423. Liczebności obserwowane i oczekiwane – czym się różnią?

W tabeli kontyngencji każda komórka zawiera liczbę przypadków należących jednocześnie do określonej kategorii wiersza i kategorii kolumny. Sama liczba nie mówi jednak jeszcze, czy wynik jest zgodny z założeniem o niezależności zmiennych. Do takiej oceny potrzebujemy porównać dwie wartości: liczebność obserwowaną, wynikającą bezpośrednio z danych, oraz liczebność oczekiwaną, wynikającą z modelu lub hipotezy zerowej. To rozróżnienie jest podstawą testu chi-kwadrat omawianego w poprzedniej lekcji kursu na statystyk.edu.pl.

Dwie liczebności, dwa różne źródła informacji

Liczebność obserwowana

Liczebność obserwowana to rzeczywista liczba jednostek badania przypisana do danej komórki tabeli. Oznacza się ją często symbolem O_ij, gdzie:

• i oznacza numer wiersza,
• j oznacza numer kolumny,
• O_ij jest liczbą obserwacji w komórce znajdującej się na przecięciu wiersza i i kolumny j.

Jeżeli w badaniu pielęgniarek 32 osoby otrzymały szkolenie i jednocześnie prawidłowo wykonały procedurę, to liczba 32 jest liczebnością obserwowaną dla tej kombinacji kategorii. Nie jest ona obliczana z modelu i nie zależy od testu statystycznego. Jest zapisem tego, co rzeczywiście zaobserwowano.

Liczebność oczekiwana

Liczebność oczekiwana to liczba, której spodziewalibyśmy się w danej komórce, gdyby obowiązywała hipoteza zerowa. W teście niezależności hipoteza zerowa mówi, że dwie zmienne jakościowe są niezależne w populacji. Liczebność oczekiwana nie jest więc kolejnym pomiarem ani dodatkową obserwacją. Jest wartością modelową, wyznaczaną na podstawie sum brzegowych tabeli.

Wartość oczekiwana odpowiada na pytanie: ile przypadków powinno znaleźć się w tej komórce, gdyby rozkład jednej zmiennej nie zależał od kategorii drugiej zmiennej? Właśnie dlatego porównanie liczebności obserwowanych i oczekiwanych pozwala ocenić, czy wzorzec danych odbiega od tego, czego oczekiwalibyśmy przy niezależności.

W analizie tabel kontyngencji liczebności oczekiwane są elementem modelu hipotezy zerowej, a nie prawdopodobieństwem prawdziwości tej hipotezy. Należy też pamiętać, że wartość p nie jest prawdopodobieństwem prawdziwości hipotezy zerowej.

Jak oblicza się liczebność oczekiwaną?

Dla tabeli kontyngencji o r wierszach i c kolumnach oczekiwaną liczebność w komórce (i, j) oblicza się według wzoru:

E_ij = (R_i × C_j) / N

Oznaczenia są następujące:

• E_ij – liczebność oczekiwana w komórce wiersza i i kolumny j;
• R_i – suma liczebności w wierszu i;
• C_j – suma liczebności w kolumnie j;
• N – całkowita liczebność próby, czyli suma wszystkich komórek tabeli.

Wzór można rozumieć intuicyjnie. Najpierw określamy, jaka część całej próby należy do danego wiersza. Następnie sprawdzamy, jaka część należy do danej kolumny. Przy założeniu niezależności udziały te są łączone w taki sposób, aby wyznaczyć oczekiwany rozmiar konkretnej komórki. W praktyce wygodniejszy jest zapis iloczynu sumy wiersza i sumy kolumny podzielonego przez całkowitą liczebność próby (Agresti, 2013; NIST/SEMATECH, 2012).

Przykład 1: szkolenie personelu medycznego

Załóżmy, że kierownik oddziału chce sprawdzić, czy udział prawidłowo wykonanych procedur różni się między osobami, które odbyły szkolenie, a osobami bez szkolenia. Zebrano następującą tabelę:

	Procedura prawidłowa	Procedura nieprawidłowa	Suma
Po szkoleniu	32	8	40
Bez szkolenia	24	16	40
Suma	56	24	80

W komórce „po szkoleniu – procedura prawidłowa” liczebność obserwowana wynosi 32. Liczebność oczekiwana, gdyby szkolenie i poprawność procedury były niezależne, wynosi:

E₁₁ = (40 × 56) / 80 = 28

W danych zaobserwowano więc 32 osoby, natomiast przy niezależności oczekiwalibyśmy 28 osób. Różnica wynosi 4. Nie można jednak na tej podstawie automatycznie stwierdzić, że szkolenie było skuteczne. Trzeba ocenić wszystkie komórki, obliczyć statystykę testową, uwzględnić liczebność próby oraz rozważyć wielkość i znaczenie praktyczne różnicy.

Dla pozostałych komórek otrzymujemy:

• po szkoleniu – procedura nieprawidłowa: (40 × 24) / 80 = 12;
• bez szkolenia – procedura prawidłowa: (40 × 56) / 80 = 28;
• bez szkolenia – procedura nieprawidłowa: (40 × 24) / 80 = 12.

Tabela oczekiwana wygląda zatem następująco:

	Procedura prawidłowa	Procedura nieprawidłowa	Suma
Po szkoleniu	28	12	40
Bez szkolenia	28	12	40
Suma	56	24	80

Warto zauważyć, że sumy wierszy i kolumn tabeli oczekiwanej są takie same jak w tabeli obserwowanej. Jest to cecha konstrukcji oczekiwanych liczebności w teście niezależności. Różnice pojawiają się wewnątrz komórek, a nie w sumach brzegowych.

Od różnic komórkowych do statystyki chi-kwadrat

Test chi-kwadrat Pearsona agreguje różnice między liczebnościami obserwowanymi i oczekiwanymi. Jego statystyka ma postać:

χ² = Σ [(O_ij − E_ij)² / E_ij]

Symbol Σ oznacza sumowanie po wszystkich komórkach tabeli. W każdej komórce:

• odejmujemy liczebność oczekiwaną od obserwowanej;
• podnosimy różnicę do kwadratu, aby dodatnie i ujemne odchylenia się nie znosiły;
• dzielimy przez liczebność oczekiwaną, aby uwzględnić jej skalę;
• sumujemy otrzymane składniki.

Duża wartość statystyki oznacza, że wzorzec odchyleń od niezależności jest większy, niż można byłoby oczekiwać w wyniku losowej zmienności przy założeniu hipotezy zerowej. Mała wartość wskazuje, że dane są bliższe tabeli oczekiwanej. Sama statystyka nie mówi jednak, które komórki odpowiadają za wynik. W tym celu analizuje się między innymi reszty standaryzowane lub skorygowane reszty standaryzowane (Agresti, 2013).

Ważne jest także rozdzielenie trzech pojęć: istotności statystycznej, wielkości efektu i znaczenia praktycznego. Przy bardzo dużej próbie niewielka różnica między liczebnościami obserwowanymi i oczekiwanymi może prowadzić do małej wartości p. Nie oznacza to automatycznie dużego efektu ani istotnej korzyści klinicznej. W tabelach większych niż 2 × 2 można dodatkowo raportować na przykład współczynnik V Craméra, pamiętając, że jego interpretacja zależy od wymiaru tabeli i kontekstu badania (McHugh, 2013).

Przykład 2: związek między paleniem a zgłaszanym stresem

W badaniu studentów zdrowia publicznego analizowano palenie papierosów oraz poziom deklarowanego stresu:

	Niski stres	Umiarkowany stres	Wysoki stres	Suma
Osoby palące	12	18	10	40
Osoby niepalące	28	22	10	60
Suma	40	40	20	100

Dla komórki „osoby palące – niski stres” liczebność obserwowana wynosi 12. Przy założeniu niezależności oczekiwana liczebność wynosi:

E = (40 × 40) / 100 = 16

W tej komórce zaobserwowano mniej osób, niż oczekiwalibyśmy przy niezależności. Dla komórki „osoby palące – umiarkowany stres” liczebność oczekiwana wynosi również 16, a obserwowana 18. Dla komórki „osoby palące – wysoki stres” oczekiwana liczebność to 8, a obserwowana 10.

Nie wolno jednak interpretować tych danych przyczynowo. Nawet gdyby test wykazał związek statystyczny, nie wynikałoby z niego, że palenie powoduje stres albo że stres powoduje palenie. Do wnioskowania przyczynowego potrzebny byłby odpowiedni schemat badania, kontrola czynników zakłócających i uzasadnienie czasowej kolejności zdarzeń. W badaniu obserwacyjnym bezpieczniej mówić o związku, współwystępowaniu lub różnicach rozkładu.

Liczebności oczekiwane a założenia testu

Liczebności oczekiwane są ważne nie tylko jako składnik wzoru. Pomagają również ocenić, czy przybliżenie rozkładem chi-kwadrat jest wiarygodne. Jeżeli wiele komórek ma małe wartości oczekiwane, wynik klasycznego testu może być niedokładny. Nie chodzi więc o to, czy liczebności obserwowane są duże, lecz o to, czy odpowiednio duże są liczebności oczekiwane.

Nie istnieje jedna uniwersalna granica obowiązująca w każdej sytuacji. W praktyce często stosuje się reguły orientacyjne, na przykład unikanie oczekiwanych liczebności mniejszych niż 1 oraz ograniczanie odsetka komórek z wartościami mniejszymi niż 5. Kryteria te należy traktować jako wskazówki, a nie jako automatyczny substytut oceny projektu i rozkładu danych. Cochran zwracał uwagę, że dokładność przybliżenia zależy między innymi od liczby kategorii i rozkładu prawdopodobieństw (Cochran, 1952, 1954).

Jeżeli oczekiwane liczebności są małe, można rozważyć połączenie sensownie podobnych kategorii, zastosowanie dokładnego testu Fishera w odpowiednich tabelach, metodę Monte Carlo albo model przeznaczony dla danych rzadkich. Łączenie kategorii nie może być jednak wykonywane wyłącznie po to, aby uzyskać pożądany wynik. Musi mieć sens merytoryczny i być zaplanowane przed analizą lub jasno opisane jako decyzja analityczna.

Przykład praktyczny: analiza przypadku

Badaczka analizuje, czy rodzaj triage’u w izbie przyjęć wiąże się z przyjęciem pacjenta na oddział. Otrzymuje tabelę 3 × 2. W jednej z komórek obserwuje 3 osoby, a program statystyczny oblicza liczebność oczekiwaną równą 8,7. Pierwszym krokiem nie powinno być natychmiastowe odczytanie wartości p. Należy:

1. sprawdzić, czy tabela została zbudowana z prawidłowo zakodowanych danych;
2. ustalić, czy każda osoba została policzona dokładnie raz;
3. ocenić wszystkie liczebności oczekiwane, a nie tylko najmniejszą komórkę;
4. zweryfikować, czy kategorie triage’u i przyjęcia były zdefiniowane przed analizą;
5. rozważyć, czy klasyczny test chi-kwadrat jest odpowiedni, czy lepsza będzie metoda dokładna lub symulacyjna;
6. raportować także rozmiar tabeli, liczebność próby, statystykę testową, stopnie swobody, wartość p oraz miarę siły związku, jeżeli jest zasadna.

W raporcie można napisać: „Liczebności oczekiwane obliczono na podstawie sum brzegowych przy założeniu niezależności. Najmniejsza oczekiwana liczebność wynosiła 8,7. Zależność między kategorią triage’u a przyjęciem analizowano testem chi-kwadrat Pearsona”. Taki opis jest bardziej przejrzysty niż samo podanie wartości χ² i p.

Najczęstsze błędy

• Traktowanie liczebności oczekiwanych jako dodatkowych danych. Są to wartości wyliczone z modelu, a nie obserwacje uzyskane od uczestników.
• Obliczanie oczekiwanej liczebności jako średniej dwóch sąsiednich komórek. W teście niezależności należy użyć sumy wiersza, sumy kolumny i liczebności całkowitej.
• Porównywanie wyłącznie jednej komórki. Statystyka chi-kwadrat opiera się na całej tabeli, dlatego należy analizować kompletny wzorzec odchyleń.
• Sprawdzanie liczebności obserwowanych zamiast oczekiwanych. To oczekiwane liczebności są kluczowe dla oceny przybliżenia chi-kwadrat.
• Uznawanie dużej różnicy za dowód związku. Różnica może wynikać z losowej zmienności, a jej ocena wymaga formalnego testu i kontekstu.
• Interpretowanie wartości p jako prawdopodobieństwa hipotezy zerowej. Wartość p opisuje zgodność danych z określonym modelem przy założeniu hipotezy zerowej.
• Wnioskowanie przyczynowe z tabeli obserwacyjnej. Związek między zmiennymi nie jest sam w sobie dowodem przyczynowości.
• Automatyczne łączenie kategorii. Kategoria może być łączona tylko wtedy, gdy jest to uzasadnione merytorycznie i metodologicznie.

Co warto zapamiętać?

• Liczebność obserwowana pochodzi bezpośrednio z danych.
• Liczebność oczekiwana wynika z hipotezy zerowej lub innego określonego modelu.
• W teście niezależności liczebność oczekiwaną oblicza się jako iloczyn sumy wiersza i sumy kolumny podzielony przez liczebność całkowitą.
• Różnice między wartościami obserwowanymi i oczekiwanymi są podstawą statystyki chi-kwadrat.
• Małe liczebności oczekiwane mogą pogarszać trafność przybliżenia chi-kwadrat.
• Istotność statystyczna nie jest tym samym co wielkość efektu ani znaczenie praktyczne.
• Wynik tabeli kontyngencji nie uzasadnia języka przyczynowego, jeżeli schemat badania nie pozwala na wnioskowanie przyczynowe.

Najkrótsza reguła: obserwowane mówi, co rzeczywiście znaleziono; oczekiwane mówi, czego spodziewalibyśmy się przy przyjętym modelu. Test chi-kwadrat ocenia, jak duża jest różnica między tymi dwoma opisami danych.

W kolejnych lekcjach warto przejść od samych liczebności do interpretacji reszt komórkowych oraz miar siły związku. Dzięki temu analiza tabeli nie zakończy się na odpowiedzi „wynik jest istotny” lub „wynik nie jest istotny”, lecz pokaże, które kategorie tworzą obserwowany wzorzec i czy różnica ma znaczenie badawcze.

Źródła i dalsza lektura

1. Alan Agresti (2013). Categorical Data Analysis. 3rd edition. John Wiley & Sons. Informacja wydawcy / źródło.
2. Karl Pearson (1900). On the Criterion that a Given System of Deviations from the Probable in the Case of a Correlated System of Variables is Such that it Can be Reasonably Supposed to Have Arisen from Random Sampling. The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 50(302), 157–175. DOI: 10.1080/14786440009463897.
3. William G. Cochran (1952). The χ2 Test of Goodness of Fit. The Annals of Mathematical Statistics, 23(3), 315–345. DOI: 10.1214/aoms/1177729380.
4. William G. Cochran (1954). Some Methods for Strengthening the Common χ2 Tests. Biometrics, 10(4), 417–451. DOI: 10.2307/3001616.
5. Mary L. McHugh (2013). The Chi-square Test of Independence. Biochemia Medica, 23(2), 143–149. DOI: 10.11613/BM.2013.018.
6. NIST/SEMATECH (2012). e-Handbook of Statistical Methods: Comparing Frequencies: Chi-Square Tests. National Institute of Standards and Technology. Źródło.