288. Reguła 68–95–99,7 dla rozkładu normalnego

Reguła 68–95–99,7 jest jednym z najpraktyczniejszych przybliżeń związanych z rozkładem normalnym. Pozwala szybko odpowiedzieć na pytanie, jaka część obserwacji powinna znajdować się blisko średniej, jeżeli analizowana zmienna ma rozkład normalny lub dostatecznie dobrze go przypomina. W tej lekcji, będącej częścią szkolenia na statystyk.edu.pl, przejdziemy od intuicji do formalnego zapisu, a następnie zastosujemy regułę w przykładach z obszaru zdrowia i psychologii.

Na czym polega reguła 68–95–99,7?

Dla zmiennej o rozkładzie normalnym około:

• 68,27% obserwacji znajduje się w przedziale od jednej wartości odchylenia standardowego poniżej średniej do jednej wartości odchylenia standardowego powyżej średniej;
• 95,45% obserwacji znajduje się w przedziale obejmującym dwa odchylenia standardowe po obu stronach średniej;
• 99,73% obserwacji znajduje się w przedziale obejmującym trzy odchylenia standardowe po obu stronach średniej.

W uproszczeniu wartości te zaokrągla się do 68%, 95% i 99,7%, stąd nazwa reguły. W literaturze anglojęzycznej spotyka się określenie empirical rule, czyli reguła empiryczna. NIST podaje dokładniejsze wartości 68,27%, 95,45% i 99,73% dla przedziałów odpowiednio μ ± 1σ, μ ± 2σ i μ ± 3σ (NIST, 2015). ([nist.gov](https://www.nist.gov/pml/nist-tn-1297-guidelines-appendix-b-table-b1?utm_source=openai))

Reguła nie jest osobnym testem statystycznym ani metodą estymacji. Jest konsekwencją właściwości rozkładu normalnego i służy przede wszystkim do szybkiej interpretacji położenia obserwacji względem średniej.

Wzór i znaczenie oznaczeń

Regułę można zapisać następująco:

P(μ − kσ ≤ X ≤ μ + kσ)

gdzie:

• X oznacza analizowaną zmienną losową lub wynik pojedynczej obserwacji;
• μ oznacza średnią populacyjną;
• σ oznacza odchylenie standardowe populacji;
• k przyjmuje wartość 1, 2 albo 3;
• P(…) oznacza prawdopodobieństwo, że wynik X znajdzie się w określonym przedziale.

Dla kolejnych wartości k otrzymujemy:

Zakres	Przybliżony odsetek obserwacji	Odsetek poza zakresem
μ ± 1σ	68,27%	31,73%
μ ± 2σ	95,45%	4,55%
μ ± 3σ	99,73%	0,27%

W rozkładzie symetrycznym odsetek poza przedziałem dzieli się równo na dwa ogony. Oznacza to, że poza zakresem μ ± 2σ znajduje się około 4,55% obserwacji, czyli około 2,275% poniżej dolnej granicy i 2,275% powyżej górnej granicy. Poza zakresem μ ± 3σ pozostaje łącznie około 0,27%, a więc około 0,135% w każdym ogonie.

Dlaczego odchylenie standardowe jest tu tak ważne?

Średnia informuje o centralnym położeniu rozkładu, natomiast odchylenie standardowe opisuje typową skalę zróżnicowania wyników. Sama średnia nie wystarcza do określenia, czy dana obserwacja jest typowa. Wynik 120 może być bliski średniej w jednej populacji, ale bardzo odległy od średniej w innej.

Załóżmy, że średnie stężenie pewnego parametru wynosi 100 jednostek. Jeżeli odchylenie standardowe wynosi 5, to wynik 120 leży cztery odchylenia standardowe powyżej średniej i byłby bardzo nietypowy. Jeżeli jednak odchylenie standardowe wynosi 20, ten sam wynik znajduje się tylko jedno odchylenie standardowe powyżej średniej i mieści się w centralnej, dość typowej części rozkładu.

Reguła 68–95–99,7 łączy więc informację o położeniu wyniku z informacją o zmienności populacji. Nie należy stosować jej bez znajomości, a przynajmniej rozsądnej oceny, rozproszenia danych.

Przejście od wyniku surowego do odległości od średniej

Do oceny, w którym miejscu rozkładu znajduje się obserwacja, można wykorzystać wynik standaryzowany:

z = (x − μ) / σ

W tym wzorze x oznacza konkretną obserwację, μ średnią, a σ odchylenie standardowe. Wynik z informuje, o ile odchyleń standardowych obserwacja różni się od średniej.

• z = 0 oznacza wynik równy średniej;
• z = 1 oznacza wynik o jedno odchylenie standardowe powyżej średniej;
• z = −2 oznacza wynik o dwa odchylenia standardowe poniżej średniej;
• |z| > 3 oznacza wynik znajdujący się poza zakresem obejmującym około 99,7% obserwacji, jeżeli model normalny jest adekwatny.

W praktyce badawczej parametry populacji są często nieznane. Wtedy używa się średniej z próby i odchylenia standardowego z próby, ale interpretacja staje się przybliżeniem zależnym od jakości próby oraz od tego, czy rozkład danych rzeczywiście jest zbliżony do normalnego.

Przykład 1. Ciśnienie skurczowe w grupie dorosłych

Załóżmy, że w badanej grupie dorosłych średnie skurczowe ciśnienie tętnicze wynosi 125 mmHg, a odchylenie standardowe 15 mmHg. Przy założeniu rozkładu normalnego:

• około 68% wyników powinno mieścić się między 110 a 140 mmHg, ponieważ 125 ± 15;
• około 95% wyników powinno mieścić się między 95 a 155 mmHg, ponieważ 125 ± 30;
• około 99,7% wyników powinno mieścić się między 80 a 170 mmHg, ponieważ 125 ± 45.

Wynik 155 mmHg znajduje się na granicy przedziału obejmującego około 95% obserwacji. Wynik 170 mmHg znajduje się na granicy zakresu obejmującego około 99,7% wyników. Nie oznacza to jednak automatycznie, że pojedyncza osoba z takim wynikiem ma rozpoznanie choroby. Reguła opisuje położenie pomiaru względem rozkładu, a nie zastępuje kryteriów diagnostycznych, oceny klinicznej ani powtarzanych pomiarów.

Ważne jest także, że ciśnienie skurczowe może w konkretnej populacji nie mieć idealnie normalnego rozkładu. Wiek, leczenie, choroby współistniejące i sposób doboru uczestników mogą wpływać na kształt danych. Reguła jest więc użytecznym przybliżeniem, a nie dowodem, że wszystkie wyniki muszą znajdować się w podanych granicach.

Przykład 2. Wyniki kwestionariusza psychologicznego

W badaniu przesiewowym użyto skali mierzącej nasilenie objawów stresu. W populacji odniesienia średnia wynosi 50 punktów, a odchylenie standardowe 10 punktów. Jeżeli rozkład wyników jest w przybliżeniu normalny, można oczekiwać, że:

• około 68% osób uzyska wynik od 40 do 60 punktów;
• około 95% osób uzyska wynik od 30 do 70 punktów;
• około 99,7% osób uzyska wynik od 20 do 80 punktów.

Osoba z wynikiem 70 ma z = 2, czyli znajduje się około dwóch odchyleń standardowych powyżej średniej. Jest to wynik relatywnie wysoki w porównaniu z populacją odniesienia. Nie można jednak powiedzieć, że wynik ten z prawdopodobieństwem 95% oznacza zaburzenie psychiczne. Reguła dotyczy rozkładu wyników, a nie trafności diagnozy. Do interpretacji klinicznej potrzebne są między innymi normy dla odpowiedniej populacji, właściwości psychometryczne narzędzia oraz ustalone punkty odcięcia.

Przykład praktyczny: wynik laboratoryjny i zakres referencyjny

W laboratorium średnie stężenie pewnego markera u zdrowych osób wynosi 10 mg/L, a odchylenie standardowe 2 mg/L. Przy rozkładzie normalnym przedział μ ± 2σ wynosi od 6 do 14 mg/L i obejmuje około 95% wyników.

Można by pochopnie uznać, że wartości poniżej 6 lub powyżej 14 mg/L są zawsze nieprawidłowe. Taka interpretacja byłaby jednak zbyt silna. Po pierwsze, około 5% zdrowych osób z definicji znajdzie się poza przedziałem obejmującym 95% populacji. Po drugie, kliniczny zakres referencyjny jest zwykle konstruowany według określonej procedury, często na podstawie centralnego przedziału 95% w starannie zdefiniowanej populacji referencyjnej. Po trzecie, wynik laboratoryjny należy interpretować w kontekście objawów, innych badań, wieku, płci, stanu fizjologicznego i metody pomiaru.

Reguła pomaga więc zrozumieć, dlaczego pojedyncze przekroczenie zakresu nie musi oznaczać choroby, a także dlaczego wynik oddalony o trzy odchylenia standardowe zasługuje na szczególną uwagę. Nadal nie jest to jednak samodzielne narzędzie diagnostyczne.

Kiedy reguła działa dobrze?

Reguła 68–95–99,7 jest najbardziej użyteczna, gdy:

• zmienna ilościowa ma rozkład zbliżony do normalnego;
• rozkład jest w przybliżeniu symetryczny;
• średnia i odchylenie standardowe są sensownymi miarami położenia i zmienności;
• obserwacje nie są silnie zależne od siebie;
• analizowana populacja została właściwie zdefiniowana.

Ocena normalności nie powinna opierać się wyłącznie na jednym teście. Warto połączyć histogram, wykres kwantyl–kwantyl, informacje o skośności i kurtozie oraz wiedzę dziedzinową. Test Shapiro–Wilka jest klasyczną procedurą oceny zgodności danych z rozkładem normalnym, ale jego wynik również wymaga interpretacji w kontekście liczebności próby i celu analizy (Shapiro i Wilk, 1965). ([scinovex.com])

W dużych próbach nawet niewielkie odstępstwo od normalności może dać bardzo małą wartość p, natomiast w małych próbach test może nie wykryć istotnych problemów. Wartość p nie jest prawdopodobieństwem, że hipoteza zerowa jest prawdziwa, ani miarą tego, jak bardzo dane są „normalne”.

Najczęstsze błędy

1. Stosowanie reguły do dowolnych danych

Reguła wynika z modelu normalnego. Nie należy stosować jej automatycznie do danych silnie skośnych, wielomodalnych, ograniczonych od dołu przez zero albo zawierających wiele wartości odstających. Dla takich zmiennych lepsze mogą być mediana i kwartyle, transformacja danych albo model właściwy dla konkretnego rozkładu.

2. Mylenie 95% obserwacji z 95-procentowym przedziałem ufności

Przedział μ ± 2σ opisuje przybliżony zakres indywidualnych obserwacji w populacji normalnej. Nie jest tym samym co 95-procentowy przedział ufności dla średniej. Przedział ufności dotyczy niepewności estymacji parametru, a reguła 68–95–99,7 dotyczy rozproszenia obserwacji.

3. Traktowanie granic jako ostrych punktów diagnostycznych

Wartość 139 i 140 może być praktycznie niemal identyczna, nawet jeżeli jedna znajduje się tuż wewnątrz, a druga tuż poza określonym przedziałem. Reguła opisuje przybliżony rozkład, nie tworzy naturalnych granic między „normalnością” i „nienormalnością”.

4. Uznawanie każdego wyniku poza ±3σ za błąd

Obserwacja poza zakresem trzech odchyleń standardowych jest rzadka w modelu normalnym, ale może być prawdziwym, ważnym wynikiem. Może również wynikać z błędu pomiaru, pomyłki przy wprowadzaniu danych albo z obecności innej podgrupy w populacji. Należy ją zweryfikować, a nie usuwać mechanicznie.

5. Wyciąganie wniosków przyczynowych

Położenie wyniku względem średniej nie mówi, co spowodowało jego odchylenie. Sam fakt, że dwie grupy różnią się położeniem względem średniej, nie dowodzi, że jedna zmienna wywołuje drugą. Wnioski przyczynowe wymagają odpowiedniego schematu badania, kontroli zakłóceń i poprawnej analizy.

Reguła empiryczna a interpretacja wyników standaryzowanych

Wyniki z są szczególnie przydatne, gdy chcemy porównywać pomiary wyrażone w różnych jednostkach. Przykładowo wynik 140 mmHg w jednej populacji może mieć z = 1, a wynik 70 punktów w skali psychologicznej może mieć z = 2. W sensie relatywnym drugi wynik jest dalej od średniej swojej populacji.

Nie oznacza to, że różnica dwóch jednostek z ma automatycznie większe znaczenie praktyczne. Wielkość efektu statystycznego należy oceniać razem z kontekstem klinicznym lub społecznym, jakością pomiaru, kosztami błędów oraz konsekwencjami decyzji.

Co warto zapamiętać?

• Reguła 68–95–99,7 dotyczy rozkładu normalnego lub danych dostatecznie dobrze go przybliżających.
• Około 68% obserwacji leży w zakresie μ ± 1σ, około 95% w zakresie μ ± 2σ, a około 99,7% w zakresie μ ± 3σ.
• Odchylenie standardowe określa jednostkę odległości od średniej.
• Wynik z informuje, o ile odchyleń standardowych obserwacja różni się od średniej.
• Reguła nie jest testem diagnostycznym, przedziałem ufności ani dowodem prawdziwości hipotezy.
• Wartości poza zakresem ±2σ lub ±3σ wymagają interpretacji, ale nie powinny być automatycznie usuwane.
• Istotność statystyczna, wielkość efektu i znaczenie praktyczne są odrębnymi aspektami wyniku.

Najkrótsza praktyczna procedura wygląda następująco: najpierw sprawdź, czy model normalny jest rozsądny; następnie oblicz odległość obserwacji od średniej w jednostkach odchylenia standardowego; na końcu połącz wynik z kontekstem badania. Reguła jest świetnym narzędziem orientacyjnym, ale dobra analiza statystyczna wymaga czegoś więcej niż mechanicznego przypisania obserwacji do przedziału 68%, 95% albo 99,7%.

Źródła i dalsza lektura

1. Altman, D. G.; Bland, J. M. (1995). Statistics notes: the normal distribution. BMJ, 310(6975), 298. DOI: 10.1136/bmj.310.6975.298.
2. Shapiro, S. S.; Wilk, M. B. (1965). An analysis of variance test for normality (complete samples). Biometrika, 52(3–4), 591–611. DOI: 10.1093/biomet/52.3-4.591.
3. National Institute of Standards and Technology (2015). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods: What do we mean by “Normal” data?. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods. National Institute of Standards and Technology. Źródło.
4. National Institute of Standards and Technology (1994). Guidelines for Evaluating and Expressing the Uncertainty of NIST Measurement Results: Appendix B, Table B.1. NIST Technical Note 1297. National Institute of Standards and Technology. Źródło.
5. Kirkwood, Betty R.; Sterne, Jonathan A. C. (2003). Essential Medical Statistics. 2nd edition. Blackwell Science Ltd.. Informacja wydawcy / źródło.
6. Motulsky, Harvey (2023). Intuitive Biostatistics: A Nonmathematical Guide to Statistical Thinking. 4th edition. Oxford University Press. Informacja wydawcy / źródło.