300. Jak rozpoznawać, jaki rozkład może pasować do rodzaju danych?

Wybór rozkładu prawdopodobieństwa nie powinien zaczynać się od pytania: „Który rozkład znam najlepiej?”. Punkt wyjścia stanowi natura obserwowanej zmiennej: czy jest ona jakościowa, binarna, dyskretna, ciągła, dodatnia, ograniczona do przedziału, czy może opisuje czas oczekiwania. Dopiero później analizuje się kształt danych, zależności między obserwacjami i cel badania. W tej lekcji uporządkujemy sposób rozpoznawania, jaki rozkład może pasować do rodzaju danych. Nie chodzi o mechaniczne dopasowanie krzywej, lecz o powiązanie modelu z procesem, który generuje obserwacje.

Temat jest naturalnym rozwinięciem wcześniejszych lekcji kursu na statystyk.edu.pl, poświęconych rozkładowi normalnemu, rozkładowi t-Studenta, rozkładowi chi-kwadrat, rozkładowi F, rozkładowi dwumianowemu, rozkładowi Poissona i rozkładowi wykładniczemu. W tej lekcji nie skupiamy się na jednym rozkładzie, lecz na strategii wyboru.

Od czego zacząć: typ zmiennej i jej możliwe wartości

Najważniejsze pytanie brzmi: jakie wartości może przyjmować zmienna? Ten etap często pozwala odrzucić większość niepasujących modeli, zanim wykonamy jakiekolwiek testy lub wykresy.

Zmienne jakościowe i kategoryczne

Jeżeli obserwacja należy do jednej z kategorii, nie opisujemy jej za pomocą rozkładu przeznaczonego dla pomiarów ciągłych. Przykładami są: płeć, rozpoznanie choroby, rodzaj interwencji, poziom wykształcenia albo odpowiedź „tak/nie”.

Dla pojedynczej obserwacji binarnej naturalnym modelem jest rozkład Bernoulliego. Jeżeli interesuje nas liczba sukcesów w ustalonej liczbie niezależnych prób, rozważamy rozkład dwumianowy. Gdy mamy więcej niż dwie kategorie, można użyć rozkładu wielomianowego. W analizie tabel kontyngencji rozkłady kategorii opisuje się często za pomocą modeli log-liniowych lub regresji logistycznej, a nie za pomocą rozkładu normalnego (Agresti, 2019).

Zmienne dyskretne: liczby całkowite

Jeśli zmienna przyjmuje wartości 0, 1, 2, 3 i kolejne liczby całkowite, trzeba ustalić, co właściwie jest liczone. Liczba hospitalizacji, liczba wezwań zespołu ratownictwa, liczba upadków pacjenta lub liczba nowych przypadków choroby w jednostce czasu to dane zliczeniowe.

Rozkład Poissona może być punktem wyjścia, gdy liczymy zdarzenia zachodzące w określonym czasie, obszarze lub na innej ustalonej ekspozycji. Jego szczególną cechą jest równość wartości oczekiwanej i wariancji:

E(Y) = λ oraz Var(Y) = λ.

Symbol Y oznacza liczbę zdarzeń, a λ — oczekiwaną liczbę zdarzeń w ustalonej jednostce obserwacji. W praktyce założenie równości średniej i wariancji bywa niespełnione. Jeżeli wariancja jest większa od średniej, mówimy o nadmiernym rozproszeniu. Wtedy rozkład Poissona może być zbyt restrykcyjny, a alternatywą bywa model ujemno-dwumianowy.

Rozkład dwumianowy pasuje natomiast wtedy, gdy liczba prób jest z góry ustalona, każda próba ma dwa wyniki, a prawdopodobieństwo sukcesu pozostaje takie samo. To zasadnicza różnica między pytaniem „ile osób zachorowało spośród 200 badanych?” a pytaniem „ile zgłoszeń napłynęło do izby przyjęć w ciągu godziny?”. Pierwsze pytanie wskazuje na schemat dwumianowy, drugie — potencjalnie na Poissona.

Zmienne ciągłe

Zmienne ciągłe mogą przyjmować dowolne wartości z pewnego przedziału, przynajmniej w sensie teoretycznym. Przykładami są ciśnienie tętnicze, stężenie glukozy, temperatura ciała, czas reakcji, masa ciała i czas hospitalizacji.

W przypadku pomiarów ciągłych należy zwrócić uwagę na:

• dolną i górną granicę wartości;
• asymetrię rozkładu;
• obecność wartości odstających;
• różnicę między skalą addytywną i multiplikatywną;
• to, czy zero ma znaczenie empiryczne, czy jest tylko punktem umownym.

Rozkład normalny jest symetryczny i rozciąga się od minus nieskończoności do plus nieskończoności. Może być rozsądnym przybliżeniem dla niektórych pomiarów biologicznych, szczególnie gdy wynik powstaje jako suma wielu drobnych, niezależnych wpływów. Nie oznacza to jednak, że każda zmienna medyczna powinna być analizowana jako normalna. Czas oczekiwania, koszty leczenia czy stężenia niektórych biomarkerów często są prawostronnie skośne.

Zakres zmiennej jako filtr wyboru rozkładu

Drugim krokiem jest sprawdzenie, czy rozkład teoretyczny ma taki sam zakres wartości jak zmienna.

Rodzaj danych	Typowy zakres	Możliwe rozkłady
Wynik binarny	0 lub 1	Bernoulliego, dwumianowy
Liczba zdarzeń	0, 1, 2, …	Poissona, ujemny dwumianowy
Pomiar dodatni	wartości większe od 0	log-normalny, gamma, wykładniczy, Weibulla
Odsetek lub prawdopodobieństwo	od 0 do 1	beta, binomialny dla liczby sukcesów
Pomiar symetryczny	teoretycznie od minus nieskończoności do plus nieskończoności	normalny, t-Studenta

Tabela nie jest automatycznym algorytmem. Na przykład odsetek może być analizowany jako wynik binomialny, jeżeli znamy liczbę sukcesów i prób, albo jako zmienna ciągła w przedziale 0–1, jeżeli każdy uczestnik ma własną wartość proporcji. Wybór zależy od sposobu pomiaru, a nie tylko od wyglądu kolumny w arkuszu danych.

Jak odróżniać podobne rozkłady?

Rozkład normalny a log-normalny

Rozkład normalny jest symetryczny wokół średniej. Rozkład log-normalny dotyczy zmiennej dodatniej, której logarytm ma rozkład normalny. Jeżeli zmienna Y jest log-normalna, to:

log(Y) ~ N(μ, σ²).

Symbol μ oznacza średnią logarytmów, a σ² ich wariancję. W skali oryginalnej rozkład jest prawostronnie skośny: większość obserwacji może być względnie mała, ale niewielka liczba bardzo dużych wartości tworzy długi prawy ogon. Taki wzorzec bywa spotykany w kosztach leczenia, stężeniach biologicznych i czasach reakcji.

Transformacja logarytmiczna może poprawić symetrię i stabilizować wariancję, ale nie powinna być stosowana wyłącznie po to, aby „wymusić” istotność statystyczną. Należy zdefiniować, co oznacza wynik po transformacji, i przedstawić interpretację na oryginalnej skali. Zasady te omawiają Bland i Altman (1996).

Rozkład wykładniczy a gamma

Rozkład wykładniczy opisuje często czas oczekiwania na pierwsze zdarzenie w procesie Poissona przy stałej intensywności. Jest prosty, ale zakłada szczególną postać funkcji ryzyka. Rozkład gamma jest bardziej elastyczny i może opisywać dodatnie, skośne wartości, których zmienność nie musi odpowiadać prostemu czasowi do pierwszego zdarzenia.

W analizie czasu do zdarzenia trzeba dodatkowo uwzględnić cenzorowanie. Jeżeli część pacjentów nie doświadczyła zdarzenia przed zakończeniem obserwacji, zwykłe dopasowanie rozkładu do zaobserwowanych czasów może być błędne. Wtedy problem wymaga metod przeżycia, a nie tylko wyboru rozkładu dla kompletnej zmiennej ciągłej.

Rozkład Poissona a ujemny dwumianowy

Oba rozkłady dotyczą danych zliczeniowych. W praktyce warto obliczyć średnią i wariancję liczby zdarzeń. Jeżeli wariancja jest wyraźnie większa od średniej, może to wskazywać na nadmierne rozproszenie, heterogeniczność osób lub pominięte czynniki. Nie jest to jednak samodzielny dowód, że należy zastosować konkretny model. Trzeba również sprawdzić zależność obserwacji, długość ekspozycji i obecność nadmiaru zer.

Rozkład danych a model dla zmiennej wynikowej

Ważne jest rozróżnienie między opisem rozkładu a modelem regresyjnym. W regresji uogólnionej rozkład wyniku oraz funkcja łącząca określają, jak średnia wynikowa wiąże się ze zmiennymi objaśniającymi. Dla wyniku binarnego często stosuje się regresję logistyczną, dla liczby zdarzeń — regresję Poissona lub ujemno-dwumianową, a dla dodatnich wyników ciągłych — na przykład model gamma z odpowiednią funkcją łączącą.

Nie należy więc mówić: „dane są nienormalne, dlatego nie wolno stosować żadnej metody parametrycznej”. Bardziej precyzyjne pytanie brzmi: jaki rozkład warunkowy wyniku jest uzasadniony po uwzględnieniu predyktorów? Model może być niewłaściwy nie dlatego, że histogram surowej zmiennej nie przypomina normalnego, ale dlatego, że reszty, wariancja lub zależności między obserwacjami nie spełniają założeń.

Przykład 1: liczba wezwań ratownictwa

Załóżmy, że zespół zdrowia publicznego analizuje liczbę wezwań pogotowia w 30 dzielnicach w ciągu doby. Wynik przyjmuje wartości całkowite i nieujemne. Naturalnie nasuwają się dwa pytania:

1. Czy każda dzielnica była obserwowana przez taki sam czas?
2. Czy interesuje nas liczba wezwań, czy częstość wezwań względem liczby mieszkańców?

Jeżeli obserwacja obejmuje identyczny czas, a zdarzenia są względnie niezależne, rozkład Poissona może być pierwszym modelem. Jeżeli dzielnice różnią się liczbą mieszkańców, w modelu należy uwzględnić ekspozycję, na przykład za pomocą offsetu logarytmu liczby mieszkańców. Wtedy analizujemy częstość, a nie samą liczbę zdarzeń.

Jeżeli dane wykazują dużo większą wariancję niż średnia, model Poissona może zaniżać niepewność oszacowań. Wtedy warto rozważyć ujemny dwumianowy model zliczeń lub inne rozwiązanie uwzględniające nadmierne rozproszenie. Jeżeli w wielu dzielnicach nie odnotowano żadnego wezwania, należy również sprawdzić, czy zera wynikają z procesu losowego, czy z odmiennego mechanizmu, na przykład braku dostępności raportowania.

Przykład 2: czas oczekiwania pacjenta na przyjęcie

W badaniu jakości opieki mierzono czas od rejestracji do kontaktu z personelem. Czas jest dodatni, a histogram ma długi prawy ogon: większość pacjentów czekała krótko, lecz część czekała bardzo długo.

Rozkład normalny może wytwarzać nierealistyczne wartości ujemne i nie odzwierciedlać asymetrii. Można rozważyć rozkład log-normalny, gamma albo Weibulla. Wybór powinien zależeć od celu analizy. Jeśli celem jest opis rozkładu czasu, porównanie kilku modeli i ocena dopasowania może być uzasadniona. Jeśli część pacjentów została wypisana przed przyjęciem, mamy potencjalne obserwacje cenzorowane i lepsze mogą być metody analizy czasu do zdarzenia.

Jeżeli badacz logarytmował czas, nie powinien następnie interpretować średniej logarytmów jako zwykłej średniej minut oczekiwania. Po transformacji zmienia się skala interpretacji. Wyniki trzeba przeliczyć z powrotem albo jasno opisać jako różnice lub ilorazy na skali logarytmicznej.

Praktyczna procedura wyboru rozkładu

1. Zdefiniuj jednostkę obserwacji. Ustal, co jest pojedynczym wynikiem: osoba, wizyta, dzień, oddział czy zdarzenie.
2. Określ typ zmiennej. Rozróżnij dane binarne, kategoryczne, licznikowe, ciągłe, proporcje i czasy.
3. Sprawdź zakres wartości. Zwróć uwagę na zera, wartości ujemne, ograniczenia do przedziału 0–1 i wartości skrajne.
4. Obejrzyj dane. Użyj histogramu, wykresu pudełkowego, wykresu częstości lub empirycznej funkcji dystrybuanty.
5. Porównaj średnią i wariancję. Szczególnie w przypadku danych zliczeniowych.
6. Uwzględnij mechanizm generowania danych. Zastanów się, czy obserwacje są niezależne, czy występują klastry, powtórne pomiary, cenzorowanie albo różne czasy ekspozycji.
7. Porównaj kilka rozsądnych modeli. Wykorzystaj wykresy diagnostyczne, kryteria informacyjne i wiedzę merytoryczną, a nie tylko jeden test dopasowania.
8. Oceń znaczenie praktyczne. Model powinien prowadzić do sensownych wniosków na skali badanej dziedziny.

Najczęstsze błędy

• Wybieranie rozkładu na podstawie samego histogramu. Histogram zależy od liczebności próby i szerokości przedziałów.
• Traktowanie testu normalności jako wyroczni. W dużych próbach niewielkie odchylenia mogą dać bardzo małą wartość p, natomiast w małych próbach test może mieć małą moc.
• Mylenie rozkładu zmiennej z rozkładem statystyki. Rozkład surowych wyników nie jest tym samym co rozkład średniej, różnicy średnich czy estymatora.
• Ignorowanie ograniczeń wartości. Model normalny dla czasu, który może przewidywać ujemne wartości, wymaga uzasadnienia albo zmiany modelu.
• Zakładanie niezależności obserwacji. Wielokrotne pomiary tej samej osoby, pacjenci z tego samego oddziału i dane z tych samych dni mogą być zależne.
• Automatyczne logarytmowanie danych. Transformacja nie naprawia każdego problemu i może utrudnić interpretację.
• Uznawanie najniższej wartości p za dowód najlepszego modelu. Dobór modelu powinien uwzględniać cel, interpretowalność, diagnostykę i wiedzę o procesie.
• Przedstawianie istotności statystycznej jako ważności klinicznej. Nawet dobrze dopasowany rozkład nie rozstrzyga, czy efekt jest praktycznie istotny.

Co warto zapamiętać?

• Dobór rozkładu zaczyna się od typu danych i mechanizmu ich powstawania, a nie od przypadkowego dopasowania krzywej.
• Dane binarne wskazują zwykle na modele Bernoulliego lub dwumianowe, dane zliczeniowe na Poissona lub ujemny dwumianowy, a dodatnie i skośne dane ciągłe na rozkłady log-normalny, gamma albo Weibulla.
• Rozkład normalny jest użytecznym modelem dla części pomiarów, ale nie jest domyślnym rozkładem wszystkich danych biologicznych.
• Zakres wartości, asymetria, wariancja, zera, cenzorowanie i zależność obserwacji mogą być ważniejsze niż sam wygląd histogramu.
• Rozkład opisowy zmiennej i rozkład warunkowy w modelu regresyjnym to nie to samo.
• Wnioski o jakości modelu należy opierać na diagnostyce, sensie merytorycznym i interpretacji, a nie wyłącznie na wartości p.

Najlepszy wybór rozkładu jest więc połączeniem matematyki, znajomości badanej dziedziny i krytycznej oceny danych. Statystyka nie polega na znalezieniu rozkładu, który „ładnie wygląda”, lecz na zbudowaniu modelu, który uczciwie reprezentuje sposób powstawania obserwacji i pozwala odpowiadać na konkretne pytanie badawcze.

Źródła i dalsza lektura

1. Kirkwood, B. R., & Sterne, J. A. C. (2012). Essential Medical Statistics. 2nd edition. Wiley-Blackwell. Informacja wydawcy / źródło.
2. Agresti, A. (2019). An Introduction to Categorical Data Analysis. 3rd edition. John Wiley & Sons. Informacja wydawcy / źródło.
3. Bland, J. M., & Altman, D. G. (1996). Transforming data. BMJ, 312(7033), 770. DOI: 10.1136/bmj.312.7033.770.
4. Bland, J. M., & Altman, D. G. (1996). The use of transformation when comparing two means. BMJ, 312(7039), 1153. DOI: 10.1136/bmj.312.7039.1153.
5. von Elm, E., Altman, D. G., Egger, M., Pocock, S. J., Gøtzsche, P. C., & Vandenbroucke, J. P.; STROBE Initiative (2007). The Strengthening the Reporting of Observational Studies in Epidemiology (STROBE) statement: guidelines for reporting observational studies. PLoS Medicine, 4(10), e296. DOI: 10.1371/journal.pmed.0040296.