375. Braki danych jako założenie analityczne

PrzezMarcin Skrok

Braki danych są częścią niemal każdego badania empirycznego. Pojawiają się, gdy uczestnik nie odpowie na pytanie, pomiar nie zostanie wykonany, dokumentacja medyczna będzie niepełna albo obserwacja w badaniu podłużnym zakończy się przed czasem. Sam fakt występowania pustych komórek nie przesądza jeszcze o jakości danych. Kluczowe jest to, dlaczego dane są nieobserwowane i czy przyjęty sposób postępowania odpowiada temu mechanizmowi.

W tej lekcji wyjaśnimy, dlaczego braki danych są założeniem analitycznym, a nie wyłącznie usterką zbioru. Omówimy trzy klasyczne mechanizmy braków: MCAR, MAR i MNAR, pokażemy konsekwencje analizy kompletnych przypadków oraz zasady stosowania imputacji wielokrotnej. Materiał rozwija diagnostyczne podejście do analizy danych omawiane w szkoleniu na statystyk.edu.pl.

Dlaczego braki danych są problemem metodologicznym?

W pełnym zbiorze każda jednostka ma pomiar wszystkich zmiennych potrzebnych do zaplanowanej analizy. W praktyce obserwujemy tylko część informacji. Oznaczmy:

  • Yobs – wartości zaobserwowane;
  • Ymis – wartości brakujące;
  • R – wskaźnik obserwacji, który informuje, czy dana wartość została zmierzona.

Jeżeli dla osoby badanej i zmiennej j wartość jest dostępna, przyjmujemy zwykle Rj = 1; gdy jej brakuje – Rj = 0. Mechanizm braków danych opisuje związek między wskaźnikiem R, wartościami obserwowanymi i wartościami nieobserwowanymi.

To rozróżnienie ma znaczenie, ponieważ usunięcie osób z brakami może zmienić skład próby. Jeżeli z analizy częściej wypadają pacjenci w cięższym stanie, osoby starsze albo uczestnicy o niższym poziomie wykształcenia, wynik uzyskany na pozostałych osobach może nie opisywać populacji, do której chcemy wnioskować. Brak danych może więc powodować zarówno utratę mocy statystycznej, jak i obciążenie estymatorów.

Trzy mechanizmy braków danych

MCAR – braki całkowicie losowe

Mechanizm MCAR (missing completely at random) oznacza, że prawdopodobieństwo braku nie zależy ani od wartości obserwowanych, ani od wartości, których nie zaobserwowano. Formalnie:

P(R | Yobs, Ymis) = P(R)

Oznacza to, że brak wyniku jest niezależny od całego wektora danych. Przykładem może być losowa awaria urządzenia pomiarowego, która dotyczy przypadkowych osób i nie ma związku z ich stanem zdrowia, wiekiem ani innymi cechami.

MCAR jest założeniem bardzo silnym i w praktyce rzadko można je przyjąć bez zastrzeżeń. Jeżeli jest spełnione, analiza kompletnych przypadków pozostaje zasadniczo nieobciążona, choć nadal traci się część informacji i precyzji. Test Little’a został opracowany jako globalny test zgodności danych z mechanizmem MCAR, ale jego wynik nie stanowi dowodu, że dane rzeczywiście są MCAR (Little, 1988). Test może mieć małą moc w niewielkiej próbie, a przy dużej próbie wykrywać drobne, praktycznie nieistotne odchylenia. ([doi.org])

MAR – braki zależne od danych obserwowanych

Mechanizm MAR (missing at random) zakłada, że po uwzględnieniu informacji zaobserwowanych prawdopodobieństwo braku nie zależy już od samej wartości brakującej:

P(R | Yobs, Ymis) = P(R | Yobs)

Przykład: w badaniu depresji osoby z niższym wykształceniem rzadziej wypełniają końcową część kwestionariusza, ale w zbiorze mamy informację o ich wieku, płci, wcześniejszym nasileniu objawów i wykształceniu. Jeżeli po uwzględnieniu tych zmiennych brak odpowiedzi nie zależy dodatkowo od niezaobserwowanego wyniku końcowego, można rozważać MAR.

MAR nie oznacza, że braki są „losowe” w potocznym sensie. Oznacza jedynie, że ich zależność można opisać za pomocą informacji dostępnych w zbiorze. W praktyce jest to często podstawowe założenie dla estymacji metodą największej wiarygodności oraz imputacji wielokrotnej (Rubin, 1976; Little i Rubin, 2002). Rubin pokazał, że przy odpowiednich warunkach można uwzględnić mechanizm braków bez jawnego modelowania jego parametrów, jeżeli proces braków jest zgodny z MAR, a parametry modelu danych i procesu braków są rozdzielne. ([academic.oup.com])

MNAR – braki zależne od wartości nieobserwowanej

Mechanizm MNAR (missing not at random) występuje wtedy, gdy nawet po uwzględnieniu danych obserwowanych prawdopodobieństwo braku zależy od samej wartości, której nie zaobserwowano. Przykładowo osoby z bardzo nasilonymi objawami lęku mogą częściej opuszczać pytania dotyczące lęku właśnie dlatego, że ich wynik byłby wysoki. Jeżeli informacja o tym nasileniu nie jest dostępna w żadnej innej zmiennej, prosty model MAR może być niewystarczający.

MNAR nie można zazwyczaj rozstrzygnąć wyłącznie na podstawie obserwowanego zbioru, ponieważ brakuje informacji potrzebnej do bezpośredniego sprawdzenia zależności. Konieczne staje się rozumowanie dziedzinowe, analiza wrażliwości oraz porównanie kilku wiarygodnych scenariuszy. W badaniach klinicznych często analizuje się na przykład, jak zmieniłyby się wnioski, gdyby osoby, które przerwały obserwację, miały średnio gorszy wynik niż osoby pozostające w badaniu.

Co można sprawdzić przed wyborem metody?

Diagnostyka braków danych powinna rozpocząć się od opisu, a nie od automatycznego uruchomienia testu. Warto odpowiedzieć na kilka pytań:

  1. Jak wiele wartości brakuje dla każdej zmiennej?
  2. Czy braki dotyczą pojedynczych pozycji, całych osób, określonych wizyt lub konkretnych ośrodków?
  3. Czy osoby z brakami różnią się od osób bez braków pod względem wieku, płci, ciężkości choroby, grupy badanej lub innych zmiennych?
  4. Czy braki występują w określonych wzorach, na przykład po przerwaniu obserwacji?
  5. Czy przyczyna braku jest znana z dokumentacji lub procedury badania?

Pomocne są tabele częstości braków, macierze wzorów brakowania, wykresy braków według czasu i grup oraz porównanie charakterystyk osób z kompletnymi i niekompletnymi obserwacjami. Takie porównanie nie dowodzi mechanizmu MNAR, ale może ujawnić, że założenie MCAR jest mało wiarygodne.

Warto odróżnić brak prawdziwy od wartości zakodowanej jako „nie dotyczy”, „odmowa odpowiedzi”, „nie wiadomo” lub „badania nie wykonano”. Te kategorie mogą mieć różne znaczenie analityczne. Na przykład brak pomiaru saturacji u pacjenta, który nie wymagał tlenoterapii, nie jest tym samym co brak pomiaru wynikający z przeciążenia zespołu ratowniczego.

Analiza kompletnych przypadków

Najprostszą strategią jest analiza wyłącznie osób, które mają komplet danych dla wszystkich zmiennych użytych w modelu. Nazywa się ją analizą kompletnych przypadków albo analizą obserwacji pełnych. Jej zaletą jest prostota: nie trzeba modelować braków ani tworzyć dodatkowych zbiorów danych.

Strategia ta jest jednak bezpieczna przede wszystkim wtedy, gdy mechanizm braków jest zgodny z MCAR albo gdy szczególna struktura modelu sprawia, że usunięcie przypadków nie prowadzi do istotnego obciążenia. Przy MAR analiza kompletnych przypadków może być obciążona, chyba że prawdopodobieństwo kompletności jest odpowiednio związane z predyktorami i zostanie uwzględnione w modelu.

Drugim problemem jest zmniejszenie liczebności próby. Jeżeli w badaniu 10% osób ma brak wieku, 10% brak wyniku klinicznego, a 10% brak informacji o paleniu, odsetek kompletnych przypadków może być znacznie niższy niż 70%, ponieważ braki częściowo nakładają się lub występują w różnych kombinacjach. Mniejsza próba oznacza większe błędy standardowe i mniejszą zdolność wykrywania efektów.

Imputacja pojedyncza a imputacja wielokrotna

Imputacja pojedyncza zastępuje każdą brakującą wartość jedną liczbą, na przykład średnią, medianą albo wartością przewidywaną przez model. Takie rozwiązanie może być wygodne, ale zazwyczaj zaniża niepewność wyników. Po imputacji zbiór wygląda tak, jakby brakujące wartości były znane bez błędu, choć w rzeczywistości zostały oszacowane.

Imputacja wielokrotna tworzy kilka wersji zbioru, w których brakujące wartości są uzupełniane różnymi, losowo zmiennymi wartościami zgodnymi z modelem imputacji. Następnie tę samą analizę wykonuje się w każdym zbiorze, a wyniki łączy zgodnie z regułami Rubina.

Jeżeli w m zbiorach uzyskano estymaty Q1, Q2, …, Qm, średnia estymata wynosi:

Q̄ = (1/m) × Σ Qi

gdzie Q̄ jest połączoną estymatą, m oznacza liczbę imputowanych zbiorów, a Qi – estymatę z i-tego zbioru.

Niepewność wyniku obejmuje dwa składniki. Pierwszy to średnia wariancja wewnątrz zbiorów, czyli zmienność wynikająca z próby. Drugi to wariancja między zbiorami, odzwierciedlająca niepewność związaną z brakującymi wartościami. Pominięcie drugiego składnika prowadzi do zbyt wąskich przedziałów ufności.

W praktyce często stosuje się imputację metodą równań łańcuchowych, MICE (multiple imputation by chained equations). Dla każdej zmiennej z brakami buduje się model wykorzystujący inne zmienne: regresję liniową dla zmiennej ilościowej, regresję logistyczną dla binarnej czy model wielomianowy dla kategorii nominalnych. Należy jednak uwzględnić w modelu imputacji wszystkie zmienne, które będą użyte w analizie, oraz zmienne pomocnicze związane z brakami lub wynikiem. White, Royston i Wood podkreślają znaczenie zgodności modelu imputacji z typem zmiennej, strukturą danych i planowanym modelem analitycznym (White, Royston i Wood, 2011). ([onlinelibrary.wiley.com])

Przykład praktyczny: badanie pacjentów z nadciśnieniem

Załóżmy, że w poradni obserwowano 600 osób z nadciśnieniem. Celem była ocena związku między aktywnością fizyczną a ciśnieniem skurczowym po sześciu miesiącach. W 90 przypadkach brakowało pomiaru końcowego, a osoby, które nie zgłosiły się na wizytę, częściej były młodsze, pracowały zmianowo i miały gorszą frekwencję na wcześniejszych wizytach.

Gdyby badacz przeanalizował tylko 510 osób z kompletnym wynikiem, musiałby założyć, że osoby z brakami są – po uwzględnieniu użytych zmiennych – porównywalne z osobami pozostającymi w analizie. To założenie jest mało przekonujące, ponieważ wcześniejsza frekwencja i tryb pracy przewidują brak wizyty.

Rozsądny plan obejmowałby:

  • opisanie liczby braków według zmiennej i wizyty;
  • porównanie osób z pełną i niepełną obserwacją;
  • uwzględnienie wieku, płci, wartości wyjściowego ciśnienia, wcześniejszej frekwencji i trybu pracy w modelu imputacji;
  • wykonanie imputacji wielokrotnej przy założeniu MAR;
  • przeprowadzenie analizy wrażliwości, w której osoby z brakującym wynikiem otrzymują hipotetycznie nieco wyższe wartości ciśnienia;
  • porównanie wyników imputacji z analizą kompletnych przypadków.

Jeżeli wszystkie metody prowadzą do podobnego wniosku, zwiększa to jego stabilność. Jeżeli wyniki wyraźnie się różnią, nie należy wybierać wariantu dającego „lepszą” wartość p. Trzeba przedstawić, że wniosek zależy od założenia dotyczącego braków.

Przykład z psychologii: opuszczanie pomiarów podłużnych

W badaniu studentów mierzono objawy wypalenia na początku semestru, po ośmiu tygodniach i na jego końcu. Część osób nie wypełniła ostatniego kwestionariusza. Jeżeli osoby z najwyższym nasileniem wypalenia częściej rezygnowały, brak danych może mieć charakter MNAR.

Nie wystarczy stwierdzić, że odsetek braków wyniósł 15%. Ważne jest, czy braki są rozłożone równomiernie, czy koncentrują się wśród osób z wysokimi wynikami wcześniejszych pomiarów. Wynik końcowy może być analizowany metodą modelu podłużnego lub imputacji wielokrotnej, ale należy jasno opisać przyjęte założenia. W badaniach klinicznych i epidemiologicznych imputacja wielokrotna może ograniczać część problemów związanych z brakami, jednak nie usuwa konieczności uzasadnienia modelu i oceny wrażliwości wyników (Sterne i in., 2009). ([pmc.ncbi.nlm.nih.gov])

Analiza wrażliwości

Analiza wrażliwości odpowiada na pytanie: czy główny wniosek utrzymałby się przy rozsądnych alternatywnych założeniach dotyczących braków? Nie jest to jeden konkretny test. Może obejmować:

  • porównanie analizy kompletnych przypadków z imputacją wielokrotną;
  • zmianę modelu imputacji;
  • scenariusze „najlepszego” i „najgorszego” przypadku;
  • modele wzorców braków, w których wynik zależy od grupy zdefiniowanej przez wzór brakowania;
  • dodanie przesunięcia do wartości imputowanych, na przykład założenie, że nieobserwowane wyniki są średnio o 5 punktów gorsze.

W analizie wrażliwości nie chodzi o udowodnienie, że wybrany scenariusz jest prawdziwy. Chodzi o pokazanie, jak silne musiałyby być odstępstwa od założenia MAR, aby zmienić konkluzję badania.

Jak raportować braki danych?

Raport powinien podawać liczbę uczestników zakwalifikowanych do badania, liczbę osób poddanych analizie oraz liczbę braków dla każdej kluczowej zmiennej. W badaniach obserwacyjnych zalecenia STROBE wskazują na potrzebę podania liczby uczestników z brakującymi danymi dla każdej zmiennej istotnej dla analizy (STROBE, 2007). ([strobe-statement.org])

Należy również opisać:

  • przyczyny i wzory braków, jeśli są znane;
  • strategię postępowania z brakami;
  • liczbę imputowanych zbiorów;
  • zmienne użyte w modelu imputacji;
  • metodę łączenia wyników;
  • wyniki analiz dodatkowych lub wrażliwości.

Nie wystarczy zdanie: „braki danych uzupełniono metodą imputacji”. Czytelnik powinien wiedzieć, co imputowano, na podstawie jakich informacji i czy analizę przeprowadzono w każdym imputowanym zbiorze, a następnie prawidłowo połączono wyniki.

Najczęstsze błędy

  • Automatyczne zastępowanie braków średnią. Zwykle zaniża wariancję i osłabia zależności między zmiennymi.
  • Traktowanie MCAR jako domyślnej sytuacji. Brak dowodu na zależność nie jest dowodem całkowitej losowości.
  • Uznawanie testu Little’a za rozstrzygający. Test może być niewrażliwy przy małej próbie i nadwrażliwy przy bardzo dużej próbie.
  • Imputowanie bez uwzględnienia wyniku głównego. Jeżeli wynik badania jest pomijany w modelu imputacji, można zniekształcić zależności.
  • Włączanie numerów kodujących brak jako zwykłych wartości. Kod „99 – brak odpowiedzi” nie jest wiekiem ani wynikiem skali.
  • Raportowanie tylko odsetka braków. Ten sam odsetek może oznaczać losowe braki, systematyczne wypadanie grupy albo przerwanie obserwacji.
  • Wybieranie metody na podstawie wartości p. Istotność statystyczna nie rozstrzyga, czy założenie dotyczące braków jest wiarygodne.
  • Ukrywanie różnic między analizami. Jeżeli wnioski zależą od przyjętego mechanizmu braków, należy to wyraźnie zaznaczyć.

Co warto zapamiętać?

  1. Braki danych są problemem mechanizmu generowania obserwacji, a nie tylko problemem pustych komórek.
  2. MCAR oznacza niezależność braków od danych obserwowanych i nieobserwowanych; MAR – zależność możliwą do opisania za pomocą danych obserwowanych; MNAR – dodatkową zależność od wartości nieobserwowanej.
  3. Analiza kompletnych przypadków jest prosta, ale może prowadzić do utraty mocy i obciążenia wyników.
  4. Imputacja wielokrotna uwzględnia niepewność wynikającą z brakujących wartości, lecz wymaga dobrze określonego modelu.
  5. Żadna procedura statystyczna nie odzyskuje bezpośrednio informacji, których nie zmierzono.
  6. Założenie MAR powinno być uzasadnione wiedzą o badaniu, a nie przyjęte wyłącznie dlatego, że oprogramowanie oferuje odpowiednią procedurę.
  7. Analiza wrażliwości jest szczególnie ważna, gdy brak danych może zależeć od stanu zdrowia, nasilenia objawów, ciężkości zdarzenia albo prawdopodobieństwa rezygnacji z badania.
  8. Raportowanie braków jest częścią raportowania metodologicznego i powinno umożliwiać ocenę ryzyka błędu przez czytelnika.

Najważniejsza zasada brzmi: zanim wybierzesz sposób postępowania z brakami, spróbuj zrozumieć, skąd się wzięły. Dopiero potem zdecyduj, czy wystarczy analiza kompletnych przypadków, czy potrzebne są metody modelowe, imputacja wielokrotna i analiza wrażliwości.

Źródła i dalsza lektura

  1. Rubin, D. B. (1976). Inference and missing data. Biometrika, 63(3), 581–592. DOI: 10.1093/biomet/63.3.581.
  2. Little, R. J. A. (1988). A Test of Missing Completely at Random for Multivariate Data with Missing Values. Journal of the American Statistical Association, 83(404), 1198–1202. DOI: 10.1080/01621459.1988.10478722.
  3. Little, R. J. A.; Rubin, D. B. (2002). Statistical Analysis with Missing Data. 2nd edition. John Wiley & Sons, Wiley-Interscience, Hoboken, New Jersey. Informacja wydawcy / źródło.
  4. Sterne, J. A. C.; White, I. R.; Carlin, J. B.; Spratt, M.; Royston, P.; Kenward, M. G.; Wood, A. M.; Carpenter, J. R. (2009). Multiple imputation for missing data in epidemiological and clinical research: potential and pitfalls. BMJ, 338, b2393. DOI: 10.1136/bmj.b2393.
  5. White, I. R.; Royston, P.; Wood, A. M. (2011). Multiple imputation using chained equations: Issues and guidance for practice. Statistics in Medicine, 30(4), 377–399. DOI: 10.1002/sim.4067.
  6. von Elm, E.; Altman, D. G.; Egger, M.; Pocock, S. J.; Gøtzsche, P. C.; Vandenbroucke, J. P.; STROBE Initiative (2007). The Strengthening the Reporting of Observational Studies in Epidemiology (STROBE) Statement: guidelines for reporting observational studies. PLoS Medicine. Public Library of Science. Źródło.

Podobne wpisy

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *