123. Skala przedziałowa – znaczenie równych odległości

W poprzednich lekcjach rozróżnialiśmy skale nominalne i porządkowe. Skala nominalna pozwala jedynie odróżniać kategorie, a skala porządkowa dodatkowo ustala ich kolejność. Kolejny poziom pomiaru wprowadza własność szczególnie ważną dla analiz ilościowych: równe odległości między kolejnymi wartościami. Jest to istota skali przedziałowej.

W praktyce badawczej określenie „skala przedziałowa” bywa używane zbyt swobodnie. Sam fakt, że wartości zapisano liczbami, nie oznacza jeszcze, że różnica między 10 a 20 ma takie samo znaczenie jak różnica między 40 a 50. Równość odległości musi wynikać z konstrukcji pomiaru, przyjętej jednostki i uzasadnienia teoretycznego lub empirycznego. Dopiero wtedy można sensownie interpretować różnice, średnie czy odchylenia standardowe.

Czym jest skala przedziałowa?

Skala przedziałowa to sposób pomiaru, w którym:

• wartości można uporządkować;
• różnice między sąsiednimi wartościami mają ustalone i porównywalne znaczenie;
• jednostka pomiaru jest stała w całym zakresie skali;
• zero jest punktem umownym, a nie koniecznie oznacza całkowity brak mierzonej cechy.

Najprościej powiedzieć, że na skali przedziałowej sens ma pytanie: o ile większa lub mniejsza jest jedna wartość od drugiej? Nie ma natomiast pełnego uzasadnienia pytanie: ile razy większa jest jedna wartość od drugiej?

Klasycznym przykładem jest temperatura wyrażona w stopniach Celsjusza. Różnica między 10°C a 20°C wynosi 10 stopni, podobnie jak różnica między 20°C a 30°C. Można więc porównywać przyrosty temperatury. Nie można jednak powiedzieć, że 20°C jest dwa razy cieplejsze niż 10°C, ponieważ punkt 0°C jest ustalony konwencjonalnie i nie oznacza braku energii cieplnej. W skali Kelvina sytuacja jest inna: zero bezwzględne ma interpretację fizyczną, dlatego temperatura w kelwinach jest przykładem skali ilorazowej, a nie przedziałowej.

Klasyfikacja skal wywodzi się z typologii zaproponowanej przez Stevensa, który odróżnił skale nominalne, porządkowe, przedziałowe i ilorazowe (Stevens, 1946). Typologia ta jest użyteczna dydaktycznie, ale nie powinna zastępować analizy konkretnego narzędzia i sposobu pomiaru. Velleman i Wilkinson (1993) zwracali uwagę, że sztywne przypisywanie każdej zmiennej do jednej z czterech kategorii może prowadzić do uproszczeń.

Znaczenie równych odległości

Równe odległości oznaczają, że jednostka skali ma takie samo znaczenie w różnych miejscach zakresu pomiarowego. Jeżeli skala ma jednostkę u, to przejście z wartości x do x + u oznacza taki sam przyrost mierzonej cechy niezależnie od poziomu wyjściowego.

Można to zapisać następująco:

x2 - x1 = x4 - x3

jeżeli oba przedziały reprezentują taki sam przyrost mierzonej właściwości.

W tym zapisie:

• x1 i x2 oznaczają dwie wartości na pierwszym fragmencie skali;
• x3 i x4 oznaczają dwie wartości na drugim fragmencie skali;
• równość różnic oznacza, że odległości pomiędzy punktami są porównywalne.

Na przykład różnica między 5°C a 15°C wynosi 10°C, a różnica między 25°C a 35°C również wynosi 10°C. W obu przypadkach obserwujemy taki sam przyrost na skali temperatury Celsjusza, choć nie możemy poprawnie interpretować ilorazu tych wartości.

Zero umowne a zero absolutne

Najważniejszą różnicą między skalą przedziałową a ilorazową jest status zera. W skali przedziałowej zero może być wybrane umownie. Zmiana punktu zerowego nie narusza sensu różnic, lecz wpływa na same wartości liczbowe.

Temperaturę można zapisać w stopniach Celsjusza lub Fahrenheita. Konwersja ma postać:

F = 32 + 1,8C

gdzie C oznacza temperaturę w stopniach Celsjusza, a F temperaturę w stopniach Fahrenheita. Pomimo zmiany punktu zerowego i wielkości jednostki różnice pozostają przekształcalne w sposób jednoznaczny. Nie można jednak sensownie interpretować stosunku 20°C do 10°C jako stosunku ilości ciepła.

W skali ilorazowej zero oznacza brak mierzonej wielkości w sensie właściwym dla danego pomiaru. Masa równa 0 kg oznacza brak masy, czas trwania równy 0 sekund oznacza brak trwania, a liczba hospitalizacji równa 0 oznacza brak hospitalizacji w analizowanej populacji i okresie. W takich skalach ilorazy mogą mieć znaczenie, choć również wymagają ostrożności i poprawnego zdefiniowania jednostki.

Jakie operacje są uzasadnione?

Na danych przedziałowych można wykonywać operacje oparte na różnicach. W szczególności uzasadnione może być:

• porządkowanie wyników;
• obliczanie różnic między obserwacjami;
• wyznaczanie średniej arytmetycznej, jeżeli sposób pomiaru i rozkład danych na to pozwalają;
• obliczanie wariancji i odchylenia standardowego;
• analizowanie korelacji, regresji i innych modeli, o ile spełnione są ich założenia;
• porównywanie zmian między grupami lub pomiarami.

Nie oznacza to, że sama etykieta „przedziałowa” automatycznie uzasadnia każdy test parametryczny. Wybór metody zależy także od niezależności obserwacji, rozkładu reszt, jednorodności wariancji, liczebności próby, braków danych i konstrukcji badania. Poziom pomiaru jest ważną informacją, lecz nie jest kompletną instrukcją analizy.

Warto również odróżnić możliwość wykonania operacji matematycznej od interpretowalności wyniku. Program statystyczny może obliczyć średnią dla niemal dowolnych kodów liczbowych. Nie oznacza to, że średnia zawsze opisuje sensowną wielkość empiryczną.

Przykład 1: temperatura ciała

Załóżmy, że w badaniu ratowniczym zapisano temperaturę ciała pacjentów w stopniach Celsjusza. Wyniki trzech osób wynoszą odpowiednio 36,0°C, 37,0°C i 38,0°C.

Różnica między pierwszym a drugim wynikiem wynosi 1°C, podobnie jak między drugim a trzecim. Można więc powiedzieć, że drugi pacjent miał temperaturę o 1°C wyższą od pierwszego, a trzeci o 1°C wyższą od drugiego. Można także obliczyć średnią temperaturę grupy, jeżeli wartości są rzeczywistymi pomiarami temperatury, a nie jedynie kategoriami typu „niska”, „prawidłowa” i „wysoka”.

Nie należy jednak stwierdzać, że pacjent z temperaturą 38°C ma dwa razy wyższą temperaturę niż pacjent z temperaturą 19°C. Taki iloraz zależy od arbitralnego punktu zerowego skali Celsjusza. W analizie klinicznej znaczenie ma raczej różnica, przekroczenie ustalonego progu lub zmiana temperatury w czasie.

Przykład 2: wystandaryzowany wynik psychologiczny

W psychologii często spotyka się wyniki przekształcone, na przykład wyniki typu z lub niektóre wyniki standardowe. Wynik z ma średnią równą 0 i odchylenie standardowe równe 1 w określonej populacji odniesienia. Oblicza się go według wzoru:

z = (x - μ) / σ

gdzie:

• x oznacza wynik surowy osoby badanej;
• μ oznacza średnią w populacji odniesienia;
• σ oznacza odchylenie standardowe w populacji odniesienia;
• z oznacza wynik wyrażony w jednostkach odchylenia standardowego od średniej.

Różnica między wynikiem z = 0 a z = 1 ma takie samo znaczenie liczbowo jak różnica między z = 1 a z = 2: w obu przypadkach wynosi jedną jednostkę z. Można porównywać odległości wyników od średniej i analizować zmiany w czasie.

Trzeba jednak pamiętać, że interpretacja zależy od jakości testu, populacji normalizacyjnej oraz stabilności pomiaru. Jeżeli narzędzie nie zapewnia odpowiedniej trafności i rzetelności, samo przekształcenie wyniku do postaci liczbowej nie tworzy automatycznie dobrej skali przedziałowej. W psychometrii własności skali należy oceniać w odniesieniu do konkretnej populacji i zastosowania (AERA, APA i NCME, 2014).

Czy suma pozycji kwestionariusza tworzy skalę przedziałową?

To częsty problem w badaniach zdrowotnych i społecznych. Pojedyncza odpowiedź typu Likerta, na przykład „zdecydowanie się nie zgadzam” do „zdecydowanie się zgadzam”, jest zwykle traktowana jako zmienna porządkowa. Kolejne kategorie mają kolejność, ale nie musi być spełnione założenie, że odległość między kategorią pierwszą i drugą jest identyczna jak między czwartą i piątą.

Suma lub średnia wielu pozycji może zachowywać się w sposób zbliżony do pomiaru przedziałowego, zwłaszcza gdy pozycje mierzą wspólny konstrukt, mają podobne właściwości i tworzą rzetelny indeks. Nie jest to jednak automatyczne. Należy rozważyć strukturę czynnikową, rzetelność, rozkład wyników, sposób kodowania oraz dowody trafności.

W badaniach jakości życia często stosuje się wizualne skale analogowe. Sam fakt, że respondent zaznacza punkt na odcinku, nie dowodzi jeszcze, że odległości między wszystkimi punktami są psychologicznie równoważne. Krabbe i współpracownicy (2006) analizowali właśnie warunki, w których wielopozycyjne skale wizualne mogą być traktowane jako pomiary o własnościach przedziałowych. Wniosek metodologiczny jest szerszy: poziom pomiaru trzeba uzasadniać, a nie deklarować wyłącznie na podstawie wyglądu narzędzia.

Przykład praktyczny: analiza zmiany nasilenia objawów

W poradni zdrowia psychicznego pacjenci wypełniają narzędzie, którego wynik jest przedstawiany jako wystandaryzowany rezultat od 20 do 80 punktów. Wyższy wynik oznacza większe nasilenie objawów. W grupie leczonej średni wynik przed rozpoczęciem terapii wyniósł 62 punkty, a po 8 tygodniach 54 punkty.

Jeżeli dokumentacja narzędzia i badania walidacyjne uzasadniają interpretację różnic, można powiedzieć, że średni wynik zmniejszył się o 8 punktów. Można następnie oszacować niepewność tego wyniku, na przykład przedział ufności, oraz ocenić wielkość efektu. Nie należy natomiast ograniczać wniosku do stwierdzenia, że „wynik spadł o 12,9%”, ponieważ procentowa interpretacja wymaga sensownego zera i może być myląca.

Nie wolno też na podstawie samej różnicy średnich stwierdzić, że terapia spowodowała poprawę, jeżeli badanie nie obejmowało odpowiedniej grupy porównawczej, randomizacji albo innego schematu umożliwiającego wnioskowanie przyczynowe. Można opisać zmianę w grupie, ale niekoniecznie przypisać jej przyczynę interwencji.

Warto przedstawić co najmniej:

• średni wynik przed i po pomiarze;
• średnią zmianę indywidualną;
• miarę zmienności;
• przedział ufności dla zmiany;
• wielkość efektu;
• informację o brakujących pomiarach i liczbie osób analizowanych.

Wartość p nie jest prawdopodobieństwem prawdziwości hipotezy zerowej. Informuje o zgodności danych z określonym modelem i hipotezą zerową przy przyjętych założeniach. Nawet mała wartość p nie mówi sama przez się, czy zmiana jest ważna klinicznie lub praktycznie.

Najczęstsze błędy

1. Uznawanie każdej zmiennej liczbowej za przedziałową. Kody 1, 2, 3 i 4 mogą oznaczać jedynie uporządkowane kategorie.
2. Interpretowanie zera jako braku cechy. W skali przedziałowej zero może być punktem umownym.
3. Używanie ilorazów. Stwierdzenie „40 punktów to dwa razy więcej niż 20 punktów” zwykle nie jest uzasadnione bez prawdziwego zera.
4. Automatyczne stosowanie średniej. Średnia może być technicznie obliczalna, ale jej sens zależy od konstrukcji pomiaru i celu analizy.
5. Traktowanie pojedynczej pozycji Likerta jak pomiaru przedziałowego. Jedna pozycja zazwyczaj dostarcza danych porządkowych.
6. Mylenie poziomu pomiaru z rozkładem danych. Zmienna przedziałowa może mieć rozkład skośny, a zmienna o rozkładzie symetrycznym nie staje się przez to przedziałowa.
7. Wnioskowanie przyczynowe z samej różnicy wyników. Równe odległości nie zastępują poprawnego schematu badania.
8. Pomijanie jednostki i sposobu kodowania. Trzeba podać, co oznacza jeden punkt i czy transformacje zachowują interpretowalność różnic.

Jak sprawdzić, czy pomiar ma własności przedziałowe?

Przed analizą warto odpowiedzieć na kilka pytań:

• Czy kolejność wartości ma interpretację empiryczną?
• Czy różnica jednej jednostki oznacza taki sam przyrost cechy w całym zakresie?
• Czy punkt zerowy jest naturalny, czy umowny?
• Czy narzędzie ma dokumentację dotyczącą trafności i rzetelności?
• Czy dostępne są badania potwierdzające sposób interpretacji wyniku?
• Czy użyte przekształcenie, na przykład standaryzacja, zachowuje sens różnic?
• Czy wybrana metoda analizy jest zgodna nie tylko z poziomem pomiaru, lecz także z projektem badania i rozkładem danych?

W opisach metod należy unikać zdania „zmienna była ilościowa, więc zastosowano test parametryczny”. Lepszy opis wskazuje, jak mierzono zmienną, jakie miała własności, jakie założenia sprawdzono oraz dlaczego wybrana metoda odpowiadała pytaniu badawczemu.

Co warto zapamiętać?

• Skala przedziałowa ma uporządkowane wartości i równe, interpretowalne odległości między nimi.
• Na tej skali sens mają różnice, ale niekoniecznie ilorazy.
• Zero w skali przedziałowej jest zazwyczaj punktem umownym.
• Temperatura w stopniach Celsjusza jest klasycznym przykładem skali przedziałowej.
• Wystandaryzowany wynik psychologiczny może mieć własności zbliżone do skali przedziałowej, ale wymaga uzasadnienia psychometrycznego.
• Zakodowanie odpowiedzi liczbami nie zmienia automatycznie poziomu pomiaru.
• Poziom pomiaru pomaga wybrać analizę, lecz nie zastępuje oceny założeń statystycznych.
• Istotność statystyczna, wielkość efektu i znaczenie praktyczne odpowiadają na różne pytania i należy je rozdzielać.

W dalszej części modułu przejdziemy do skali ilorazowej, w której oprócz równych odległości pojawia się sensowne zero. To rozróżnienie jest ważne w kodowaniu danych, interpretacji współczynników oraz planowaniu analiz omawianych w publicznym szkoleniu na statystyk.edu.pl.

Źródła i dalsza lektura

1. Stevens, S. S. (1946). On the Theory of Scales of Measurement. Science, 103(2684), 677–680. DOI: 10.1126/science.103.2684.677.
2. Velleman, P. F., Wilkinson, L. (1993). Nominal, Ordinal, Interval, and Ratio Typologies Are Misleading. The American Statistician, 47(1), 65–72. DOI: 10.1080/00031305.1993.10475938.
3. Flannelly, L. T., Flannelly, K. J., Jankowski, K. R. B. (2014). Fundamentals of Measurement in Health Care Research. Journal of Health Care Chaplaincy, 20(2), 75–82. DOI: 10.1080/08854726.2014.906262.
4. Krabbe, P. F. M., Stalmeier, P. F. M., Lamers, L. M., van Busschbach, J. J. V. (2006). Testing the interval-level measurement property of multi-item visual analogue scales. Quality of Life Research, 15(10), 1651–1661. DOI: 10.1007/s11136-006-0027-7.
5. Marateb, H. R., Mansourian, M., Adibi, P., Farina, D. (2014). Manipulating Measurement Scales in Medical Statistical Analysis and Data Mining: A Review of Methodologies. Journal of Research in Medical Sciences, 19(1), 47–56. Pełny opis źródła.
6. American Educational Research Association, American Psychological Association, National Council on Measurement in Education (2014). Standards for Educational and Psychological Testing. American Educational Research Association. Informacja wydawcy / źródło.