450. Scatterplot – obowiązkowy wykres przed korelacją

Obliczenie współczynnika korelacji nie powinno być pierwszym krokiem analizy dwóch zmiennych ilościowych. Zanim wybierzemy korelację Pearsona, Spearmana albo tau Kendalla, warto zobaczyć dane na wykresie rozrzutu, czyli scatterplocie. Taki wykres nie zastępuje obliczeń, ale pozwala sprawdzić, czy obliczana miara rzeczywiście opisuje strukturę danych.

W tej lekcji, będącej częścią Modułu 23 podręcznika do kursu metodologii badań i statystyki, uporządkujemy zasady przygotowania i interpretacji scatterplotu. Szczególną uwagę poświęcimy sytuacjom, w których pojedyncza liczba, na przykład r Pearsona, może prowadzić do mylącego wniosku. Jest to praktyczna kontynuacja wcześniejszych lekcji o korelacji i analizie zależności dostępnych w szkoleniu na statystyk.edu.pl.

Czym jest scatterplot?

Scatterplot, nazywany po polsku wykresem rozrzutu albo wykresem punktowym, przedstawia pary obserwacji dwóch zmiennych ilościowych. Każda osoba, pacjent, gospodarstwo domowe, pomiar albo inna jednostka badania jest reprezentowana przez jeden punkt.

Jeżeli dla osoby badanej znamy na przykład poziom skurczowego ciśnienia tętniczego oraz wiek, to każda para wartości tworzy punkt o współrzędnych:

(wiek, ciśnienie skurczowe)

Na osi poziomej, czyli osi X, umieszcza się zwykle zmienną objaśniającą, ekspozycję, predyktor lub zmienną mierzoną wcześniej. Na osi pionowej, czyli osi Y, umieszcza się zmienną wynikową, zależną albo mierzoną później. W badaniu czysto korelacyjnym ten podział może być umowny, ponieważ korelacja jest symetryczna: korelacja między X i Y jest taka sama jak między Y i X. Mimo to jasne opisanie osi ułatwia interpretację i zapobiega nieporozumieniom.

Scatterplot pozwala ocenić przede wszystkim:

• czy punkty układają się według określonego kierunku;
• czy zależność jest w przybliżeniu liniowa, czy raczej zakrzywiona;
• czy rozrzut punktów jest podobny w całym zakresie wartości;
• czy występują wartości odstające lub obserwacje silnie wpływające na wynik;
• czy dane tworzą kilka odrębnych grup;
• czy liczba obserwacji i kompletność danych są wystarczające do wiarygodnej oceny.

Dlaczego wykres trzeba obejrzeć przed obliczeniem korelacji?

Współczynnik korelacji streszcza zależność za pomocą jednej liczby. Taka redukcja jest użyteczna, lecz zawsze wiąże się z utratą informacji. Dwie zupełnie różne chmury punktów mogą mieć podobną wartość współczynnika korelacji. Klasycznym przypomnieniem tego problemu jest kwartet Anscombe’a: zbiory danych mogą mieć bardzo podobne statystyki opisowe i niemal identyczne dopasowanie prostej, a jednocześnie różnić się kształtem zależności, obecnością wartości odstających lub skupieniem obserwacji (Anscombe, 1973).

W praktyce oznacza to, że wartość r = 0,70 nie mówi sama przez się, czy zależność jest liniowa, czy wynika z kilku grup, ani czy nie została zdominowana przez jeden nietypowy punkt. Podobnie wartość r bliska zeru nie dowodzi braku jakiejkolwiek zależności. Może oznaczać zależność nieliniową, na przykład kształt litery U, albo połączenie kilku zależności o przeciwnych kierunkach.

Wykres jest również narzędziem kontroli jakości danych. Punkt położony daleko od pozostałych może być prawdziwą, klinicznie ważną obserwacją, ale może też wynikać z pomyłki przy wpisywaniu jednostki, zamiany przecinka na kropkę, błędu aparatury albo nieprawidłowego połączenia danych dwóch osób. Nie należy automatycznie usuwać takich obserwacji. Najpierw trzeba sprawdzić ich źródło i opisać decyzję analityczną.

Jak poprawnie zbudować scatterplot?

1. Zdefiniuj jednostkę obserwacji

Jeden punkt powinien odpowiadać jasno określonej jednostce analizy. W badaniu pacjentów będzie to zwykle jedna osoba, ale nie zawsze. Jeżeli u każdego pacjenta wykonano pięć pomiarów, to na wykresie może pojawić się pięć punktów na osobę. W takim przypadku obserwacje nie są niezależne, a zwykła korelacja może zaniżać niepewność oszacowania. Sam scatterplot często pomaga zauważyć powtarzalność pomiarów i potrzebę zastosowania modelu uwzględniającego pomiary zagnieżdżone.

2. Opisz osie i jednostki

Oś powinna mieć nazwę zmiennej oraz jednostkę, na przykład „wiek (lata)” albo „stężenie hemoglobiny (g/dl)”. Nie wystarczy podpis „zmienna X” i „zmienna Y”, jeśli wykres ma być interpretowany przez inne osoby. Zakres osi powinien obejmować obserwowane wartości, lecz nie powinien sztucznie wzmacniać lub osłabiać wrażenia o sile zależności.

W przypadku scatterplotu nie należy bez uzasadnienia obcinać osi, szczególnie gdy ma to stworzyć wrażenie bardzo silnego związku. Z drugiej strony nadmiernie szeroki zakres może sprawić, że istotna struktura danych stanie się trudna do zauważenia. Najważniejsza jest przejrzystość i zgodność skali z celem analizy.

3. Oznacz liczbę obserwacji

W podpisie lub opisie wykresu warto podać n. Przy dużych zbiorach punkty mogą na siebie nachodzić. Wówczas można zastosować przezroczystość punktów, delikatne przesunięcie graficzne albo wykres gęstości. Nie wolno jednak interpretować zaciemnionego obszaru jako większej liczby osób bez sprawdzenia, czy punkty rzeczywiście się nakładają.

4. Rozważ linię trendu, ale nie traktuj jej jako dowodu

Na scatterplocie można dodać linię regresji. Jest to pomocne, gdy pytanie dotyczy przybliżonego trendu liniowego. Linia nie powinna jednak zastępować oglądu punktów. Jeżeli dane mają kształt krzywej, kilka skupień albo zmienny rozrzut, jedna prosta może nadmiernie upraszczać obraz. Dodanie linii wygładzenia, na przykład krzywej lokalnej, powinno być opisane i dobrane do celu analizy, a nie używane wyłącznie po to, aby znaleźć atrakcyjny wizualnie wzór.

Co należy ocenić na wykresie?

Kierunek zależności

Jeżeli wraz ze wzrostem wartości X rosną przeciętnie wartości Y, mówimy o kierunku dodatnim. Jeżeli większym wartościom X towarzyszą przeciętnie mniejsze wartości Y, kierunek jest ujemny. Słowo „przeciętnie” jest ważne: scatterplot opisuje rozkład punktów, a nie regułę obowiązującą bez wyjątku dla każdej osoby.

Linearność

Korelacja Pearsona mierzy przede wszystkim liniowe współwystępowanie. Punkty powinny więc układać się w przybliżeniu wzdłuż prostej, jeśli r ma być sensownym podsumowaniem zależności. Układ łukowaty, sinusoidalny lub w kształcie litery U wymaga ostrożności. W takiej sytuacji korelacja może być niewielka mimo wyraźnej zależności systematycznej.

Stałość rozrzutu

Warto sprawdzić, czy pionowy rozrzut punktów jest podobny na całej długości osi X. Jeżeli chmura rozszerza się wraz ze wzrostem X, mamy do czynienia z możliwą heteroscedastycznością. Nie oznacza to automatycznie, że korelacja jest niedopuszczalna, ale sygnalizuje, że prosta interpretacja i klasyczne procedury wnioskowania mogą wymagać dodatkowego sprawdzenia.

Wartości odstające i obserwacje wpływowe

Wartość odstająca może być nietypowa pod względem X, Y albo obu zmiennych. Obserwacja wpływowa to taka, której obecność znacząco zmienia oszacowanie, na przykład współczynnik korelacji lub nachylenie regresji. Samo oddalenie punktu od środka chmury nie przesądza jeszcze o błędzie. W raporcie należy przedstawić, czy wykonano analizę wrażliwości, czyli porównanie wyników z obserwacją i bez niej, jeśli takie działanie było metodologicznie uzasadnione.

Przykład 1: wiek, ciśnienie i pozorna prostota zależności

Załóżmy, że w badaniu przekrojowym oceniono u 120 dorosłych osób wiek oraz skurczowe ciśnienie tętnicze. Badacz obliczył korelację Pearsona i otrzymał r = 0,46. Na tej podstawie mógłby napisać, że starsze osoby mają wyższe ciśnienie.

Scatterplot może jednak ujawnić trzy ważne elementy. Po pierwsze, osoby w wieku 20–40 lat mogą tworzyć zwartą grupę z niewielkim rozrzutem, natomiast w wieku powyżej 60 lat rozrzut ciśnienia może być dużo większy. Po drugie, kilka osób z bardzo wysokim ciśnieniem może silnie wpływać na wartość r. Po trzecie, zależność może być wyraźna dopiero po uwzględnieniu leczenia hipotensyjnego lub płci.

Wniosek powinien więc być ostrożny: w tej próbie zaobserwowano dodatnie współwystępowanie wieku i skurczowego ciśnienia, ale wykres wskazuje, że zależność może różnić się w podgrupach i niekoniecznie ma jednolity rozrzut. Ponieważ jest to przykład badania obserwacyjnego, nie należy formułować wniosku, że sam wiek powoduje wzrost ciśnienia. Możliwe są między innymi różnice w leczeniu, stanie zdrowia, stylu życia i doborze uczestników.

Przykład 2: czas reakcji i nasilenie objawów lękowych

W badaniu psychologicznym zmierzono czas reakcji w zadaniu komputerowym oraz wynik kwestionariusza lęku u 80 studentów. Współczynnik Pearsona wyniósł r = 0,05, a wartość p była większa od 0,05. Można byłoby pochopnie uznać, że lęk nie ma związku z czasem reakcji.

Scatterplot może jednak pokazać kształt odwróconej litery U: osoby z niskim i bardzo wysokim nasileniem lęku reagują wolniej, natomiast osoby z umiarkowanym poziomem lęku reagują szybciej. W takim układzie dodatnia i ujemna część zależności częściowo się znoszą, dlatego korelacja liniowa jest bliska zeru. Nie oznacza to braku zależności, lecz brak prostego trendu liniowego.

Właściwym kolejnym krokiem może być analiza nieliniowa, model z wyrazem kwadratowym albo uzasadnione podejście rangowe. Wybór powinien wynikać z hipotezy, jakości danych i planu analizy, a nie z próby dopasowania dowolnego modelu po obejrzeniu wielu wykresów.

Scatterplot a porównywanie dwóch metod pomiaru

W medycynie często rysuje się scatterplot dla dwóch metod pomiaru, na przykład automatycznego i manualnego pomiaru ciśnienia. Taki wykres może pokazać, czy osoby z wysokim wynikiem według jednej metody mają również wysokie wyniki według drugiej. Nie odpowiada jednak w pełni na pytanie, czy metody są zgodne.

Wysoka korelacja może wystąpić nawet wtedy, gdy jedna metoda systematycznie zawyża wyniki względem drugiej. Altman i Bland zwracali uwagę, że korelacja oraz regresja nie są wystarczającymi narzędziami do oceny zamienności metod pomiarowych (Altman i Bland, 1983). W tym celu stosuje się między innymi wykres różnic względem średnich, znany jako wykres Bland–Altmana (Bland i Altman, 1986). Scatterplot może być więc dobrym początkiem diagnostyki, ale nie powinien być mylony z analizą zgodności.

Jak połączyć scatterplot z korelacją?

Praktyczny schemat postępowania może wyglądać następująco:

1. Określ pytanie badawcze i jednostkę obserwacji.
2. Sprawdź typ, zakres i jednostki obu zmiennych.
3. Obejrzyj scatterplot z opisanymi osiami i liczbą obserwacji.
4. Oceń kierunek, kształt, rozrzut, skupienia i wartości odstające.
5. Wybierz miarę zależności zgodną z pytaniem i strukturą danych.
6. Podaj oszacowanie, przedział ufności, a jeśli jest to zasadne, wartość p.
7. Opisz ograniczenia widoczne na wykresie i sprawdź wrażliwość wniosków.

Wzór na współczynnik korelacji Pearsona można zapisać jako:

r = Σ[(x_i − x̄)(y_i − ȳ)] / √{Σ(x_i − x̄)² · Σ(y_i − ȳ)²}

Symbol x_i oznacza wartość zmiennej X dla i-tej obserwacji, a y_i — wartość zmiennej Y dla tej samej obserwacji. Symbole x̄ i ȳ oznaczają średnie arytmetyczne obu zmiennych. Znak Σ oznacza sumowanie po wszystkich obserwacjach, natomiast r mieści się w przedziale od −1 do 1.

Wzór nie mówi jednak, czy punkty tworzą prostą, krzywą, kilka grup albo układ zdominowany przez obserwację odstającą. Tę informację daje dopiero połączenie obliczeń z wykresem.

Najczęstsze błędy

• Obliczanie korelacji bez wykresu. Jedna liczba nie ujawnia wszystkich ważnych cech danych.
• Interpretowanie korelacji bliskiej zeru jako braku zależności. Możliwa jest zależność nieliniowa albo mieszanka kilku wzorców.
• Automatyczne usuwanie wartości odstających. Najpierw należy ustalić, czy punkt jest błędem, czy rzeczywistą obserwacją.
• Mylenie korelacji ze zgodnością metod. Do porównania dwóch metod pomiaru potrzebna jest odrębna analiza.
• Ukrywanie skupień. Agregowanie danych do średnich może zamazać różnice między grupami.
• Brak jednostek na osiach. Utrudnia to ocenę znaczenia klinicznego i praktycznego.
• Nadmierne dopasowywanie krzywej. Każdy dodatkowy parametr powinien mieć uzasadnienie merytoryczne.
• Język przyczynowy. Sam scatterplot, a zwykle także korelacyjne badanie obserwacyjne, nie uzasadnia stwierdzenia, że jedna zmienna powoduje drugą.
• Pomijanie liczby obserwacji i braków danych. Wnioski mogą zależeć od tego, kto został uwzględniony w analizie.

Przykład praktyczny: mini-analiza przed raportowaniem

Wyobraźmy sobie badanie 60 pacjentów po wypisie ze szpitala. Zebrano liczbę godzin snu oraz wynik skali zmęczenia. Badacz planuje użyć korelacji Spearmana, ponieważ wyniki zmęczenia są skośne.

Przed obliczeniem współczynnika tworzy scatterplot. Wykres pokazuje, że większość pacjentów tworzy ujemnie nachyloną chmurę: większej liczbie godzin snu towarzyszy zwykle mniejsze zmęczenie. Jednocześnie widoczne są dwie osoby śpiące bardzo długo, ale zgłaszające duże zmęczenie. Po sprawdzeniu dokumentacji okazuje się, że obie mają aktywną infekcję.

W takiej sytuacji nie należy po prostu usuwać tych osób. Są prawdopodobnie klinicznie prawdziwymi obserwacjami, a ich obecność może wskazywać, że związek snu ze zmęczeniem zależy od stanu zdrowia. W raporcie można przedstawić wykres, korelację dla całej próby oraz analizę wrażliwości, jasno opisując, że wyniki po wyłączeniu dwóch obserwacji są analizą dodatkową, a nie „poprawionym” wynikiem.

W przypadku badań obserwacyjnych warto również zadbać o przejrzyste raportowanie projektu, uczestników, braków danych i analiz dodatkowych zgodnie z zasadami STROBE (von Elm i wsp., 2007). Scatterplot nie jest tylko ilustracją wyników. Może dokumentować sposób rozpoznania problemów z danymi i wspierać uzasadnienie dalszych decyzji analitycznych.

Co warto zapamiętać?

• Scatterplot powinien poprzedzać obliczenie korelacji dla dwóch zmiennych ilościowych.
• Każdy punkt przedstawia parę wartości dotyczących jednej jednostki obserwacji.
• Przed interpretacją korelacji trzeba ocenić liniowość, kierunek, rozrzut, skupienia i wartości odstające.
• Korelacja bliska zeru nie wyklucza zależności nieliniowej.
• Wartość odstająca nie jest automatycznie błędem i nie powinna być usuwana bez sprawdzenia.
• Wysoka korelacja między dwiema metodami pomiaru nie oznacza ich zgodności.
• Wykres pomaga odróżnić istotność statystyczną od struktury i znaczenia praktycznego zależności.
• Wnioski powinny być zgodne z projektem badania i nie mogą wykraczać poza to, co uzasadnia schemat obserwacji.

Najkrótsza zasada tej lekcji brzmi: najpierw zobacz dane, potem licz korelację, a na końcu interpretuj wynik w kontekście projektu badania. Scatterplot nie jest ozdobnikiem do tabeli. Jest podstawowym narzędziem diagnostycznym, które może zmienić wybór metody, ujawnić błąd danych albo ochronić przed zbyt mocnym wnioskiem.

Źródła i dalsza lektura

1. Anscombe, F. J. (1973). Graphs in Statistical Analysis. The American Statistician, 27(1), 17–21. DOI: 10.1080/00031305.1973.10478966.
2. Cleveland, W. S., & McGill, R. (1984). Graphical Perception: Theory, Experimentation, and Application to the Development of Graphical Methods. Journal of the American Statistical Association, 79(387), 531–554. DOI: 10.1080/01621459.1984.10478080.
3. Altman, D. G., & Bland, J. M. (1983). Measurement in Medicine: The Analysis of Method Comparison Studies. Journal of the Royal Statistical Society: Series D (The Statistician), 32(3), 307–317. DOI: 10.2307/2987937.
4. Bland, J. M., & Altman, D. G. (1986). Statistical Methods for Assessing Agreement Between Two Methods of Clinical Measurement. The Lancet, 327(8476), 307–310. DOI: 10.1016/S0140-6736(86)90837-8.
5. von Elm, E., Altman, D. G., Egger, M., Pocock, S. J., Gøtzsche, P. C., & Vandenbroucke, J. P.; STROBE Initiative (2007). The Strengthening the Reporting of Observational Studies in Epidemiology (STROBE) Statement: Guidelines for Reporting Observational Studies. PLoS Medicine, 4(10), e296. DOI: 10.1371/journal.pmed.0040296.