433. Phi i V Cramera – wielkość efektu

W poprzednich lekcjach analizowaliśmy, czy między zmiennymi jakościowymi występuje zależność. Sam wynik testu chi-kwadrat nie odpowiada jednak na pytanie, jak silny jest ten związek. Właśnie temu służą współczynnik phi oraz V Craméra. Są to miary wielkości efektu dla tabel kontyngencji: pomagają przejść od pytania „czy zaobserwowana zależność jest zgodna z niezależnością?” do pytania „jak duża jest zależność i czy może mieć znaczenie praktyczne?”.

W tej lekcji kursu metodologii badań na statystyk.edu.pl skupiamy się na interpretacji, a nie tylko na mechanicznym uzyskiwaniu liczby z programu statystycznego. Wielkość efektu należy zawsze odczytywać razem z tabelą, liczebnością próby, przedziałem ufności oraz kontekstem badania.

Dlaczego potrzebujemy miary wielkości efektu?

Test chi-kwadrat niezależności ocenia zgodność danych z hipotezą niezależności dwóch zmiennych jakościowych. Jego statystyka zależy jednak nie tylko od siły związku, lecz także od liczebności próby. Przy bardzo dużej próbie nawet niewielkie odstępstwo od niezależności może dać małą wartość p. Przy małej próbie wyraźny wzorzec w tabeli może nie osiągnąć konwencjonalnego poziomu istotności statystycznej.

Wartość p nie jest miarą wielkości efektu ani prawdopodobieństwem prawdziwości hipotezy zerowej. Nie mówi też, czy wynik jest ważny klinicznie lub społecznie. Dlatego, zgodnie z dobrą praktyką raportowania wyników, obok statystyki testowej i wartości p należy podawać odpowiednią miarę efektu, a najlepiej również jej przedział ufności (Sullivan i Feinn, 2012; American Psychological Association, 2020).

Współczynnik phi

Definicja i zastosowanie

Współczynnik phi, oznaczany symbolem φ, jest przeznaczony przede wszystkim dla tabeli 2×2, czyli sytuacji, w której obie zmienne są dychotomiczne. Przykładowo mogą to być: palenie tytoniu: tak/nie oraz rozpoznanie przewlekłej choroby układu oddechowego: tak/nie.

W tabeli 2×2 współczynnik phi można obliczyć ze wzoru:

φ = √(χ² / n)

gdzie:

• χ² oznacza wartość statystyki Pearsona dla testu chi-kwadrat niezależności,
• n oznacza całkowitą liczebność próby,
• √ oznacza pierwiastek kwadratowy.

Dla tabeli 2×2 phi może przyjmować wartości od −1 do 1, jeżeli zachowamy informację o kierunku zakodowania kategorii. W praktyce programy statystyczne często prezentują wartość bezwzględną, zwłaszcza gdy interesuje nas siła związku, a nie jego znak. Wartość 0 oznacza brak związku liniowego między dwiema zmiennymi binarnymi, natomiast wartości bliskie 1 lub −1 wskazują na silną zależność.

Znak phi nie jest uniwersalną właściwością zjawiska. Zależy od tego, która kategoria została zakodowana jako pierwsza lub jako „1”. Po zamianie kolejności wierszy albo kolumn znak może się zmienić, choć siła związku pozostanie taka sama.

Przykład 1: palenie i przewlekły kaszel

	Kaszel przewlekły: tak	Kaszel przewlekły: nie	Razem
Palący	36	24	60
Niepalący	18	42	60
Razem	54	66	120

Dla tej tabeli wartość statystyki chi-kwadrat Pearsona wynosi około 12,12. Zatem:

φ = √(12,12 / 120) ≈ 0,32

Wynik wskazuje na umiarkowaną zależność między paleniem a przewlekłym kaszlem w tej próbie. Nie oznacza jednak, że palenie wywołało kaszel, jeżeli dane pochodzą z badania przekrojowego i nie kontrolowano możliwych czynników zakłócających. Można powiedzieć, że status palenia był związany z występowaniem przewlekłego kaszlu, ale nie należy automatycznie formułować wniosku przyczynowego.

V Craméra dla większych tabel

Dlaczego phi nie wystarcza?

Jeśli tabela ma więcej niż dwa wiersze lub więcej niż dwie kolumny, bezpośrednie użycie phi jako głównej miary związku jest problematyczne. Wzór √(χ²/n) nie jest wtedy ograniczony w taki sposób, aby zachowywał się jak standardowa miara od 0 do 1 dla każdej tabeli. Do tabel r×c stosuje się V Craméra, który normalizuje statystykę chi-kwadrat względem wymiarów tabeli.

Wzór ma postać:

V = √[χ² / (n × min(r − 1, c − 1))]

gdzie:

• χ² to statystyka chi-kwadrat Pearsona,
• n to całkowita liczebność próby,
• r to liczba wierszy tabeli,
• c to liczba kolumn tabeli,
• min(r − 1, c − 1) oznacza mniejszą z wartości r−1 i c−1.

Klasyczny V Craméra przyjmuje wartości od 0 do 1. Wartość 0 odpowiada niezależności, a wartość 1 oznacza idealne powiązanie w sensie właściwym dla struktury tabeli. W tabelach prostokątnych osiągnięcie wartości 1 wymaga odpowiedniej, doskonałej struktury komórek, nie zaś dowolnego „dużego” odstępstwa od niezależności.

W tabeli 2×2 mianownik wynosi 1, dlatego V Craméra jest równy wartości bezwzględnej phi. Nie ma więc sensu raportowanie obu miar jako dwóch niezależnych informacji dla tej samej tabeli 2×2.

Przykład 2: poziom triage a hospitalizacja

Załóżmy, że w badaniu ratownictwa medycznego oceniono związek między kategorią pilności przyjęcia a dalszą hospitalizacją.

Kategoria triage	Hospitalizacja	Brak hospitalizacji	Razem
Niska	12	48	60
Średnia	31	39	70
Wysoka	52	18	70

Jest to tabela 3×2. Jeżeli test chi-kwadrat dał wartość χ² = 30,50, a n = 200, to:

V = √[30,50 / (200 × min(3−1, 2−1))]
V = √(30,50 / 200) ≈ 0,39

Wynik wskazuje na wyraźny związek między kategorią triage a hospitalizacją. Nie wolno jednak interpretować V jako odsetka poprawnych decyzji, ryzyka hospitalizacji ani różnicy prawdopodobieństw. V jest bezkierunkową miarą siły zależności całej tabeli. Aby opisać wzorzec kliniczny, trzeba dodatkowo przedstawić odsetki hospitalizacji w poszczególnych kategoriach i wskazać, które komórki najbardziej przyczyniają się do wartości chi-kwadrat.

Jak interpretować wartości phi i V?

W literaturze często przywołuje się orientacyjne progi Cohena. Dla tabeli 2×2 wartości około 0,10, 0,30 i 0,50 bywają opisywane odpowiednio jako mały, średni i duży efekt. Dla większych tabel progi zależą od liczby stopni swobody; przykładowo dla tabel o większym wymiarze te same wartości nie muszą oznaczać tej samej siły praktycznej (Cohen, 1988).

Wartość orientacyjna	Tradycyjny opis	Ostrożna interpretacja
około 0,10	mały efekt	słaby związek; znaczenie zależy od dziedziny
około 0,30	średni efekt	związek zauważalny, wymagający interpretacji kontekstowej
około 0,50	duży efekt	silna zależność w wielu zastosowaniach

Nie są to prawa natury ani uniwersalne punkty odcięcia. W epidemiologii nawet niewielka miara związku może mieć duże znaczenie dla zdrowia publicznego, jeżeli dotyczy częstej ekspozycji i dużej populacji. Z kolei wysoka wartość V w badaniu pomocniczym może nie mieć znaczenia klinicznego, jeśli kategorie są sztuczne, wynik jest obciążony błędem pomiaru albo badanie nie odpowiada na ważne pytanie praktyczne.

Warto pamiętać, że V nie identyfikuje kierunku związku i nie jest miarą przyczynowości. Nie zastępuje też miar właściwych dla tabel 2×2, takich jak ryzyko względne, różnica ryzyka, iloraz szans czy NNT, gdy celem jest opis różnicy częstości zdarzeń.

Przykład praktyczny: psychologia zdrowia

W badaniu 240 studentów sprawdzono, czy kategoria nasilenia objawów lękowych wiąże się z korzystaniem z konsultacji psychologicznej. Objawy sklasyfikowano jako niskie, umiarkowane i wysokie, a korzystanie z pomocy jako „tak” lub „nie”. Otrzymano V Craméra = 0,27 oraz p = 0,004.

Poprawny opis powinien rozdzielać trzy kwestie. Po pierwsze, wynik testu wskazuje na statystycznie istotną niezgodność z hipotezą niezależności. Po drugie, V = 0,27 sugeruje związek mały do umiarkowanego, zależnie od przyjętej dziedziny i kryteriów. Po trzecie, nie wynika z tego, że nasilenie lęku powoduje korzystanie z konsultacji. Możliwe są odwrotne zależności, wspólne czynniki, np. wcześniejsze doświadczenia z systemem ochrony zdrowia, albo różnice w dostępności pomocy.

W raporcie warto podać tabelę liczebności, odsetki wierszowe, χ², stopnie swobody, wartość p, V Craméra oraz sposób traktowania braków danych. Jeżeli próba jest mała lub tabela rzadka, należy rozważyć korektę obciążenia V albo przedstawić analizę wrażliwości. Bergsma (2013) pokazał, że klasyczny estymator V może być zawyżony, szczególnie w małych próbach i większych tabelach.

Klasyczny i skorygowany V Craméra

Klasyczny wzór korzysta z obserwowanej wartości χ². W skończonej próbie V może jednak przyjmować dodatnią wartość nawet wtedy, gdy w populacji nie ma związku. Problem jest szczególnie widoczny, gdy tabela ma wiele komórek, a liczebności są niewielkie. Skorygowany V Craméra wykorzystuje poprawkę uwzględniającą liczebność próby i rozmiar tabeli.

W praktyce należy sprawdzić, jaki wariant raportuje używane oprogramowanie. Jeśli badanie ma małą próbę, wiele kategorii lub liczne małe liczebności oczekiwane, warto podać informację o zastosowanej korekcie i nie porównywać bezpośrednio wartości skorygowanych z nieskorygowanymi bez odpowiedniego komentarza. Sama korekta nie rozwiązuje wszystkich problemów: nadal trzeba ocenić sens kategorii, jakość danych i stabilność wniosku.

Najczęstsze błędy

1. Traktowanie wartości p jako wielkości efektu. Małe p może wynikać z dużej próby, a duży efekt może pozostać nieistotny przy małej próbie.
2. Używanie phi dla dowolnej tabeli. Dla tabel większych niż 2×2 podstawową miarą powinien być zwykle V Craméra.
3. Interpretowanie V jako ryzyka lub różnicy odsetków. V jest miarą siły zależności, nie miarą ryzyka.
4. Automatyczne stosowanie progów Cohena. Progi są orientacyjne i zależą od wymiaru tabeli, dziedziny oraz konsekwencji praktycznych.
5. Pomijanie struktury tabeli. Ta sama wartość V może wynikać z różnych wzorców rozmieszczenia liczebności.
6. Wnioskowanie przyczynowe z tabeli przekrojowej. Zależność statystyczna nie dowodzi kierunku przyczynowego.
7. Ignorowanie małych liczebności oczekiwanych. W takich sytuacjach przybliżenie chi-kwadrat może być niewiarygodne.
8. Porównywanie V z tabel o różnych wymiarach bez ostrożności. Interpretacja zależy od liczby kategorii i konstrukcji tabeli.
9. Brak informacji o sposobie kodowania. Jest to szczególnie ważne dla znaku phi.

Co warto zapamiętać?

• Phi jest naturalną miarą siły związku dla tabel 2×2.
• V Craméra służy do tabel r×c i przyjmuje wartości od 0 do 1.
• W tabeli 2×2 V Craméra jest równy bezwzględnej wartości phi.
• Wzory opierają się na χ², ale wielkość efektu i istotność statystyczna odpowiadają na różne pytania.
• Wartość efektu należy interpretować wraz z tabelą, liczebnością próby, przedziałem ufności i znaczeniem praktycznym.
• V nie wskazuje kierunku zależności, nie jest miarą ryzyka i nie dowodzi przyczynowości.
• W małych próbach oraz większych tabelach warto rozważyć skorygowany V i analizę wrażliwości.
• Dobry raport podaje co najmniej: tabelę, χ², stopnie swobody, p, phi lub V, liczebność próby oraz opis interpretacji.

Najważniejsza zasada brzmi: test chi-kwadrat mówi, czy dane są trudne do pogodzenia z niezależnością, natomiast phi i V Craméra pomagają opisać siłę obserwowanej zależności. Żadna z tych liczb nie zastępuje rozumowania metodologicznego.

Źródła i dalsza lektura

1. Wicher Bergsma (2013). A bias-correction for Cramér’s V and Tschuprow’s T. Journal of the Korean Statistical Society, 42(3), 323–328. DOI: 10.1016/j.jkss.2012.10.002.
2. Gail M. Sullivan; Richard Feinn (2012). Using Effect Size—or Why the P Value Is Not Enough. Journal of Graduate Medical Education, 4(3), 279–282. DOI: 10.4300/JGME-D-12-00156.1.
3. Jacob Cohen (1988). Statistical Power Analysis for the Behavioral Sciences. 2nd edition. Lawrence Erlbaum Associates. Informacja wydawcy / źródło.
4. Harald Cramér (1946). Mathematical Methods of Statistics. Princeton University Press. Informacja wydawcy / źródło.
5. Alan Agresti (2013). Categorical Data Analysis. 3rd edition. John Wiley & Sons. Informacja wydawcy / źródło.
6. American Psychological Association (2020). Publication Manual of the American Psychological Association: The Official Guide to APA Style. American Psychological Association. Źródło.