389. Porównanie dwóch proporcji – podstawowe podejścia

W wielu badaniach wynik ma postać dychotomiczną: pacjent przeżył albo nie przeżył, wystąpiło zakażenie albo nie wystąpiło, badany spełnił kryterium depresji albo go nie spełnił. Wtedy podstawową miarą częstości jest proporcja, czyli odsetek osób z określonym wynikiem. Jeżeli chcemy zestawić dwie grupy, interesuje nas nie tylko to, jaka proporcja wystąpiła w każdej z nich, lecz także to, czy obserwowana różnica jest dostatecznie precyzyjna, aby uzasadniała wniosek statystyczny i praktyczny.

W tej lekcji, będącej częścią szkolenia na statystyk.edu.pl, omawiamy podstawowe podejścia do porównania dwóch proporcji w grupach niezależnych. Szczególną uwagę poświęcimy różnicy proporcji, testowi dwóch proporcji, testowi chi-kwadrat, testowi dokładnemu Fishera oraz poprawnemu raportowaniu wyników.

1. Czym jest proporcja?

Załóżmy, że w grupie liczącej n osób u x osób wystąpiło zdarzenie, które nazywamy sukcesem statystycznym. Przykładem sukcesu może być uzyskanie remisji, przyjęcie do szpitala, wystąpienie działania niepożądanego albo udzielenie poprawnej odpowiedzi.

Proporcję w próbie oznaczamy zwykle symbolem:

p̂ = x / n

• x – liczba osób z analizowanym wynikiem,
• n – liczebność grupy,
• p̂ – proporcja zaobserwowana w próbie.

Jeżeli na 100 pacjentów u 18 wystąpiło zakażenie pooperacyjne, proporcja wynosi 18/100 = 0,18, czyli 18%. Proporcja jest liczbą z przedziału od 0 do 1, natomiast odsetek jest zwykle zapisywany jako wartość procentowa.

Ważne jest odróżnienie proporcji w próbie od proporcji populacyjnej. Wartość p̂ opisuje dane zebrane przez badacza, natomiast p oznacza nieznaną, rzeczywistą proporcję w populacji, do której chcemy odnosić wnioski.

2. Dwie proporcje i podstawowe miary różnicy

Rozważmy dwie grupy niezależne. W grupie 1 obserwujemy x₁ sukcesów wśród n₁ osób, a w grupie 2 – x₂ sukcesów wśród n₂ osób. Obserwowane proporcje wynoszą:

p̂1 = x1 / n1 oraz p̂2 = x2 / n2.

2.1. Różnica proporcji

Najprostszą miarą porównania jest różnica proporcji:

D = p̂1 − p̂2

Jeżeli w grupie leczonej poprawę uzyskało 60% osób, a w grupie kontrolnej 45%, różnica wynosi 15 punktów procentowych, czyli 0,60 − 0,45 = 0,15. Taki wynik nie oznacza automatycznie, że leczenie spowodowało poprawę. Wniosek przyczynowy wymaga odpowiedniego schematu badania, na przykład randomizowanego przydziału do grup.

Różnica proporcji jest często nazywana różnicą ryzyka, gdy analizowany wynik jest zdarzeniem zdrowotnym, a obie proporcje są ryzykami lub prawdopodobieństwami zdarzenia w porównywanych grupach. W badaniu obserwacyjnym bez odpowiedniej kontroli czynników zakłócających należy jednak mówić ostrożniej: o obserwowanej różnicy ryzyka lub różnicy częstości, a nie o efekcie przyczynowym.

2.2. Ryzyko względne i iloraz szans

Drugą miarą jest ryzyko względne:

RR = p̂1 / p̂2

Jeżeli ryzyko zakażenia wynosi 10% w grupie 1 i 20% w grupie 2, to RR = 0,10/0,20 = 0,50. Oznacza to, że obserwowane ryzyko w grupie 1 stanowi połowę ryzyka w grupie 2. Nie oznacza to zmniejszenia ryzyka o 50 punktów procentowych, lecz o 50% względnie.

Można także obliczyć iloraz szans (odds ratio, OR):

OR = [p̂1/(1−p̂1)] / [p̂2/(1−p̂2)]

OR jest szczególnie naturalny w regresji logistycznej i badaniach kliniczno-kontrolnych. Gdy zdarzenie jest częste, OR może jednak wyraźnie różnić się od RR. Dlatego nie należy używać tych miar zamiennie bez wyjaśnienia.

3. Hipoteza dotycząca dwóch proporcji

Najczęściej rozpatrujemy hipotezę zerową:

H0: p1 = p2

oraz hipotezę alternatywną:

H1: p1 ≠ p2.

Hipoteza jednostronna może mieć postać p1 > p2 albo p1 < p2, ale powinna wynikać z uzasadnienia naukowego ustalonego przed analizą, a nie z obejrzenia wyników.

W klasycznym teście dwóch proporcji wykorzystuje się proporcję połączoną, obliczaną przy założeniu prawdziwości hipotezy zerowej:

p̂ = (x1 + x2) / (n1 + n2)

Statystyka testowa ma postać:

z = (p̂1 − p̂2) / √[p̂(1−p̂)(1/n1 + 1/n2)]

W tym wzorze:

• z – statystyka porównująca obserwowaną różnicę z jej błędem standardowym,
• p̂₁ − p̂₂ – obserwowana różnica proporcji,
• p̂ – proporcja połączona,
• n₁, n₂ – liczebności obu grup.

Przy dostatecznie dużych liczebnościach statystyka z jest przybliżana rozkładem normalnym. W praktyce ten test jest blisko powiązany z testem chi-kwadrat Pearsona dla tabeli 2 × 2. Dla testu dwustronnego zachodzi zwykle relacja χ² = z², przy jednym stopniu swobody.

4. Test chi-kwadrat i test dokładny Fishera

4.1. Tabela 2 × 2

Dane dla dwóch proporcji można przedstawić następująco:

	Sukces	Brak sukcesu	Razem
Grupa 1	x1	n1 − x1	n1
Grupa 2	x2	n2 − x2	n2

Test chi-kwadrat sprawdza, czy rozkład odpowiedzi zależy od przynależności do grupy. Jest wygodny dla większych prób, ale jego przybliżenie może być niedokładne, gdy oczekiwane liczebności komórek są małe.

4.2. Kiedy rozważyć test Fishera?

Test dokładny Fishera jest użyteczny przede wszystkim przy małych próbach lub rzadkich zdarzeniach. Nie opiera się na przybliżeniu normalnym, lecz oblicza prawdopodobieństwo wyników tak ekstremalnych jak zaobserwowany, przy warunkowych założeniach testu.

Określenie „dokładny” nie oznacza, że test zawsze odpowiada każdemu pytaniu naukowemu lepiej niż inne metody. Test Fishera może być konserwatywny, a jego wartość p zależy od przyjętej definicji obszaru wyników równie lub bardziej ekstremalnych. Dlatego oprócz wartości p należy podać oszacowanie efektu i przedział ufności.

5. Przedział ufności dla różnicy proporcji

Sam test hipotezy nie mówi, jak duża jest różnica ani z jaką precyzją została oszacowana. Dlatego należy podawać przedział ufności dla p1 − p2.

Najprostsze przybliżenie ma postać:

(p̂1 − p̂2) ± z1−α/2 × √[p̂1(1−p̂1)/n1 + p̂2(1−p̂2)/n2]

W tym wzorze stosuje się osobne proporcje z obu grup, ponieważ przedział ufności dotyczy estymacji różnicy. Dla poziomu ufności 95% wartość krytyczna wynosi około 1,96.

Klasyczny przedział Waldowski jest łatwy do obliczenia, ale może działać słabo przy małych próbach, proporcjach bliskich 0 lub 1 oraz nierównych liczebnościach. Badania porównawcze wskazują, że lepsze własności mogą mieć przedziały oparte na metodzie Wilsona, w tym metoda łącząca dwa przedziały Wilsona opisana przez Newcombe’a (1998), a także korekta Agrestiego i Caffo polegająca na dodaniu dwóch sukcesów i dwóch niepowodzeń do każdej grupy (Agresti i Caffo, 2000). Newcombe porównywał wiele metod i wskazywał na problemy z pokryciem nominalnym prostych przedziałów przybliżonych. ([onlinelibrary.wiley.com])

W analizie publikacyjnej warto zatem podać, jaką metodę przedziału zastosowano. Samo stwierdzenie „95-procentowy przedział ufności” jest niepełne, jeśli przy małej próbie wybór metody może istotnie zmienić wynik.

6. Przykład 1: skuteczność interwencji pielęgniarskiej

W badaniu porównano dwie grupy pacjentów po zabiegu. W grupie objętej rozszerzoną edukacją pielęgniarską 42 z 80 pacjentów prawidłowo stosowało zalecenia po wypisie. W grupie standardowej było to 28 z 80 pacjentów.

• grupa interwencji: p̂1 = 42/80 = 0,525, czyli 52,5%,
• grupa standardowa: p̂2 = 28/80 = 0,350, czyli 35,0%,
• różnica: 0,525 − 0,350 = 0,175, czyli 17,5 punktu procentowego.

Interpretacja opisowa brzmi: w tej próbie odsetek pacjentów prawidłowo stosujących zalecenia był o 17,5 punktu procentowego wyższy w grupie rozszerzonej edukacji. Następnie można przeprowadzić test dwóch proporcji lub test chi-kwadrat i wyznaczyć 95-procentowy przedział ufności dla różnicy.

Nie należy jednak pisać, że edukacja „zwiększyła” przestrzeganie zaleceń, jeśli grupy nie były randomizowane albo różniły się ważnymi cechami wyjściowymi. W takim przypadku poprawne będzie sformułowanie „odsetek był wyższy” lub „zaobserwowano większą proporcję”. Jeśli badanie było randomizowane i prawidłowo przeprowadzone, interpretacja przyczynowa może być bardziej uzasadniona, choć nadal wymaga oceny kompletności obserwacji i innych źródeł błędu.

7. Przykład 2: zakażenie w badaniu klinicznym

Załóżmy, że w grupie A zakażenie wystąpiło u 6 spośród 30 pacjentów, a w grupie B u 2 spośród 30 pacjentów. Proporcje wynoszą odpowiednio 20% i 6,7%, a różnica to 13,3 punktu procentowego.

Ze względu na małe liczebności komórek tabeli 2 × 2 zastosowanie asymptotycznego testu chi-kwadrat może być problematyczne. W takiej sytuacji można rozważyć test dokładny Fishera. Jednocześnie raport powinien zawierać co najmniej:

• liczbę zdarzeń i liczebność każdej grupy,
• proporcję lub odsetek w każdej grupie,
• różnicę proporcji albo inną uzasadnioną miarę efektu,
• 95-procentowy przedział ufności,
• wartość p i nazwę zastosowanej procedury.

Jeżeli przedział ufności jest bardzo szeroki, oznacza to ograniczoną precyzję, nawet gdy wynik testu jest formalnie istotny. Mała próba może więc pozwolić wykryć silną rozbieżność, ale nie musi dawać dokładnego oszacowania rzeczywistej wielkości różnicy.

8. Jak interpretować wynik?

Wartość p nie jest prawdopodobieństwem, że hipoteza zerowa jest prawdziwa. Jest miarą zgodności danych z hipotezą zerową, przy określonym modelu i założeniach. Wynik p < 0,05 nie dowodzi ani istnienia ważnego efektu praktycznego, ani prawdziwości hipotezy alternatywnej.

Przykładowo różnica 1 punktu procentowego może być statystycznie istotna przy bardzo dużej próbie, lecz klinicznie nieistotna. Odwrotnie, różnica 15 punktów procentowych może nie osiągnąć istotności przy małej próbie, mimo że potencjalnie ma znaczenie dla praktyki. Dlatego interpretację powinno się opierać na trzech elementach: kierunku efektu, jego wielkości i precyzji.

Przykładowy zapis wyniku może wyglądać następująco: „Prawidłowe stosowanie zaleceń stwierdzono u 52,5% pacjentów w grupie edukacji i u 35,0% w grupie standardowej; różnica wyniosła 17,5 punktu procentowego. Wynik testu i 95-procentowy przedział ufności dla różnicy należy podać wraz z metodą obliczeń”. Taki opis jest bardziej informacyjny niż samo „różnica była istotna statystycznie”.

9. Najczęstsze błędy

• Mylenie procentów z punktami procentowymi. Zmiana z 40% do 50% oznacza wzrost o 10 punktów procentowych, ale o 25% względnie.
• Automatyczne stosowanie testu chi-kwadrat. Przy małych oczekiwanych liczebnościach należy rozważyć test Fishera lub inną metodę adekwatną do danych.
• Używanie testu dla prób niezależnych przy danych sparowanych. Jeżeli te same osoby oceniano przed i po interwencji, zwykłe porównanie dwóch niezależnych proporcji ignoruje zależność obserwacji. Wtedy potrzebne są metody dla danych sparowanych, na przykład test McNemara.
• Raportowanie wyłącznie wartości p. Bez różnicy proporcji i przedziału ufności nie wiadomo, jak duży i jak precyzyjny jest wynik.
• Traktowanie OR jak RR. Iloraz szans i ryzyko względne są podobne tylko w określonych sytuacjach, między innymi gdy zdarzenie jest rzadkie.
• Wnioskowanie przyczynowe z badania obserwacyjnego. Wyższa proporcja w jednej grupie nie musi wynikać z badanego czynnika; możliwe są różnice selekcyjne i czynniki zakłócające.
• Ignorowanie braków danych. Jeżeli mianowniki różnią się między analizowanymi zmiennymi, trzeba wyjaśnić, kto został uwzględniony w każdym porównaniu.
• Mechaniczne stosowanie progu 0,05. Istotność statystyczna nie zastępuje oceny klinicznej, społecznej ani organizacyjnej.

10. Jak zaplanować analizę?

1. Określ, co jest zdarzeniem i czy wynik rzeczywiście ma charakter dychotomiczny.
2. Ustal, czy grupy są niezależne, czy obserwacje są sparowane.
3. Podaj liczby zdarzeń, liczebności mianowników i proporcje.
4. Wybierz główną miarę efektu: różnicę proporcji, RR, OR albo kilka miar uzasadnionych pytaniem badawczym.
5. Oceń liczebności oczekiwane i zdecyduj, czy przybliżenie chi-kwadrat lub normalne jest wystarczające.
6. Oblicz przedział ufności metodą odpowiednią do wielkości próby i charakteru danych.
7. Raportuj wynik w kontekście projektu badania, braków danych i możliwych zakłóceń.

W badaniach randomizowanych przejrzystość raportu można wspierać zaleceniami CONSORT, które obejmują między innymi sposób przedstawienia liczebności, przepływu uczestników i wyników w grupach (Schulz, Altman i Moher, 2010). W badaniach obserwacyjnych przydatne są zalecenia STROBE dotyczące kompletnego opisu projektu, uczestników, zmiennych i analiz (von Elm i in., 2007). ([journals.plos.org])

Przykład praktyczny: ocena programu profilaktycznego

Powiatowy zespół zdrowia publicznego chce ocenić, czy program przypominania SMS zwiększa zgłaszalność na badania przesiewowe. W grupie objętej SMS na badanie zgłosiło się 180 z 300 osób, czyli 60%. W grupie bez SMS zgłosiło się 135 z 300 osób, czyli 45%.

Najpierw obliczamy różnicę: 0,60 − 0,45 = 0,15, a więc 15 punktów procentowych. Następnie można obliczyć RR: 0,60/0,45 = 1,33. W sensie opisowym zgłaszalność w grupie SMS była 1,33 raza większa niż w grupie porównawczej.

Jeżeli przydział do grup był losowy, można ostrożnie rozważać wpływ programu, pod warunkiem że zachowano kompletność obserwacji i zgodność z protokołem. Jeżeli grupy wybrano z różnych poradni lub dzielnic, wynik może być związany także z dostępnością transportu, strukturą wieku, wcześniejszą motywacją albo różnicami organizacyjnymi. Wtedy analiza dwóch proporcji nadal opisuje dane, ale nie rozstrzyga sama przez się o skuteczności przyczynowej programu.

W raporcie warto podać zarówno wartości bezwzględne, jak i względne: „Na badanie zgłosiło się 180/300 osób w grupie SMS oraz 135/300 w grupie porównawczej. Różnica wyniosła 15 punktów procentowych, a ryzyko względne 1,33. Wynik testu i przedział ufności dla tych miar należy interpretować w świetle projektu badania”.

Co warto zapamiętać?

• Porównanie dwóch proporcji dotyczy wyników dychotomicznych w dwóch grupach.
• Najbardziej bezpośrednią miarą jest różnica proporcji, wyrażana często w punktach procentowych.
• RR i OR odpowiadają na inne pytania i nie powinny być traktowane jako synonimy.
• Test z dla dwóch proporcji i test chi-kwadrat dla tabeli 2 × 2 są blisko powiązane przy odpowiednich założeniach.
• Przy małych liczebnościach można rozważyć test dokładny Fishera, ale należy nadal raportować wielkość efektu i przedział ufności.
• Przedziały Waldowskie mogą być niedokładne dla małych prób i proporcji bliskich 0 lub 1; warto rozważyć metody Wilsona, Newcombe’a albo korektę Agrestiego–Caffo.
• Wartość p nie jest prawdopodobieństwem prawdziwości hipotezy zerowej.
• Wniosek statystyczny, znaczenie praktyczne i wniosek przyczynowy to trzy odrębne kwestie.
• Jeżeli pomiary pochodzą od tych samych osób, nie należy automatycznie stosować procedur dla grup niezależnych.

Źródła i dalsza lektura

1. Newcombe, Robert G. (1998). Interval estimation for the difference between independent proportions: comparison of eleven methods. Statistics in Medicine, 17(8), 873–890. DOI: 10.1002/(SICI)1097-0258(19980430)17:8<873::AID-SIM779>3.0.CO;2-I.
2. Agresti, Alan; Caffo, Brian (2000). Simple and Effective Confidence Intervals for Proportions and Differences of Proportions Result from Adding Two Successes and Two Failures. The American Statistician, 54(4), 280–288. DOI: 10.1080/00031305.2000.10474560.
3. Fleiss, Joseph L.; Levin, Bruce; Paik, Myunghee Cho (2003). Statistical Methods for Rates and Proportions. 3rd edition. John Wiley & Sons. Informacja wydawcy / źródło.
4. Schulz, Kenneth F.; Altman, Douglas G.; Moher, David; for the CONSORT Group (2010). CONSORT 2010 Statement: Updated guidelines for reporting parallel group randomised trials. BMJ, 340, c332. DOI: 10.1136/bmj.c332.
5. von Elm, Erik; Altman, Douglas G.; Egger, Matthias; Pocock, Stuart J.; Gøtzsche, Peter C.; Vandenbroucke, Jan P.; for the STROBE Initiative (2007). The Strengthening the Reporting of Observational Studies in Epidemiology (STROBE) statement: guidelines for reporting observational studies. BMJ, 335(7624), 806–808. DOI: 10.1136/bmj.39335.541782.
6. Bland, J. Martin; Altman, Douglas G. (1986). Statistical methods for assessing agreement between two methods of clinical measurement. The Lancet, 327(8476), 307–310. Pełny opis źródła.