443. Korelacja Spearmana – kiedy jest optymalną metodą analizy korealacji?

Korelacja Spearmana jest jedną z podstawowych metod oceny zależności między dwiema zmiennymi. W odróżnieniu od korelacji Pearsona nie analizuje bezpośrednio odległości między wartościami, lecz ich uporządkowanie, czyli rangi. Dzięki temu bywa odpowiednia dla danych porządkowych, rozkładów silnie skośnych, obserwacji odstających oraz zależności, które są monotoniczne, ale niekoniecznie liniowe. Oczywiście nie oznacza to jednak, że można stosować ją automatycznie zawsze, gdy dane „nie wyglądają normalnie”. Dobór współczynnika powinien wynikać z pytania badawczego, rodzaju pomiaru i kształtu zależności widocznego na wykresie rozrzutu.

W tej lekcji podręcznika do szkolenia na statystyk.edu.pl skupimy się na tym, kiedy korelacja Spearmana jest uzasadniona, co dokładnie mierzy i jak poprawnie ją interpretować. Punktem wyjścia będzie rozróżnienie między zależnością liniową, monotoniczną i przyczynową.

Czym jest korelacja Spearmana?

Korelacja Spearmana, oznaczana najczęściej symbolem ρ_s lub po prostu r_s, jest współczynnikiem korelacji rangowej. Najpierw każdej obserwacji przypisuje się rangę w obrębie pierwszej zmiennej i osobno rangę w obrębie drugiej zmiennej. Następnie ocenia się, na ile te dwa uporządkowania są podobne.

Jeżeli osoby z wysokimi wartościami jednej zmiennej mają zwykle wysokie wartości drugiej zmiennej, korelacja Spearmana będzie dodatnia. Jeżeli wysokim wartościom jednej zmiennej odpowiadają zwykle niskie wartości drugiej, otrzymamy korelację ujemną. Gdy rangi nie tworzą wyraźnego uporządkowania, współczynnik będzie bliski zeru.

Wartość współczynnika mieści się w przedziale od −1 do +1:

• ρ_s = +1 oznacza idealną zgodność uporządkowania obserwacji;
• ρ_s = −1 oznacza idealną zgodność odwrotną;
• ρ_s ≈ 0 oznacza brak wyraźnej zależności monotonicznej.

Współczynnik ten wywodzi się z prac Charlesa Spearmana, który zaproponował pomiar związku oparty na rangach (Spearman, 1904). Współczesna interpretacja jest jednak szersza niż historyczny sposób obliczania i wymaga uwzględnienia rodzaju zmiennych, liczby obserwacji, remisów rang oraz struktury danych.

Jak rozumieć zależność monotoniczną?

Najważniejszym pojęciem przy wyborze korelacji Spearmana jest monotoniczność. Zależność monotoniczna występuje wtedy, gdy wraz ze wzrostem jednej zmiennej druga ma tendencję do systematycznego wzrostu albo systematycznego spadku. Tempo tej zmiany nie musi być stałe.

Przykładem zależności monotonicznej może być relacja między dawką leku a prawdopodobieństwem wystąpienia działania niepożądanego, jeżeli ryzyko zasadniczo rośnie wraz z dawką, ale wzrost jest coraz wolniejszy. Taka zależność nie musi być linią prostą, lecz zachowuje jeden kierunek.

Przeciwieństwem jest zależność niemonotoniczna, na przykład w kształcie odwróconej litery U. Jeżeli umiarkowany poziom stresu wiąże się z najlepszym wykonaniem zadania, natomiast zarówno bardzo niski, jak i bardzo wysoki stres z gorszym wynikiem, kierunek zależności zmienia się w obrębie zakresu danych. W takim przypadku pojedynczy współczynnik Spearmana może być bliski zeru, mimo że istnieje wyraźny wzorzec.

Dlatego przed obliczeniem współczynnika należy obejrzeć wykres rozrzutu. Sama informacja, że zmienne są liczbowe lub porządkowe, nie wystarcza do oceny adekwatności metody.

Wzór korelacji Spearmana

Jeżeli nie ma remisów rang, współczynnik można obliczyć za pomocą wzoru:

ρs = 1 − [6 × Σdi2] / [n(n2 − 1)]

Poszczególne oznaczenia znaczą:

• ρ_s – współczynnik korelacji rang Spearmana;
• d_i – różnica między rangą obserwacji i w pierwszej i drugiej zmiennej;
• Σd_i² – suma kwadratów różnic rang;
• n – liczba par kompletnych obserwacji.

W praktycznych analizach często występują remisy, czyli takie same wartości otrzymujące tę samą rangę, zwykle rangę średnią. Wtedy oprogramowanie statystyczne oblicza korelację jako korelację Pearsona między rangami. Nie należy bezrefleksyjnie stosować prostego wzoru z różnicami rang, gdy występuje wiele remisów.

Istotą procedury jest przekształcenie wartości na rangi. Jeżeli zmienna X ma wartości 4, 7, 9, 12, to odpowiadające im rangi wynoszą 1, 2, 3, 4. Po rangowaniu nie ma już znaczenia, czy różnica między 4 a 7 jest taka sama jak między 9 a 12. Liczy się kolejność obserwacji.

Kiedy korelacja Spearmana jest odpowiednia?

Zmienne porządkowe

Spearman jest naturalnym wyborem, gdy co najmniej jedna zmienna ma skalę porządkową. Dotyczy to na przykład nasilenia bólu ocenianego jako brak bólu, ból łagodny, umiarkowany i silny, poziomu zadowolenia z opieki albo kategorii sprawności funkcjonalnej. Kategorie mają wtedy uporządkowanie, ale odległości między nimi nie muszą być równe.

Trzeba jednak uważać na pojedyncze pytanie z odpowiedziami typu „zdecydowanie nie” do „zdecydowanie tak”. W wielu badaniach analizuje się takie odpowiedzi jako dane porządkowe, lecz decyzja zależy od celu analizy, liczby kategorii i sposobu budowy narzędzia. Dla sumy wielu pozycji kwestionariusza właściwości pomiaru mogą być inne niż dla pojedynczej pozycji.

Rozkłady silnie skośne

Jeżeli zmienna ma silną asymetrię, na przykład czas oczekiwania na pomoc ratunkową, liczbę dni hospitalizacji lub stężenie biomarkera, korelacja Spearmana może być bardziej odporna na wpływ kształtu rozkładu niż korelacja Pearsona. Nie jest jednak „lekiem na skośność”. Szczególnie silne skupienie obserwacji, mały zakres zmienności lub wartości odstające nadal mogą istotnie wpływać na wynik.

Obserwacje odstające

Rangowanie ogranicza wpływ ekstremalnych odległości między wartościami. Obserwacja o bardzo wysokiej wartości nie dominuje obliczeń tak, jak może dominować w korelacji Pearsona. Nie oznacza to odporności absolutnej. Odstająca obserwacja nadal zajmuje skrajną rangę i może zmienić układ zależności, zwłaszcza w małej próbie.

Zależność nieliniowa, ale monotoniczna

Spearman jest przydatny, gdy zależność jest uporządkowana, lecz nie ma kształtu prostej. Przykładowo, wyniki testu funkcji poznawczych mogą początkowo szybko rosnąć wraz z czasem rehabilitacji, a następnie zbliżać się do poziomu plateau. Korelacja Pearsona może nie opisywać takiej relacji równie dobrze, podczas gdy Spearman ocenia zgodność kolejności wyników.

Kiedy Spearman nie rozwiązuje problemu?

Nie należy wybierać tej metody wyłącznie dlatego, że test normalności rozkładu dał istotny wynik. Testy normalności są zależne od liczebności próby i nie zastępują oceny wykresu oraz znaczenia klinicznego danych. W dużych próbach niewielkie odchylenie od normalności może stać się „istotne”, choć nie ma praktycznego znaczenia.

Spearman nie jest właściwym narzędziem do każdej sytuacji, w której zmienna jest kategoryczna. Dla dwóch zmiennych nominalnych należy rozważyć miary odpowiednie dla tabel kontyngencji, takie jak phi lub V Craméra. Dla zgodności dwóch pomiarów, na przykład dwóch metod pomiaru ciśnienia, sama korelacja również nie wystarcza. Wysoka korelacja może współistnieć z systematycznym zawyżaniem jednej metody względem drugiej.

Nie należy także używać Spearmana do danych powtarzanych bez uwzględnienia zależności między obserwacjami. Jeżeli każdy pacjent był mierzony pięciokrotnie, zwykła korelacja liczona tak, jakby wszystkie pomiary były niezależne, może prowadzić do zaniżenia niepewności. W takiej sytuacji potrzebne mogą być metody dla danych podłużnych, modele mieszane albo analiza korelacji z odpowiednią strukturą zależności.

Przykład 1: ból i jakość życia

Załóżmy, że w badaniu 30 osób po zabiegu ortopedycznym oceniono nasilenie bólu w skali od 0 do 10 oraz jakość życia za pomocą kwestionariusza. Badacz oczekuje, że większy ból będzie wiązał się z niższą jakością życia.

Jeżeli rozkład bólu jest skośny, część pacjentów ma bardzo wysokie wyniki, a zależność nie wygląda na liniową, korelacja Spearmana może być odpowiednia. Wynik ρs = −0,62 wskazywałby na umiarkowaną do wyraźnej ujemną zależność monotoniczną: osoby zajmujące wyższe pozycje pod względem bólu mają zwykle niższe pozycje pod względem jakości życia.

Nie wolno jednak napisać, że zwiększenie bólu „powoduje” pogorszenie jakości życia, jeżeli badanie ma charakter przekrojowy i nie kontroluje alternatywnych wyjaśnień. Można stwierdzić, że wyższe nasilenie bólu współwystępowało z niższą jakością życia. Należy również podać przedział ufności, liczebność próby i sposób postępowania z brakami danych.

Przykład 2: czas oczekiwania i satysfakcja pacjentów

W poradni zebrano dane o czasie oczekiwania na wizytę oraz satysfakcji pacjentów ocenionej na pięciostopniowej skali. Satysfakcja jest zmienną porządkową, a czas oczekiwania często ma rozkład prawostronnie skośny. Korelacja Spearmana może więc dobrze odpowiadać pytaniu o to, czy dłuższe oczekiwanie wiąże się z niższą pozycją pacjenta na skali satysfakcji.

Jeżeli uzyskano ρs = −0,28, można opisać zależność jako słabą ujemną. Nie należy jednak automatycznie uznawać jej za nieistotną praktycznie. Nawet umiarkowana zależność może mieć znaczenie organizacyjne, jeżeli dotyczy dużej liczby pacjentów. Z drugiej strony wartość p nie rozstrzyga o ważności klinicznej ani organizacyjnej wyniku. Wielkość efektu, przedział ufności i konsekwencje decyzji powinny być interpretowane łącznie.

Jak przeprowadzić analizę krok po kroku?

1. Zdefiniuj pytanie badawcze. Ustal, czy interesuje Cię zgodność rang, zależność liniowa, zgodność pomiarów czy przewidywanie wyniku.
2. Sprawdź poziom pomiaru zmiennych. Oceń, czy zmienne są co najmniej porządkowe i czy każda obserwacja tworzy sensowną parę.
3. Obejrzyj dane. Zastosuj wykres rozrzutu, sprawdź skupiska, wartości odstające, zakres zmienności i ewentualną zależność niemonotoniczną.
4. Oblicz ρ_s. W przypadku remisów korzystaj z procedury zaimplementowanej w zweryfikowanym oprogramowaniu.
5. Oceń niepewność. Raportuj przedział ufności, a nie tylko wartość p.
6. Zinterpretuj wynik w kontekście. Opisz kierunek, wielkość zależności i jej znaczenie praktyczne, bez języka przyczynowego, jeśli projekt badania nie uzasadnia wnioskowania przyczynowego.

W raporcie warto napisać na przykład: „Zaobserwowano ujemną, umiarkowaną zależność monotoniczną między nasileniem bólu a jakością życia, ρ_s = −0,62, 95% PU [−0,79; −0,34], p < 0,001”. Przedział ufności powinien być obliczony metodą adekwatną do procedury i liczebności próby. Jeśli użyto korekty na wiele porównań, należy ją jasno opisać.

Najczęstsze błędy

• „Dane nie są normalne, więc zawsze używam Spearmana”. O wyborze decydują także poziom pomiaru, monotoniczność i struktura obserwacji.
• Pomijanie wykresu. Współczynnik nie pokaże dobrze, że dane tworzą dwa skupiska albo zależność w kształcie litery U.
• Traktowanie ρ jako miary przyczynowości. Korelacja opisuje współzmienność, nie dowodzi mechanizmu przyczynowego.
• Interpretowanie wartości p jako prawdopodobieństwa prawdziwości hipotezy zerowej. Wartość p nie jest takim prawdopodobieństwem.
• Używanie arbitralnych progów bez kontekstu. Określenia „słaba” i „silna” zależność powinny być odnoszone do dziedziny, jakości pomiaru i konsekwencji decyzji.
• Mylenie korelacji ze zgodnością. Do porównania metod pomiarowych potrzebne są analizy zgodności, a nie tylko korelacja.
• Ignorowanie remisów rang. Przy wielu identycznych wartościach prosty wzór z różnicami rang może być niewłaściwy.
• Wnioskowanie na podstawie pojedynczej korelacji. Należy uwzględnić liczebność próby, przedział ufności, jakość pomiaru i możliwe zmienne zakłócające.

Przykład praktyczny: analiza przypadku

Badacz analizuje związek między liczbą dni hospitalizacji a wynikiem skali depresji u 48 pacjentów internistycznych. Wykres pokazuje, że większość osób przebywała w szpitalu od 2 do 8 dni, ale kilka obserwacji miało pobyt dłuższy niż 30 dni. Zależność jest dodatnia, lecz przyrost wyniku depresji spłaszcza się przy dłuższych pobytach.

W tej sytuacji Spearman może być uzasadniony, ponieważ czas hospitalizacji jest skośny, występują wartości ekstremalne, a zależność jest zasadniczo monotoniczna, lecz niekoniecznie liniowa. Załóżmy, że uzyskano ρs = 0,41, 95% PU [0,13; 0,63], p = 0,004. Wynik można opisać jako umiarkowaną dodatnią zależność monotoniczną.

Interpretacja powinna być ostrożna. Dłuższa hospitalizacja może wiązać się z większym nasileniem objawów depresyjnych, ale możliwy jest także odwrotny kierunek, wspólna przyczyna albo wzajemne oddziaływanie. Cięższy stan zdrowia może wydłużać hospitalizację i jednocześnie pogarszać samopoczucie. Korelacja nie rozstrzyga tego problemu. W dalszej analizie można rozważyć model uwzględniający wiek, ciężkość choroby i wcześniejsze rozpoznanie depresji.

Co warto zapamiętać?

• Korelacja Spearmana mierzy zgodność rang i opisuje zależność monotoniczną.
• Jest szczególnie użyteczna dla zmiennych porządkowych, rozkładów skośnych oraz zależności nieliniowych, ale monotonicznych.
• Nie należy wybierać jej mechanicznie tylko dlatego, że test normalności jest istotny.
• Wykres rozrzutu jest ważnym elementem oceny, ponieważ pojedynczy współczynnik może ukryć skupiska, wartości odstające lub zależność niemonotoniczną.
• Wynik należy raportować razem z liczebnością próby, przedziałem ufności, wartością p, kierunkiem i wielkością efektu.
• Istotność statystyczna nie jest tym samym co znaczenie praktyczne.
• Korelacja nie dowodzi przyczynowości i nie jest miarą zgodności dwóch metod pomiarowych.

Najkrótsza reguła decyzyjna brzmi: wybierz Spearmana wtedy, gdy pytanie dotyczy uporządkowania obserwacji, zmienne są co najmniej porządkowe, a zależność jest monotoniczna, lecz nie musisz zakładać liniowości ani opierać analizy na surowych odległościach między wartościami. Ostateczna decyzja powinna jednak wynikać z projektu badania i właściwości danych, a nie z samej nazwy testu „nieparametrycznego”.

Źródła i dalsza lektura

1. Spearman, C. (1904). The proof and measurement of association between two things. The American Journal of Psychology, 15(1), 72–101. DOI: 10.2307/1412159.
2. Mukaka, M. M. (2012). Statistics corner: A guide to appropriate use of correlation coefficient in medical research. Malawi Medical Journal, 24(3), 69–71. Pełny opis źródła.
3. Schober, P.; Boer, C.; Schwarte, L. A. (2018). Correlation coefficients: Appropriate use and interpretation. Anesthesia & Analgesia, 126(5), 1763–1768. DOI: 10.1213/ANE.0000000000002864.
4. Akoglu, H. (2018). User’s guide to correlation coefficients. Turkish Journal of Emergency Medicine, 18(3), 91–93. DOI: 10.1016/j.tjem.2018.08.001.
5. Hauke, J.; Kossowski, T. (2011). Comparison of values of Pearson’s and Spearman’s correlation coefficients on the same sets of data. Quaestiones Geographicae, 30(2), 87–93. DOI: 10.2478/v10117-011-0021-1.
6. Carvalho, J. C.; et al. (2020). Analysis of ordinal data in clinical and experimental studies. Jornal Vascular Brasileiro, 19, e20200185. DOI: 10.1590/1677-5449.200185.