124. Skala ilorazowa – kiedy zero ma sens absolutny?

W poprzednich lekcjach omówiliśmy skale nominalną, porządkową i przedziałową. Ostatnim poziomem klasycznej typologii jest skala ilorazowa. Jej szczególna właściwość polega na tym, że poza uporządkowaniem wartości i równymi odległościami między nimi ma także sensownie zdefiniowane zero. Dzięki temu można interpretować nie tylko różnice, ale również ilorazy: dwie godziny snu to dwa razy więcej czasu niż jedna godzina, a masa 80 kg jest dwukrotnie większa od masy 40 kg. Nie oznacza to jednak, że każda zmienna zapisana liczbami automatycznie jest mierzona na skali ilorazowej. O rodzaju skali decyduje znaczenie pomiaru, a nie sam wygląd kolumny w arkuszu danych.

Czym jest skala ilorazowa?

Skala ilorazowa, nazywana także skalą stosunkową lub ilorazową skalą pomiaru, jest skalą, w której spełnione są cztery warunki:

• wartości można uporządkować od mniejszych do większych;
• jednakowe różnice liczbowe odpowiadają jednakowym przyrostom mierzonej cechy;
• istnieje zero oznaczające brak mierzonej wielkości w sensie właściwym dla tej cechy;
• ilorazy wartości mają interpretację empiryczną.

Klasyczne ujęcie poziomów pomiaru, jak już wspomniano w dwóch poprzednich lekcjach, wywodzi się z propozycji Stevensa (1946). W tym ujęciu skala ilorazowa zachowuje właściwości skal niższych, ale dodatkowo pozwala na sensowne porównywanie proporcji. W literaturze dotyczącej badań zdrowotnych podkreśla się, że poziom pomiaru powinien być określany na podstawie konstruktu i procedury pomiarowej, a nie wyłącznie na podstawie zastosowanej metody analizy (Stevens, 1946; Marateb et al., 2014).

Dlaczego zero jest najważniejsze?

Wartość zero nie musi oznaczać absolutnego „nieistnienia” badanego obiektu. Musi natomiast oznaczać brak ilości mierzonej wielkości zgodnie z jej definicją. Zero kilogramów oznacza brak masy w rozpatrywanym układzie, zero minut oznacza brak upływu czasu od ustalonego początku, a zero nowych przypadków choroby oznacza brak zaobserwowanych przypadków w określonej populacji i jednostce czasu.

To odróżnia skalę ilorazową od przedziałowej. Temperatura w stopniach Celsjusza ma równe odległości między wartościami, lecz 0°C nie oznacza braku temperatury. Dlatego nie można powiedzieć, że 20°C jest dwa razy cieplejsze niż 10°C. Można natomiast stwierdzić, że różnica między 20°C a 10°C wynosi 10 stopni. W skali Kelvina zero ma inne znaczenie fizyczne, dlatego ilorazy temperatur wyrażonych w kelwinach mogą mieć sens w określonych zastosowaniach.

Zero absolutne a zero umowne

W praktyce badawczej trzeba odróżnić zero absolutne od zera technicznego lub umownego. Zero absolutne jest zakorzenione w naturze mierzonej wielkości albo w jednoznacznej definicji operacyjnej. Zero umowne zostało natomiast wybrane dla wygody, tradycji lub konstrukcji skali.

Zmienna	Znaczenie wartości zero	Typowa ocena
Masa w kilogramach	Brak masy w rozpatrywanym układzie	Skala ilorazowa
Czas trwania w tygodniach	Brak trwania przed początkiem (np. życie ssaka przed poczęciem)	Skala ilorazowa
Liczba hospitalizacji	Nie odnotowano hospitalizacji	Skala ilorazowa
Temperatura w °C	Zero jest punktem umownym	Skala przedziałowa
Rok kalendarzowy	Zero nie oznacza braku czasu	Skala przedziałowa
Wynik testu psychologicznego	Zero może oznaczać punkt konstrukcyjny testu	Zwykle nie należy automatycznie uznawać go za ilorazowy – bezpieczne ujęcie to skala porządkowa lub przedziałowa.

Ważne jest także, aby nie mylić zera w danych z brakiem danych. Kod 0 może oznaczać „brak objawów”, ale może też zostać użyty jako techniczny kod „nie wiadomo”. Te dwa znaczenia są metodologicznie całkowicie różne.

Jakie operacje są dopuszczalne?

Na skali ilorazowej można wykonywać wszystkie podstawowe operacje arytmetyczne, o ile odpowiadają one sensowi badanej cechy:

• porządkowanie wartości;
• obliczanie różnic;
• dodawanie i odejmowanie;
• mnożenie i dzielenie;
• obliczanie proporcji, ilorazów i zmian względnych;
• obliczanie wszystkich statystyk opisowych.

Jeżeli pacjent ważył 90 kg przed leczeniem i 75 kg po leczeniu, różnica wynosi 15 kg, a względny spadek masy wynosi:

zmiana względna = (wartość po − wartość przed) / wartość przed

Po podstawieniu danych:

zmiana względna = (75 − 90) / 90 = −0,1667

Oznacza to spadek o około 16,7%. Względna zmiana jest możliwa do interpretacji dlatego, że masa ma sensowne zero i ilorazy masy są znaczące.

Nie oznacza to jednak, że każda analiza średniej, odchylenia standardowego czy regresji jest automatycznie poprawna tylko dlatego, że zmienna ma skalę ilorazową. Dobór metody zależy również od rozkładu danych, niezależności obserwacji, liczby pomiarów, braków danych i celu badania. Skala pomiarowa wyznacza zakres sensownych operacji, ale nie zastępuje pełnej oceny założeń statystycznych (Kirkwood i Sterne, 2003).

Przykład 1: masa ciała i dawka leku

Załóżmy, że w badaniu klinicznym analizowana jest masa ciała pacjentów wyrażona w kilogramach. Masa jest zmienną ilorazową. Pacjent o masie 80 kg ma masę o 20 kg większą od pacjenta o masie 60 kg. Można również powiedzieć, że pierwszy pacjent ma masę równą 4/3 masy drugiego.

Jeżeli dawkę leku ustala się jako 5 mg na kilogram masy ciała, dawka dla osoby ważącej 60 kg wynosi:

dawka = 5 mg/kg × 60 kg = 300 mg

Dla osoby ważącej 80 kg będzie to 400 mg. W tym przypadku zarówno masa, jak i dawka mają interpretację ilorazową, a jednostka „mg/kg” jest ilorazem dwóch wielkości. Trzeba jednak uważać, ponieważ kliniczna decyzja o dawkowaniu może podlegać dodatkowym ograniczeniom: maksymalnej dawce, czynności nerek, wieku, interakcjom lekowym czy protokołowi badania. Matematyczna możliwość obliczenia proporcji nie oznacza jeszcze, że proporcjonalne zwiększenie dawki jest zawsze bezpieczne lub klinicznie uzasadnione.

Przykład 2: częstość zachorowań w zdrowiu publicznym

W badaniu epidemiologicznym liczba nowych przypadków choroby może być analizowana jako zmienna zliczeniowa. Sama liczba przypadków jest skalą ilorazową: 0 oznacza brak odnotowanych przypadków, 10 przypadków oznacza o 5 przypadków więcej niż 5, a 20 przypadków stanowi dwukrotność 10 przypadków w tym samym układzie obserwacji.

Jeżeli jednak porównujemy obszary o różnej liczbie mieszkańców, sama liczba przypadków może prowadzić do błędnych wniosków. Wówczas obliczamy częstość, na przykład:

częstość = liczba nowych przypadków / liczba osób narażonych w okresie obserwacji

Jeżeli w mieście A wystąpiło 40 przypadków w populacji 10 000 osób, a w mieście B 60 przypadków w populacji 30 000 osób, surowa liczba przypadków jest większa w mieście B, lecz częstość wynosi odpowiednio 0,004 i 0,002. Po przeliczeniu na 1000 osób daje to 4 przypadki na 1000 osób w mieście A oraz 2 przypadki na 1000 osób w mieście B.

W analizach epidemiologicznych należy dokładnie opisać mianownik, okres obserwacji i sposób pomiaru. Zalecenia STROBE wymagają jasnego definiowania zmiennych, źródeł danych i metod pomiaru, a także wyjaśnienia, w jaki sposób zmienne ilościowe zostały potraktowane w analizie (von Elm et al., 2007). Warto pamiętać, że częstość, ryzyko i iloraz częstości nie są tym samym wskaźnikiem.

Skala ilorazowa w psychologii i naukach społecznych

W psychologii często mierzy się konstrukty za pomocą kwestionariuszy. Wynik całkowity może być zapisany jako liczba, ale sama liczbowość nie przesądza o skali ilorazowej. Jeśli osoba uzyskała 20 punktów, a druga 10 punktów, nie musi to oznaczać, że pierwsza ma dokładnie dwukrotnie większe nasilenie lęku, depresji lub satysfakcji. Wynik może być rezultatem sumowania odpowiedzi uporządkowanych kategorii, bez gwarancji, że zero oznacza całkowity brak konstruktu.

Inaczej można ocenić czas reakcji mierzony w milisekundach. Czas od pojawienia się bodźca do reakcji ma zwykle naturalny punkt zerowy wyznaczony przez początek pomiaru, choć w praktyce aparatura ma ograniczoną rozdzielczość, a pomiar może zawierać opóźnienie techniczne. Wniosek powinien więc uwzględniać nie tylko teoretyczny rodzaj skali, lecz także trafność i rzetelność konkretnego pomiaru.

Transformacje i zmiana interpretacji

Ta sama informacja może zostać zapisana w różny sposób. Masa w kilogramach jest zmienną ilorazową, ale po podzieleniu pacjentów na kategorie „poniżej 60 kg”, „60–79 kg” i „80 kg lub więcej” otrzymujemy zmienną porządkową. Po zakodowaniu kategorii jako 1, 2 i 3 nie wolno traktować tych kodów jak rzeczywistych wartości masy.

Podobnie liczba godzin pracy tygodniowo jest zmienną ilościową, lecz po utworzeniu kategorii „0–19”, „20–39” i „40 lub więcej” traci część informacji. Kategoryzacja może być uzasadniona klinicznie lub komunikacyjnie, ale należy opisać progi i powód ich zastosowania. STROBE zaleca raportowanie granic kategorii, jeśli zmienna ilościowa została skategoryzowana (von Elm et al., 2007).

Transformacja logarytmiczna także zmienia sposób interpretacji. Dla dodatnich wartości ilorazowych często analizuje się logarytm zmiennej, gdy rozkład jest silnie prawostronny. Różnica logarytmów odpowiada logarytmowi ilorazu:

log(Y2) − log(Y1) = log(Y2 / Y1)

Wynik modelu może wtedy opisywać zmianę względną, a nie bezwzględną. Trzeba jasno wskazać, w jakiej skali wykonano analizę i jak przeliczono wynik na jednostki zrozumiałe dla odbiorcy.

Najczęstsze błędy

• Uznawanie każdej zmiennej liczbowej za ilorazową. Kod 1, 2, 3 może oznaczać kategorie, a nie ilości.
• Mylenie zera z brakiem danych. Zero objawów i brak informacji o objawach muszą mieć różne kody.
• Traktowanie zera umownego jak zera absolutnego. Dotyczy to między innymi temperatury w °C, lat kalendarzowych i wielu wyników testowych.
• Używanie ilorazów dla skal przedziałowych. Stwierdzenie, że 20°C jest dwa razy większe niż 10°C, jest niepoprawne.
• Wnioskowanie o konstrukcie z samego wyniku kwestionariusza. Wynik testu może być ilościowy w sensie obliczeniowym, ale nie musi mieć interpretacji ilorazowej.
• Pomijanie mianownika. Liczba przypadków, ryzyko i częstość zachorowań wymagają odmiennych mianowników i interpretacji.
• Automatyczne uznawanie średniej za najlepsze podsumowanie. Nawet dla skali ilorazowej średnia może być mało reprezentatywna przy skośnym rozkładzie lub obserwacjach odstających.
• Nadawanie znaczenia przyczynowego samym proporcjom. Fakt, że jedna grupa ma dwukrotnie większą częstość zdarzeń, nie dowodzi, że określona ekspozycja spowodowała różnicę.

Przykład praktyczny: czas oczekiwania na pomoc ratowniczą

W badaniu systemu ratownictwa medycznego analizowano czas od przyjęcia zgłoszenia do przybycia zespołu, mierzony w minutach. Zmienna ma potencjalnie skalę ilorazową: zero minut oznaczałoby brak upływu czasu między zdefiniowanymi momentami. W praktyce należy jednak sprawdzić, czy system rejestruje oba momenty w porównywalny sposób oraz czy zaokrąglenie do pełnych minut nie ogranicza dokładności.

Mediana czasu wyniosła 12 minut w dzielnicy centralnej i 18 minut na obrzeżach. Różnica median wynosi 6 minut, ale nie można bez dodatkowych założeń powiedzieć, że czas oczekiwania na obrzeżach jest „o połowę większy” wyłącznie na podstawie median. Taki iloraz byłby opisowo możliwy, lecz jego interpretacja powinna uwzględniać rozkład danych, liczbę zgłoszeń, priorytet interwencji, warunki drogowe i sposób rejestracji.

Jeżeli celem jest ocena sprawiedliwości organizacyjnej, należy dodatkowo zdefiniować klinicznie lub organizacyjnie istotną różnicę. Istotność statystyczna nie jest tym samym co znaczenie praktyczne. Różnica 2 minut może być statystycznie istotna w bardzo dużej próbie, lecz nie mieć znaczenia dla decyzji operacyjnej. Z kolei różnica ważna z punktu widzenia bezpieczeństwa pacjentów może nie osiągnąć klasycznego poziomu istotności przy małej liczbie obserwacji.

Skala ilorazowa a raportowanie wyników

W raporcie badania należy podać nazwę zmiennej, jednostkę, zakres możliwych wartości, sposób pomiaru, dokładność urządzenia oraz znaczenie zera. W przypadku pomiarów medycznych warto opisać, czy używano jednego aparatu, kilku urządzeń lub kilku obserwatorów. Sam fakt, że wynik jest wyrażony w kilogramach, milimetrach lub sekundach, nie gwarantuje porównywalności pomiarów.

Przy porównywaniu dwóch metod pomiarowych nie wystarczy wysoka korelacja. Dwie metody mogą silnie korelować, ale systematycznie różnić się wartościami. W badaniach medycznych należy rozważyć analizę zgodności, na przykład podejście Bland–Altmana, oraz ocenić, czy różnice mieszczą się w granicach akceptowalnych klinicznie (Bland i Altman, 2000). Wybór procedury powinien wynikać z celu: oceny związku, zgodności, zamienności albo predykcji.

Co warto zapamiętać?

1. Skala ilorazowa ma sensowne zero, które oznacza brak mierzonej wielkości zgodnie z jej definicją.
2. Równe odległości nie wystarczają do rozpoznania skali ilorazowej; potrzebna jest także prawidłowa interpretacja zera.
3. Na skali ilorazowej można interpretować różnice i proporcje, lecz zawsze w odniesieniu do konkretnej jednostki i procedury pomiarowej.
4. Zero jako wartość w arkuszu danych może oznaczać brak cechy, ale może też być kodem technicznym. Trzeba to rozstrzygnąć w dokumentacji badania.
5. Kwestionariuszowy wynik liczbowy nie staje się automatycznie skalą ilorazową tylko dlatego, że można go dodać lub podzielić.
6. Kategoryzacja zmiennej ilościowej zwykle ogranicza informację i może zmienić poziom pomiaru.
7. Skala pomiarowa pomaga dobrać interpretację i analizę, ale nie zastępuje oceny rozkładu, jakości pomiaru, braków danych i projektu badania.

W publicznym szkoleniu na statystyk.edu.pl warto traktować poziomy pomiaru jako narzędzie kontroli jakości rozumowania: zanim wybierzesz test statystyczny albo sposób kodowania, zapytaj, co dokładnie oznacza każda liczba, czy zero ma treść empiryczną oraz czy porównania ilorazowe są zgodne z definicją badanej zmiennej.

Źródła i dalsza lektura

1. Stevens, S. S. (1946). On the Theory of Scales of Measurement. Science, 103(2684), 677–680. DOI: 10.1126/science.103.2684.677.
2. Marateb, H. R., Mansourian, M., Adibi, P., & Farina, D. (2014). Manipulating measurement scales in medical statistical analysis and data mining: A review of methodologies. Journal of Research in Medical Sciences, 19(1), 47–56. Pełny opis źródła.
3. Kirkwood, B. R., & Sterne, J. A. C. (2003). Essential Medical Statistics. 2nd edition. Blackwell Science. Informacja wydawcy / źródło.
4. Bland, J. M., & Altman, D. G. (2000). Comparing methods of clinical measurement: Reporting standards for Bland and Altman analysis. The Lancet, ?. Pełny opis źródła.
5. von Elm, E., Altman, D. G., Egger, M., Pocock, S. J., Gøtzsche, P. C., & Vandenbroucke, J. P.; STROBE Initiative (2007). The Strengthening the Reporting of Observational Studies in Epidemiology (STROBE) Statement: Guidelines for Reporting Observational Studies. PLoS Medicine. Public Library of Science. Źródło.
6. Murad, M. H., Wang, Z., Chu, H., & Lin, L. (2019). When continuous outcomes are measured using different scales: Guide for meta-analysis and interpretation. The BMJ, 368, k4817. DOI: 10.1136/bmj.k4817.