444. Tau Kendalla – kiedy warto rozważyć tę metodę?

W poprzedniej lekcji omówiliśmy korelację Spearmana. Tau Kendalla jest inną miarą zależności rangowej, ale odpowiada na nieco inne pytanie: jak często uporządkowanie dwóch obserwacji według jednej zmiennej jest zgodne z ich uporządkowaniem według drugiej? Dzięki temu bywa szczególnie użyteczna przy małych próbach, danych porządkowych, licznych wartościach powtarzających się oraz wtedy, gdy chcemy interpretować zależność poprzez zgodne i niezgodne pary obserwacji. W tej lekcji podręcznika do szkolenia na statystyk.edu.pl prześledzimy jej sens, odmiany, obliczanie i ograniczenia.

1. Czym jest tau Kendalla?

Tau Kendalla, oznaczane najczęściej symbolem τ, jest współczynnikiem korelacji rangowej. Służy do opisu monotonicznej zależności między dwiema zmiennymi, które można uporządkować. Zależność monotoniczna oznacza, że wraz ze wzrostem jednej zmiennej druga na ogół rośnie albo na ogół maleje, choć nie musi zmieniać się w stałym tempie.

W odróżnieniu od korelacji Pearsona tau Kendalla nie wymaga, aby zależność była liniowa ani aby zmienne miały rozkład normalny. Nie operuje też przede wszystkim na odległościach między wartościami, lecz na ich kolejności. Jeśli pacjent z większym nasileniem bólu ma zwykle także większy wynik ograniczenia funkcjonowania, taka zgodność porządków będzie zwiększać wartość τ.

Współczynnik został wprowadzony przez Maurice’a G. Kendalla jako miara korelacji rangowej oparta na porównywaniu par obserwacji (Kendall, 1938). Współczesne zastosowania obejmują między innymi badania kliniczne, psychometrię, epidemiologię, analizę ocen ekspertów i porównywanie rankingów.

2. Intuicja: pary zgodne i niezgodne

Załóżmy, że mamy dwie zmienne: X i Y. Rozpatrujemy każdą możliwą parę osób, na przykład pacjentów A i B.

• Para jest zgodna, jeżeli osoba mająca większą wartość X ma także większą wartość Y albo osoba mająca mniejszą wartość X ma także mniejszą wartość Y.
• Para jest niezgodna, jeżeli większej wartości X odpowiada mniejsza wartość Y.
• Występuje remis, jeżeli dwie osoby mają taką samą wartość co najmniej jednej zmiennej.

Jeżeli liczba par zgodnych przewyższa liczbę par niezgodnych, τ jest dodatnie. Gdy przeważają pary niezgodne, τ jest ujemne. Wartość bliska zeru oznacza, że zgodność i niezgodność są podobnie częste albo że dane nie wskazują na wyraźny porządek monotoniczny.

Jest to intuicja ważna dydaktycznie: tau Kendalla nie mówi bezpośrednio, o ile średnio zmienia się Y przy zmianie X. Mówi raczej, jak dobrze dwa porządki są ze sobą zgodne.

3. Wzór i znaczenie oznaczeń

W najprostszym przypadku, gdy nie ma remisów, stosuje się tau-a:

τ_a = (C − D) / [n(n − 1)/2]

gdzie:

• C oznacza liczbę par zgodnych;
• D oznacza liczbę par niezgodnych;
• n oznacza liczbę obserwacji;
• n(n − 1)/2 jest całkowitą liczbą możliwych par obserwacji.

Jeśli wszystkie pary są zgodne, τ = 1. Jeśli wszystkie są niezgodne, τ = −1. Wartość 0 nie musi oznaczać całkowitego braku jakiejkolwiek zależności; wskazuje, że bilans zgodnych i niezgodnych porządków jest równy lub zbliżony do równowagi.

W praktyce dane medyczne i społeczne często zawierają remisy. Przykładowo wielu pacjentów może otrzymać tę samą kategorię nasilenia bólu albo tę samą ocenę w skali Likerta. Wówczas częściej stosuje się tau-b, które koryguje mianownik o remisy:

τ_b = (C − D) / √[(C + D + T_X)(C + D + T_Y)]

W tym zapisie T_X oznacza liczbę par związanych remisem wyłącznie w zmiennej X, a T_Y liczbę par związanych remisem wyłącznie w zmiennej Y. Pary z remisem w obu zmiennych nie zwiększają licznika, ponieważ nie przemawiają ani za zgodnością, ani za niezgodnością. Szczegółowe własności wariancji tau przy remisach rozwijano w klasycznej literaturze metod rangowych (Kendall, 1947; Cliff i Charlin, 1991).

Nie należy ręcznie obliczać tau-b przy większych zbiorach danych. Program statystyczny powinien prawidłowo uwzględnić remisy, wybrać metodę testowania i podać przedział ufności, jeśli jest dostępny.

4. Tau Kendalla a Spearman

Oba współczynniki są nieparametrycznymi miarami zależności rangowej, lecz mają inną konstrukcję. Spearman zwykle oblicza korelację Pearsona dla rang. Tau Kendalla opiera się na porównywaniu par. W konsekwencji ich wartości mogą się różnić, nawet gdy kierunek wniosku jest taki sam.

Tau Kendalla warto rozważyć szczególnie wtedy, gdy:

• próba jest mała lub umiarkowana;
• zmienne są co najmniej porządkowe;
• występuje dużo powtarzających się wartości;
• interpretacja poprzez zgodność par jest merytorycznie naturalna;
• chcemy ograniczyć wpływ dużych odległości między wartościami i pojedynczych obserwacji odstających.

Nie oznacza to, że tau zawsze jest lepsze od Spearmana. Przy dużej próbie, niewielkiej liczbie remisów i zainteresowaniu korelacją rangową Spearman może być równie uzasadniony. Decyzję należy opisać w planie analizy, a nie podejmować wyłącznie po obejrzeniu wartości p.

5. Co właściwie oznacza wynik?

Znak τ określa kierunek zależności, a wartość bezwzględna opisuje zgodność uporządkowania. Przykładowo τ = 0,62 wskazuje na wyraźną dodatnią zgodność rang, natomiast τ = −0,41 na umiarkowaną ujemną zgodność. Nie istnieje jednak uniwersalna tabela, w której każda wartość ma identyczną etykietę „słaba”, „umiarkowana” lub „silna”. Znaczenie zależy od dziedziny, jakości pomiaru, wielkości próby i konsekwencji praktycznych (Akoglu, 2018).

Wynik należy interpretować w trzech wymiarach:

1. kierunek i wielkość efektu – na przykład τ = 0,30 oznacza dodatnią, lecz niezbyt dużą zgodność porządków;
2. niepewność oszacowania – najlepiej przez przedział ufności;
3. znaczenie praktyczne – pytanie, czy zaobserwowana zależność ma znaczenie kliniczne, organizacyjne lub społeczne.

Wartość p odnosi się do określonego modelu zerowego, zwykle do hipotezy o braku monotonicznej zależności w populacji. Nie jest prawdopodobieństwem, że hipoteza zerowa jest prawdziwa. Nie informuje też sama w sobie o sile ani użyteczności zależności.

6. Kiedy tau Kendalla jest dobrym wyborem?

Dane porządkowe

Jeżeli zmienne są ocenami uporządkowanymi, ale nie ma podstaw, aby traktować różnice między kategoriami jako równe, tau jest naturalnym wyborem. Dotyczy to na przykład nasilenia objawów: brak, łagodne, umiarkowane, ciężkie; poziomu satysfakcji; stopnia niesamodzielności lub oceny ryzyka.

Mała próba

W małych próbach estymatory korelacji są obarczone znaczną niepewnością. Tau Kendalla pozwala jednak jasno przedstawić strukturę danych. Przy bardzo małej liczbie obserwacji warto rozważyć dokładny test permutacyjny zamiast bezkrytycznego użycia przybliżenia asymptotycznego.

Wiele remisów

Remisy nie dyskwalifikują analizy. Trzeba jednak zastosować właściwą odmianę współczynnika, najczęściej tau-b, i sprawdzić, jak program traktuje obserwacje powtarzające się. Przy danych o silnie ograniczonej liczbie kategorii współczynnik może mieć ograniczoną rozdzielczość i powinien być uzupełniony opisem rozkładu odpowiedzi.

Ocena zgodności rankingów

Jeżeli dwóch oceniających szereguje tych samych pacjentów, procedury albo problemów według ważności, tau może być interpretowane jako miara zgodności porządków. Nie należy jednak mylić korelacji z pełną zgodnością pomiarów. Do oceny zgodności metod pomiarowych często potrzebne są inne narzędzia, na przykład analiza Blanda–Altmana.

7. Przykład 1: ból i ograniczenie funkcjonowania

W badaniu 18 pacjentów po zabiegu oceniono ból w pięciostopniowej skali oraz ograniczenie codziennego funkcjonowania w czterech kategoriach. Obie zmienne są porządkowe, a liczne osoby uzyskały te same wyniki. Badacz obliczył tau-b = 0,58, 95% CI [0,31; 0,75], p = 0,004.

Poprawny opis brzmi: „W badanej grupie stwierdzono dodatnią zależność rangową między nasileniem bólu a ograniczeniem funkcjonowania, τ-b = 0,58, 95% CI [0,31; 0,75], p = 0,004”. Oznacza to, że pacjenci z wyższymi ocenami bólu mieli na ogół także wyższe oceny ograniczenia funkcjonowania. Nie oznacza to jednak, że ból powodował ograniczenie, ponieważ sam opis korelacyjny nie rozstrzyga o kierunku przyczynowym. Ponadto wynik nie mówi, o ile punktów funkcjonowanie zmieniało się przy wzroście bólu o jedną kategorię.

8. Przykład 2: stres i jakość snu wśród studentów

W badaniu przekrojowym 42 studentów oceniono stres oraz jakość snu za pomocą skal Likerta. Otrzymano τ-b = −0,36, 95% CI [−0,59; −0,06], p = 0,018. Ujemny znak oznacza, że wyższe wartości jednej zmiennej wiązały się na ogół z niższymi wartościami drugiej. Interpretacja słowna zależy od kierunku kodowania skali. Jeżeli wyższy wynik oznacza gorszą jakość snu, wynik można opisać jako dodatnią zależność między stresem a pogorszeniem snu; jeżeli wyższy wynik oznacza lepszy sen, pozostajemy przy ujemnej korelacji stresu z jakością snu.

To przykład, dlaczego przed interpretacją trzeba sprawdzić kodowanie. Sama liczba −0,36 nie wystarcza. Należy także uwzględnić, że badanie przekrojowe nie pokazuje, czy stres pogarsza sen, czy zły sen zwiększa stres, ani czy obie zmienne są związane z trzecią przyczyną.

9. Przykład praktyczny: analiza przypadku

Załóżmy, że zespół ratownictwa chce sprawdzić, czy ocena ciężkości stanu pacjenta dokonana w karetce jest zgodna z oceną przy przyjęciu do szpitala. Obie oceny mają pięć uporządkowanych kategorii. W próbie 60 pacjentów występują liczne remisy, ponieważ ratownicy i lekarze często przypisują tę samą kategorię.

Pierwszym krokiem jest tabela częstości i tabela krzyżowa ocen. Sama korelacja nie pokaże, czy występuje systematyczne przesunięcie, na przykład konsekwentne ocenianie pacjentów jako cięższych przez jedną grupę. Następnie można obliczyć tau-b, ponieważ występują remisy w obu zmiennych. Jeśli otrzymamy τ-b = 0,71, należy powiedzieć, że uporządkowanie pacjentów według ciężkości było wyraźnie zgodne między ratownikami i lekarzami.

Nie wolno jednak automatycznie nazwać tego „zgodnością diagnostyczną”. Do oceny zgodności kategorii można dodatkowo rozważyć ważoną kappę, analizę macierzy pomyłek lub miary zgodności zaplanowane dla konkretnego celu. Tau odpowiada na pytanie o monotoniczną zgodność rang, a nie na wszystkie pytania dotyczące trafności i powtarzalności oceny.

10. Założenia i kontrola jakości analizy

• Obserwacje powinny być parami powiązane: każda wartość X musi dotyczyć tej samej osoby lub jednostki co odpowiadająca jej wartość Y.
• Zmienne powinny być co najmniej porządkowe.
• Obserwacje powinny być niezależne od siebie, chyba że zastosowano model uwzględniający zależność, na przykład dane podłużne lub klastrowe.
• Należy ocenić, czy relacja jest w przybliżeniu monotoniczna, korzystając z wykresu rang, wykresu rozrzutu lub tabeli krzyżowej.
• Trzeba określić sposób postępowania z brakami danych i remisami przed analizą.

Tau nie jest rozwiązaniem dla każdej nieliniowej zależności. Jeżeli relacja ma kształt litery U, współczynnik może być bliski zeru mimo wyraźnego związku. W takiej sytuacji potrzebne są wykresy, modele nieliniowe albo analiza dopasowana do pytania badawczego.

Najczęstsze błędy

1. Traktowanie τ jako miary nachylenia. Tau opisuje zgodność rang, a nie zmianę wartości jednej zmiennej w jednostkach drugiej.
2. Ignorowanie remisów. Przy skalach kategorycznych użycie tau-a zamiast właściwej wersji z korektą może prowadzić do nieadekwatnej interpretacji.
3. Wybór współczynnika po obejrzeniu p. Metodę należy wybrać na podstawie skali pomiaru, projektu i celu analizy, nie na podstawie tego, która procedura daje najmniejszą wartość p.
4. Mylenie istotności statystycznej z ważnością praktyczną. Przy dużej próbie nawet niewielkie τ może być statystycznie istotne.
5. Interpretowanie korelacji jako przyczynowości. Tau nie dowodzi, że jedna zmienna wywołuje drugą.
6. Pomijanie kodowania skal. Odwrócona skala może zmienić znak wyniku, choć nie zmienia samej struktury danych.
7. Używanie samego współczynnika bez przedziału ufności. Wartość τ bez informacji o niepewności jest niepełnym raportem.
8. Stwierdzenie pełnej zgodności na podstawie wysokiego τ. Wysoka korelacja rangowa nie oznacza identycznych ocen ani braku systematycznego przesunięcia.

11. Jak raportować tau Kendalla?

Raport powinien zawierać nazwę współczynnika, jego odmianę, kierunek, wartość, przedział ufności, wartość p, liczebność próby oraz informację o sposobie traktowania remisów. Przykładowa forma to: „Zaobserwowano umiarkowaną dodatnią zależność monotoniczną między nasileniem objawów a liczbą dni absencji, τ-b = 0,44, 95% CI [0,18; 0,63], p = 0,002, n = 52”.

Jeżeli analiza była eksploracyjna, należy to zaznaczyć. Jeżeli testowano wiele korelacji, trzeba rozważyć kontrolę błędu wielokrotnych porównań lub przynajmniej jawnie opisać zakres analiz. Dobre raportowanie powinno przedstawiać także wykres lub tabelę pozwalającą ocenić, czy założenie monotoniczności jest wiarygodne.

Co warto zapamiętać?

• Tau Kendalla mierzy zgodność uporządkowania par obserwacji według dwóch zmiennych.
• Warto je rozważyć przy danych porządkowych, małych próbach, licznych remisach i zainteresowaniu zgodnością rankingów.
• Tau-b jest zwykle właściwsze niż tau-a, gdy remisy występują w obu zmiennych.
• Wynik należy interpretować przez kierunek, wielkość efektu i przedział ufności, a nie przez samo p.
• Korelacja rangowa nie jest dowodem przyczynowości ani pełnej zgodności pomiarów.
• Najpierw trzeba sprawdzić skalę pomiaru, kodowanie, zależność obserwacji, remisy i kształt relacji.

Najkrótsza reguła praktyczna brzmi: rozważ tau Kendalla wtedy, gdy pytasz o zgodność porządków, a nie o liniową zmianę wartości, i gdy dane są porządkowe lub zawierają wiele remisów. W następnych analizach warto porównać tę miarę z innymi współczynnikami, ale nie zastępować oceny merytorycznej automatycznym wyborem procedury.

Źródła i dalsza lektura

1. Kendall, M. G. (1938). A New Measure of Rank Correlation. Biometrika, 30(1–2), 81–93. DOI: 10.1093/biomet/30.1-2.81.
2. Kendall, M. G. (1947). The Variance of Tau When Both Rankings Contain Ties. Biometrika, 34(3–4), 297. Pełny opis źródła.
3. Kendall, M. G. (1970). Rank Correlation Methods. 4th edition. Charles Griffin, London.
4. Cliff, N.; Charlin, V. (1991). Variances and Covariances of Kendall’s Tau and Their Estimation. Multivariate Behavioral Research, 26(4), 693–707. DOI: 10.1207/s15327906mbr2604_6.
5. Akoglu, H. (2018). User’s Guide to Correlation Coefficients. Turkish Journal of Emergency Medicine, 18(3), 91–93. DOI: 10.1016/j.tjem.2018.08.001.