentów z przewlekłą chorobą. Pacjenci prowadzą dzienniczek przez 21 dni.

1. Zdefiniuj pytanie: czy chodzi o różnice między pacjentami, czy o codzienne współwystępowanie bólu i snu u tej samej osoby?
2. Obejrzyj dane: narysuj wykresy osobno dla pacjentów oraz wykres zależności średnich.
3. Sprawdź liczbę pomiarów: odnotuj, ile dni obserwacji ma każda osoba i czy braki są przypadkowe.
4. Rozważ centrowanie: dla pytania wewnątrzosobowego użyj odchyleń od średniej osoby albo modelu z rozdzieleniem predyktora na średnią osoby i odchylenie od tej średniej.
5. Dobierz metodę: rmcorr może być wystarczająca dla wspólnej liniowej zależności; model mieszany będzie lepszy, jeśli występują nieregularne pomiary, dodatkowe kowariaty albo różne nachylenia indywidualne.
6. Raportuj wynik: podaj estymatę związku, 95-procentowy przedział ufności, liczbę osób, liczbę obserwacji, sposób obsługi braków i informację o uwzględnieniu zgrupowania pomiarów.

Przykładowe sformułowanie wyniku mogłoby brzmieć: „Po uwzględnieniu zgrupowania obserwacji w obrębie pacjentów zaobserwowano umiarkowaną ujemną zależność wewnątrz osoby między odchyleniem dziennego nasilenia bólu od średniej pacjenta a odchyleniem czasu snu od jego średniej”. Takie zdanie nie sugeruje automatycznie przyczynowości. Korelacja nadal opisuje współzmienność, a nie dowód, że ból powoduje skrócenie snu.

Najczęstsze błędy

• Traktowanie wszystkich wierszy jako niezależnych. Kilkanaście pomiarów jednej osoby nie tworzy kilkunastu niezależnych osób.
• Interpretowanie korelacji łącznej jako korelacji wewnątrz osoby. Wynik może być zdominowany przez różnice między uczestnikami.
• Uśrednianie bez uzasadnienia. Średnie osób odpowiadają na pytanie międzyosobowe, ale usuwają informację o dynamice w czasie.
• Mylenie korelacji z rzetelnością. Jeżeli porównujemy powtarzane pomiary tego samego narzędzia i pytamy o zgodność lub stabilność, odpowiedni może być współczynnik korelacji wewnątrzklasowej, a nie zwykły Pearson. Wybór konkretnego ICC zależy od modelu, celu i tego, czy oceniamy zgodność bezwzględną czy spójność (Koo i Li, 2016). ([pubmed.ncbi.nlm.nih.gov])
• Automatyczne stosowanie rmcorr. Metoda zakłada określoną strukturę zależności i nie zastępuje diagnozy danych.
• Pomijanie czasu. Dwie zmienne mogą rosnąć równocześnie z powodu wspólnego trendu czasowego, choć ich bezpośrednia zależność jest słaba.
• Wyciąganie wniosków przyczynowych. Nawet poprawna analiza powtarzanych pomiarów nie eliminuje automatycznie odwrotnej przyczynowości ani zmiennych zakłócających.
• Raportowanie wyłącznie wartości p. Wartość p nie jest prawdopodobieństwem prawdziwości hipotezy zerowej. Należy podać wielkość związku, przedział ufności i znaczenie praktyczne.

Co warto zapamiętać?

• Dane powtarzane mają strukturę zagnieżdżoną: pomiary są zgrupowane w obrębie osób.
• Zwykły Pearson dla wszystkich obserwacji ignoruje zależność pomiarów tej samej osoby.
• Korelacja między osobami i korelacja wewnątrz osoby odpowiadają na różne pytania.
• Korelacja średnich jest prosta i czytelna, ale traci informację o zmianach w czasie.
• Rmcorr służy do oceny wspólnej zależności wewnątrz osób przy powtarzanych pomiarach.
• Model mieszany jest elastyczniejszy, gdy zależność może różnić się między osobami albo gdy dane są nierówne i niekompletne.
• Najpierw trzeba określić poziom wnioskowania, a dopiero potem wybrać współczynnik lub model.
• Wynik korelacji nie świadczy sam w sobie o przyczynowości i nie zastępuje oceny wielkości efektu oraz jego znaczenia praktycznego.

Najważniejsza lekcja metodologiczna jest prosta: struktura danych jest częścią pytania badawczego. Jeżeli obserwacje pochodzą od tych samych osób, analiza musi to odzwierciedlać. Zanim klikniesz „Pearson correlation”, zapytaj: „Czy chcę porównywać osoby, czy śledzić współzmienność w obrębie osoby?”.

Źródła i dalsza lektura

1. Bland, J. M.; Altman, D. G. (1995). Calculating correlation coefficients with repeated observations: Part 1—Correlation within subjects. BMJ, 310(6977), 446. DOI: 10.1136/bmj.310.6977.446.
2. Bland, J. M.; Altman, D. G. (1995). Calculating correlation coefficients with repeated observations: Part 2—Correlation between subjects. BMJ, 310(6980), 633. DOI: 10.1136/bmj.310.6980.633.
3. Bakdash, J. Z.; Marusich, L. R. (2017). Repeated Measures Correlation. Frontiers in Psychology, 8, 456. DOI: 10.3389/fpsyg.2017.00456.
4. Hamlett, A.; Ryan, L.; Serrano-Trespalacios, P.; Wolfinger, R. (2020). Correlation Coefficients for a Study with Repeated Measures. Computational and Mathematical Methods in Medicine, 2020, 7398324. DOI: 10.1155/2020/7398324.
5. Koo, T. K.; Li, M. Y. (2016). A Guideline of Selecting and Reporting Intraclass Correlation Coefficients for Reliability Research. Journal of Chiropractic Medicine, 15(2), 155–163. DOI: 10.1016/j.jcm.2016.02.012.