354. Phi dla tabeli 2×2

W tej lekcji, będącej częścią szkolenia na statystyk.edu.pl, zajmiemy się współczynnikiem phi, oznaczanym symbolem φ. Jest to miara siły związku między dwiema zmiennymi jakościowymi, z których każda ma dokładnie dwie kategorie. Przykładami takich zmiennych są: obecność lub brak choroby, ekspozycja lub brak ekspozycji, poprawna lub niepoprawna odpowiedź, wystąpienie lub niewystąpienie zdarzenia oraz pozytywny lub negatywny wynik testu.

Phi jest szczególnym przypadkiem miar stosowanych dla tabel kontyngencji. W tabeli 2×2 można ją powiązać z testem niezależności chi-kwadrat, ale nie należy utożsamiać tych dwóch elementów analizy. Test chi-kwadrat odpowiada przede wszystkim na pytanie, czy dane dostarczają podstaw do odrzucenia hipotezy o niezależności zmiennych. Współczynnik phi opisuje natomiast siłę związku. Dopiero wspólna interpretacja wartości p, przedziału ufności, wielkości efektu oraz znaczenia klinicznego lub społecznego daje pełniejszy obraz wyniku.

Czym jest tabela 2×2?

Tabela 2×2 przedstawia jednocześnie dwie zmienne dychotomiczne. Załóżmy, że badamy związek między zastosowaniem interwencji profilaktycznej a wystąpieniem zakażenia. Układ danych może wyglądać następująco:

	Zakażenie: tak	Zakażenie: nie	Suma
Interwencja: tak	a	b	a+b
Interwencja: nie	c	d	c+d
Suma	a+c	b+d	n

Litery a, b, c i d oznaczają liczebności obserwacji w czterech komórkach tabeli, a n jest całkowitą liczebnością próby. Kolejność wierszy i kolumn wpływa na znak współczynnika phi, ale nie na jego wartość bezwzględną. Jeżeli zamienimy kolejność kategorii jednej zmiennej, znak się odwróci. Jeżeli zmienimy kolejność kategorii obu zmiennych, wartość pozostanie taka sama.

Wzór na współczynnik phi

Dla tabeli 2×2 współczynnik phi można obliczyć ze wzoru:

φ = (ad − bc) / √[(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)]

W tym wzorze:

• a, b, c, d – liczebności w czterech komórkach tabeli;
• ad − bc – różnica iloczynów przekątnych, która określa kierunek związku;
• √ – pierwiastek kwadratowy;
• (a+b) i (c+d) – sumy wierszy;
• (a+c) i (b+d) – sumy kolumn.

W praktyce często stosuje się również równoważny wzór:

φ = √(χ² / n)

W tej postaci χ² oznacza statystykę testu chi-kwadrat Pearsona, a n – całkowitą liczebność próby. Wzór ten pokazuje bezpośredni związek między testem niezależności a miarą efektu. W tabeli 2×2 współczynnik phi jest także równy współczynnikowi korelacji Pearsona obliczonemu dla dwóch zmiennych zakodowanych binarnie, na przykład jako 0 i 1. Nie oznacza to jednak, że każdą korelację należy automatycznie interpretować tak samo jak związek przyczynowy.

Zakres wartości i znak współczynnika

Współczynnik phi przyjmuje wartości od −1 do +1. Wartość 0 oznacza brak liniowego związku między zakodowanymi binarnie zmiennymi, co w typowym układzie tabeli odpowiada niezależności zmiennych. Wartości dodatnie wskazują, że określone kategorie częściej występują razem, natomiast wartości ujemne oznaczają, że jedna kategoria jednej zmiennej częściej współwystępuje z przeciwną kategorią drugiej zmiennej.

Trzeba jednak zachować ostrożność przy interpretacji znaku. Znak nie ma samodzielnego znaczenia bez znajomości sposobu zakodowania kategorii. Jeżeli „tak” zakodujemy jako 1, a „nie” jako 0, otrzymamy inny znak niż wtedy, gdy zastosujemy odwrotne kodowanie. Dlatego w raporcie warto podać nie tylko wartość phi, lecz także jasno opisać, które kategorie uznano za dodatnie.

W interpretacji bezwzględnej wartości phi często przywołuje się orientacyjne progi Cohena: około 0,10 oznacza mały efekt, około 0,30 efekt średni, a około 0,50 efekt duży (Cohen, 1988). Nie są to jednak prawa natury ani uniwersalne granice obowiązujące w każdej dziedzinie. W badaniach medycznych nawet niewielka wartość phi może mieć znaczenie, jeśli dotyczy częstego i poważnego zdarzenia albo interwencji możliwej do wdrożenia przy niskim koszcie. Z kolei duża wartość phi nie musi oznaczać, że efekt jest ważny dla pacjenta, jeżeli zmienne są zastępcze lub słabo powiązane z decyzją kliniczną.

Phi a test chi-kwadrat

Test chi-kwadrat i współczynnik phi odpowiadają na różne pytania:

• test chi-kwadrat dotyczy zgodności danych z hipotezą niezależności;
• phi opisuje natężenie związku w tabeli 2×2;
• wartość p zależy między innymi od liczebności próby;
• phi jest miarą efektu i nie powinno się go zastępować samą wartością p.

Przy bardzo dużej próbie nawet słaby związek może dać małą wartość p. Przy małej próbie umiarkowany lub duży efekt może nie osiągnąć konwencjonalnego poziomu istotności statystycznej. Wartość p nie jest prawdopodobieństwem prawdziwości hipotezy zerowej. Nie mówi także, jakie jest prawdopodobieństwo, że obserwowany efekt jest „praktycznie ważny”. Te kwestie trzeba oceniać osobno.

W raporcie warto przedstawić liczebności i odsetki w tabeli, wynik testu chi-kwadrat, wartość phi oraz – jeżeli jest to możliwe – przedział ufności dla miary efektu. W analizie klinicznej należy dodatkowo rozważyć ryzyko względne, różnicę ryzyka, iloraz szans lub inne miary bardziej bezpośrednio odpowiadające pytaniu badawczemu (Agresti, 2013; Szklo i Nieto, 2019).

Przykład 1: szczepienie a zachorowanie

Załóżmy, że w badaniu obserwacyjnym analizowano 200 osób. W grupie zaszczepionej znalazło się 20 osób, które zachorowały, oraz 80 osób, które nie zachorowały. W grupie niezaszczepionej zachorowało 40 osób, a 60 nie zachorowało.

	Zachorowanie: tak	Zachorowanie: nie	Suma
Zaszczepieni	20	80	100
Niezaszczepieni	40	60	100
Suma	60	140	200

Podstawiając dane do wzoru, otrzymujemy:

φ = (20×60 − 80×40) / √[(100)(100)(60)(140)] ≈ −0,22

Wartość bezwzględna wynosi około 0,22, czyli znajduje się między orientacyjnym małym a średnim efektem. Znak ujemny wynika z przyjętego układu kategorii: szczepienie zakodowano jako pierwszą kategorię wiersza, a zachorowanie jako pierwszą kategorię kolumny. Nie należy interpretować znaku bez odniesienia do tabeli.

Wniosek „szczepienie zmniejszyło ryzyko zachorowania” byłby zbyt mocny, jeśli badanie miało charakter obserwacyjny. Można powiedzieć, że w badanej próbie status szczepienia był związany z zachorowaniem, a kierunek różnicy był zgodny z mniejszą częstością zachorowań wśród osób zaszczepionych. Do wnioskowania przyczynowego potrzebne byłyby odpowiednie założenia i schemat badania, a także kontrola potencjalnych czynników zakłócających.

Przykład 2: dodatni wynik testu przesiewowego a rozpoznanie

W drugim przykładzie oceniono zgodność wyniku testu przesiewowego z ostatecznym rozpoznaniem choroby. Wśród 50 osób z chorobą test był dodatni u 40, a u 10 ujemny. Wśród 150 osób bez choroby test był dodatni u 30, a u 120 ujemny.

	Choroba: tak	Choroba: nie	Suma
Test dodatni	40	30	70
Test ujemny	10	120	130
Suma	50	150	200

Dla takiego układu:

φ = (40×120 − 30×10) / √[(70)(130)(50)(150)] ≈ 0,53

Związek między wynikiem testu a rozpoznaniem jest zatem silny według często stosowanych, orientacyjnych kryteriów. Nie oznacza to jednak, że phi zastępuje czułość, swoistość, wartość predykcyjną dodatnią i ujemną. Wartości predykcyjne zależą od częstości choroby w populacji, natomiast phi jest miarą ogólnego związku w konkretnej tabeli. Jeśli pytanie dotyczy użyteczności testu diagnostycznego, należy raportować przede wszystkim miary właściwe dla diagnostyki.

Przykład praktyczny: jak opisać wynik

Załóżmy, że badacz analizuje związek między odbyciem szkolenia z pierwszej pomocy a poprawnym wykonaniem procedury przez ratowników. Otrzymał tabelę 2×2 i obliczył φ = 0,31, z 95-procentowym przedziałem ufności od 0,12 do 0,48. Test chi-kwadrat dał p = 0,002.

Poprawny opis mógłby brzmieć: „Odbycie szkolenia było związane z poprawnym wykonaniem procedury; siła związku była umiarkowana, φ = 0,31, 95% PU [0,12; 0,48], p = 0,002. Interpretację należy odnosić do liczebności w poszczególnych komórkach oraz do odsetka poprawnych wykonań w obu grupach.”

Taki zapis jest lepszy niż zdanie „szkolenie miało istotny wpływ”, ponieważ samo zestawienie dwóch zmiennych nie dowodzi wpływu przyczynowego. Jeśli szkolenie przydzielano losowo, język przyczynowy może być uzasadniony w większym stopniu, choć nadal trzeba uwzględnić jakość realizacji interwencji, utratę uczestników i sposób pomiaru wyniku.

Przedział ufności i małe liczebności

Punktowa wartość phi jest oszacowaniem uzyskanym z próby. Nie należy traktować jej jako dokładnej wartości związku w populacji. Przedział ufności pokazuje zakres wartości zgodnych z danymi i przyjętą procedurą estymacji. Szeroki przedział wskazuje na dużą niepewność, często wynikającą z małej liczebności lub rzadkich zdarzeń.

Przed obliczeniem phi trzeba sprawdzić liczebności oczekiwane. Gdy są małe, klasyczny test chi-kwadrat może być nieadekwatny; można rozważyć dokładny test Fishera. Nie rozwiązuje to jednak automatycznie problemu nieprecyzyjnego oszacowania efektu. Przy rzadkich zdarzeniach należy ostrożnie interpretować zarówno phi, jak i iloraz szans. Warto przedstawić surowe liczebności, odsetki oraz odpowiedni przedział ufności.

Najczęstsze błędy

• Traktowanie phi jako testu. Phi jest miarą efektu, a nie samodzielnym odpowiednikiem wartości p.
• Interpretowanie wartości p jako prawdopodobieństwa hipotezy zerowej. Wartość p opisuje zgodność danych z modelem zakładającym niezależność, a nie prawdziwość lub fałszywość hipotezy.
• Używanie progów Cohena mechanicznie. Progi 0,10, 0,30 i 0,50 są orientacyjne i powinny być konfrontowane z kontekstem dziedziny.
• Pomijanie kodowania kategorii. Znak phi zależy od tego, która kategoria została umieszczona w pierwszym wierszu i pierwszej kolumnie.
• Wnioskowanie o przyczynowości z tabeli obserwacyjnej. Związek statystyczny nie dowodzi, że jedna zmienna wywołała drugą.
• Zastępowanie miar klinicznych współczynnikiem phi. W diagnostyce potrzebne mogą być czułość, swoistość i wartości predykcyjne, a w badaniach interwencyjnych także różnica ryzyka, RR, OR, NNT lub NNH.
• Pomijanie struktury danych. Dla obserwacji sparowanych, na przykład dwóch ocen tego samego pacjenta, właściwe mogą być inne procedury, takie jak test McNemara lub współczynnik kappa, zależnie od pytania badawczego (McHugh, 2012).
• Mylenie związku z zgodnością. Wysoka korelacja lub phi nie zawsze oznacza, że dwie metody pomiaru są wymienne. W badaniach zgodności trzeba dobrać metodę do typu danych i celu porównania (Bland i Altman, 1986).

Phi, V Cramera i inne miary

Dla tabeli 2×2 wartość bezwzględna współczynnika phi jest równa współczynnikowi V Craméra. W większych tabelach stosuje się zwykle V Craméra, ponieważ klasyczny phi może przekraczać interpretacyjny zakres od −1 do 1 i tracić prostą interpretację. Współczynnik phi jest więc szczególnie użyteczny wtedy, gdy obie zmienne są binarne, a tabela ma dokładnie dwa wiersze i dwie kolumny (Agresti, 2013; Olivier i Bell, 2013).

W badaniach z naturalnym porządkiem kategorii można potrzebować miar uwzględniających uporządkowanie. Jeżeli zmienne są ilościowe, sztuczne dichotomizowanie może prowadzić do utraty informacji i obniżenia mocy analizy. Phi nie jest uniwersalną miarą dla każdej tabeli; powinien wynikać z właściwie postawionego pytania i struktury pomiaru.

Co warto zapamiętać?

• Współczynnik phi służy do oceny siły związku między dwiema zmiennymi dychotomicznymi.
• Dla tabeli 2×2 można go obliczyć jako φ = (ad − bc) / √[(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)] albo jako φ = √(χ²/n).
• Phi przyjmuje wartości od −1 do +1; znak zależy od sposobu uporządkowania i zakodowania kategorii.
• Test chi-kwadrat i phi pełnią różne funkcje: pierwszy odnosi się do zgodności z hipotezą niezależności, drugi do siły efektu.
• Wartość p nie jest miarą wielkości efektu ani prawdopodobieństwem prawdziwości hipotezy zerowej.
• Orientacyjne progi Cohena należy traktować jako pomoc, a nie jako sztywne reguły.
• W raporcie trzeba podać tabelę lub liczebności, odsetki, phi, niepewność oszacowania oraz kontekst praktyczny.
• Phi nie zastępuje miar ryzyka, miar diagnostycznych ani procedur oceny zgodności, jeśli to one odpowiadają na pytanie badawcze.

Najważniejsza zasada brzmi: nie pytaj wyłącznie, czy związek jest istotny statystycznie; zapytaj także, jak silny jest efekt, w jakim kierunku działa i czy ma znaczenie dla pacjentów, personelu, organizacji lub zdrowia publicznego.

Źródła i dalsza lektura

1. Cohen, J. (1988). Statistical Power Analysis for the Behavioral Sciences. 2nd ed.. Lawrence Erlbaum Associates. Informacja wydawcy / źródło.
2. Agresti, A. (2013). Categorical Data Analysis. 3rd ed.. John Wiley & Sons. Informacja wydawcy / źródło.
3. Olivier, J.; Bell, M. L. (2013). Effect Sizes for 2×2 Contingency Tables. PLOS ONE, 8(3), e58777. DOI: 10.1371/journal.pone.0058777.
4. McHugh, M. L. (2012). Interrater reliability: The kappa statistic. Biochemia Medica, 22(3), 276–282. DOI: 10.11613/BM.2012.031.
5. Bland, J. M.; Altman, D. G. (1986). Statistical methods for assessing agreement between two methods of clinical measurement. The Lancet, 327(8476), 307–310. DOI: 10.1016/S0140-6736(86)90837-8.
6. Szklo, M.; Nieto, F. J. (2019). Epidemiology: Beyond the Basics. 4th ed.. Jones & Bartlett Learning. Informacja wydawcy / źródło.