441. Korelacja – czym jest i czego nie oznacza?

Korelacja jest jednym z najczęściej stosowanych sposobów opisywania zależności między dwiema zmiennymi. Pojawia się w badaniach medycznych, psychologicznych, epidemiologicznych, pielęgniarskich i społecznych: oceniamy na przykład związek wieku z ciśnieniem tętniczym, nasilenia bólu z poziomem lęku albo czasu oczekiwania na pomoc z satysfakcją pacjentów. Sama łatwość obliczenia współczynnika korelacji bywa jednak źródłem błędów. Wynik korelacji nie mówi automatycznie, że zmiana wartości jednej zmiennej powoduje zmianę wartości drugiej zmiennej, że pomiary są zgodne ani że obserwowany związek ma znaczenie kliniczne. Ta lekcja, będąca częścią szkolenia na statystyk.edu.pl, porządkuje podstawowe znaczenie korelacji i jej najważniejsze ograniczenia.

Czym jest korelacja?

W sensie statystycznym korelacja opisuje kierunek i siłę współzmienności dwóch zmiennych. Jeżeli wraz ze wzrostem jednej zmiennej druga ma tendencję do wzrostu, mówimy o korelacji dodatniej. Jeżeli wzrostowi jednej zmiennej towarzyszy tendencja do spadku drugiej, mówimy o korelacji ujemnej. Gdy nie obserwujemy uporządkowanej współzmienności, współczynnik może być bliski zeru.

Ważne jest słowo tendencja. Korelacja nie wymaga, aby każda osoba dokładnie wpisywała się w prostą regułę. W badaniach biologicznych, medycznych czy społecznych obserwacje są zwykle rozproszone: pacjenci w tym samym wieku mogą mieć różne ciśnienie, a osoby z podobnym nasileniem bólu mogą różnie oceniać jakość życia. Korelacja podsumowuje ogólny wzorzec rozrzutu, a nie przewiduje bezbłędnie wyniku pojedynczej osoby.

Najczęściej stosuje się współczynnik korelacji Pearsona, oznaczany przez r. Dotyczy on przede wszystkim liniowej zależności między dwiema zmiennymi ilościowymi. Współczynnik przyjmuje wartości od −1 do +1:

• r = +1 oznacza idealną dodatnią zależność liniową;
• r = −1 oznacza idealną ujemną zależność liniową;
• r = 0 oznacza brak liniowej zależności w analizowanej próbie.

Wartość dodatnia lub ujemna określa kierunek, natomiast wartość bezwzględna współczynnika, czyli |r|, informuje o sile liniowego związku. Nie należy jednak traktować progów, takich jak 0,1, 0,3 i 0,5, jako uniwersalnego prawa. Ocena, czy korelacja jest mała, umiarkowana lub duża, zależy od dziedziny, jakości pomiaru, celu badania i konsekwencji praktycznych (Schober, Boer i Schwarte, 2018).

Współczynnik korelacji Pearsona

Współczynnik Pearsona można zapisać następująco:

r = Σ[(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ)] / √[Σ(xᵢ − x̄)² · Σ(yᵢ − ȳ)²]

Poszczególne oznaczenia mają następujące znaczenie:

• xᵢ – wartość pierwszej zmiennej u osoby lub jednostki o numerze i;
• yᵢ – wartość drugiej zmiennej u tej samej osoby lub jednostki;
• x̄ – średnia arytmetyczna pierwszej zmiennej;
• ȳ – średnia arytmetyczna drugiej zmiennej;
• Σ – sumowanie po wszystkich obserwacjach;
• n – liczba par obserwacji, choć nie występuje jawnie w skróconym zapisie powyżej.

Licznik mierzy, czy odchylenia obu zmiennych od ich średnich mają zwykle ten sam znak. Jeżeli osoba ma wynik x powyżej średniej i jednocześnie wynik y powyżej średniej, iloczyn odchyleń jest dodatni. Jeżeli jedna wartość jest powyżej średniej, a druga poniżej, iloczyn jest ujemny. Mianownik skaluje wynik, dzięki czemu współczynnik pozostaje w zakresie od −1 do +1.

Przed obliczeniem korelacji Pearsona należy obejrzeć wykres rozrzutu. Pozwala on sprawdzić, czy relacja jest w przybliżeniu liniowa, czy występują obserwacje odstające, czy analizowany zakres wartości nie jest sztucznie ograniczony oraz czy nie występują odrębne podgrupy. Samo sprawdzenie wartości p nie zastępuje oględzin danych.

Korelacja Spearmana

Współczynnik korelacji rang Spearmana, oznaczany zwykle przez ρ albo r_s, ocenia zgodność uporządkowania obserwacji. Zamiast bezpośrednich wartości analizuje się ich rangi, czyli pozycje od najmniejszej do największej. Metoda jest przydatna, gdy zmienne są co najmniej porządkowe, gdy rozkłady są wyraźnie skośne albo gdy zależność jest monotoniczna, lecz niekoniecznie liniowa.

Zależność monotoniczna oznacza, że wraz ze wzrostem jednej zmiennej druga na ogół rośnie albo na ogół maleje. Nie musi jednak rosnąć w stałym tempie. Przykładowo, poziom lęku może szybko wzrastać przy małej liczbie objawów, a następnie zbliżać się do górnej granicy skali. Taka zależność może być monotoniczna, ale nieliniowa. Spearman może ją opisać lepiej niż Pearson, chociaż również wymaga oceny wykresu i sensowności modelu (Schober, Boer i Schwarte, 2018).

Spearman nie jest automatycznym „bezpiecznym zamiennikiem” Pearsona. Wartości odstające, powtarzane pomiary, zależność obserwacji lub mieszanie odrębnych grup nadal mogą prowadzić do błędnej interpretacji. Wybór współczynnika powinien wynikać z pytania badawczego i struktury danych, a nie wyłącznie z tego, czy test normalności dał wynik istotny statystycznie.

Co korelacja rzeczywiście oznacza?

Wynik korelacji informuje, w jakim stopniu dwie zmienne współzmieniają się w określonej próbie i w określonym zakresie wartości. Jeśli w badaniu 200 pacjentów stwierdzono r = 0,62 między nasileniem duszności a wynikiem skali ograniczenia aktywności, można powiedzieć, że w tej próbie wystąpiła umiarkowana do dość silnej dodatnia zależność liniowa. Pacjenci z większym nasileniem duszności mieli przeciętnie większe ograniczenia aktywności.

Taki wynik nie oznacza, że każdy pacjent z większą dusznością będzie miał dokładnie proporcjonalnie większe ograniczenia. Nie oznacza też, że jedna zmienna wyjaśnia całą zmienność drugiej. W przypadku korelacji Pearsona kwadrat współczynnika, r², bywa używany jako opis proporcji zmienności związanej z liniowym przewidywaniem. Przy r = 0,62 mamy r² ≈ 0,38, ale nie należy tłumaczyć tego bez dodatkowych założeń jako „38% przyczynowości”. To jedynie opis związku liniowego w analizowanych danych.

Czego korelacja nie oznacza?

Korelacja nie dowodzi przyczynowości

Najważniejsza zasada brzmi: korelacja nie jest dowodem związku przyczynowego. Jeśli dwie zmienne współwystępują, możliwe są co najmniej trzy wyjaśnienia: pierwsza wpływa na drugą, druga wpływa na pierwszą albo obie są związane z trzecią zmienną. W badaniu obserwacyjnym nie można na podstawie samego r ustalić kierunku oddziaływania.

Załóżmy, że w grupie studentów stwierdzono dodatnią korelację między liczbą godzin spędzanych przy komputerze a nasileniem bólu szyi. Nie wynika z tego automatycznie, że komputer powoduje ból. Możliwym czynnikiem zakłócającym jest liczba godzin nauki w pozycji siedzącej, brak przerw, nieprawidłowa ergonomia albo stres. Dopiero odpowiednio zaprojektowane badanie i analiza uwzględniająca istotne czynniki mogłyby przybliżyć nas do wnioskowania przyczynowego. W interpretacji badań obserwacyjnych należy jasno oddzielać „wiąże się z” od „powoduje” (Hung, Bounsanga i Voss, 2017; Davey Smith i Phillips, 2020).

Korelacja nie oznacza zgodności pomiarów

Dwa urządzenia mogą bardzo silnie korelować, a mimo to systematycznie różnić się wynikami. Jeżeli drugi aparat zawsze pokazuje wynik dwukrotnie większy niż pierwszy, zależność może być idealnie liniowa, czyli r = 1, ale pomiary nie są zgodne. Korelacja opisuje współzmienność, natomiast zgodność wymaga innych metod, na przykład analizy Blanda-Altmana, oceny obciążenia pomiaru i granic zgodności (Bland i Altman, 1986; Janse i in., 2021).

Korelacja nie oznacza dobrej predykcji indywidualnej

Wysoka korelacja może współistnieć z dużym rozrzutem pojedynczych obserwacji. Z punktu widzenia klinicysty ważne bywa nie tylko to, czy pacjenci z większym wynikiem jednego testu mają przeciętnie większy wynik drugiego, lecz także jak dokładnie można przewidzieć wynik konkretnego pacjenta. Do tego potrzebne są między innymi analiza regresji, przedziały predykcji i ocena błędu pomiaru.

Korelacja nie oznacza znaczenia praktycznego

W dużej próbie nawet bardzo mała korelacja może uzyskać niską wartość p. Z kolei w małej próbie umiarkowana korelacja może nie osiągnąć konwencjonalnego poziomu istotności statystycznej. Wartość p nie jest prawdopodobieństwem prawdziwości hipotezy zerowej i nie mówi, czy związek jest ważny dla pacjenta. Należy raportować co najmniej współczynnik, przedział ufności, liczebność próby, wykres lub opis diagnostyki oraz znaczenie praktyczne wyniku (Hung, Bounsanga i Voss, 2017).

Przykład 1: aktywność fizyczna i ciśnienie tętnicze

W badaniu przekrojowym 300 dorosłych osób oceniono tygodniową liczbę minut umiarkowanej aktywności fizycznej oraz skurczowe ciśnienie tętnicze. Zaobserwowano r = −0,28, 95% CI [−0,39; −0,17], p < 0,001. Najostrożniejsza interpretacja brzmi: w badanej próbie większej liczbie minut aktywności towarzyszyły przeciętnie niższe wartości skurczowego ciśnienia, a zależność liniowa była słaba do umiarkowanej.

Nie wolno jednak napisać bez dodatkowych podstaw, że zwiększenie aktywności obniżyło ciśnienie u tych osób. Na ciśnienie wpływają między innymi wiek, masa ciała, leczenie, palenie tytoniu, dieta i choroby przewlekłe. Jeśli osoby bardziej aktywne były również młodsze i rzadziej chorowały, wiek lub stan zdrowia mogły częściowo wyjaśniać obserwowaną zależność. Właściwym kolejnym krokiem może być analiza wieloczynnikowa albo badanie interwencyjne, zależnie od pytania badawczego.

Przykład 2: stres pielęgniarek i jakość snu

Załóżmy, że w badaniu pielęgniarek zastosowano skalę stresu zawodowego oraz kwestionariusz jakości snu. Wynik Spearmana wyniósł r_s = −0,51. Oznacza to, że wyższym rangom stresu towarzyszyły na ogół niższe rangi jakości snu. Nie oznacza to, że stres jest jedyną przyczyną gorszego snu. Możliwy jest wpływ pracy zmianowej, liczby dyżurów nocnych, opieki nad dziećmi, objawów depresyjnych lub stanu zdrowia.

Warto też sprawdzić, czy zależność jest podobna wśród osób pracujących wyłącznie na zmianie dziennej i zmianowej. Połączenie obu grup może ukryć różne wzorce. Trzeba również pamiętać, że kwestionariusze mogą mierzyć częściowo nakładające się aspekty samopoczucia, a korelacja samoopisów może wynikać z podobnego sposobu odpowiadania na pytania.

Najczęstsze błędy

• Używanie języka przyczynowego w badaniu obserwacyjnym. Zamiast „otyłość powoduje depresję” należy napisać, że w danej próbie otyłość była związana z objawami depresyjnymi, jeśli taki był wynik i schemat badania na to pozwalał.
• Obliczanie korelacji bez wykresu rozrzutu. Ta sama wartość r może powstać przy różnych układach punktów, w tym przy zależności nieliniowej lub wpływie pojedynczej obserwacji.
• Ignorowanie wartości odstających. Jeden nietypowy przypadek może silnie zmienić korelację Pearsona. Nie wolno usuwać go wyłącznie dlatego, że pogarsza wynik; należy ustalić, czy jest błędem, czy prawdziwą obserwacją.
• Mylenie korelacji z regresją. Korelacja jest symetryczna: zamiana zmiennych nie zmienia r. W regresji określamy zmienną objaśnianą i predyktory, a interpretacja parametrów jest inna.
• Wnioskowanie o zgodności na podstawie wysokiego r. Do porównywania dwóch metod pomiaru potrzebne są analizy zgodności, a nie sama korelacja.
• Łączenie powtarzanych pomiarów tak, jakby były niezależne. Wielokrotne obserwacje tej samej osoby wymagają metod uwzględniających zależność, na przykład modeli mieszanych lub odpowiednich metod dla danych podłużnych.
• Przyjmowanie sztywnych progów siły korelacji. Korelacja 0,30 może być istotna w jednym kontekście, a niewystarczająca w innym. Znaczenie należy oceniać względem celu badania i konsekwencji decyzji.
• Raportowanie wyłącznie wartości p. Należy podać współczynnik, kierunek, przedział ufności, liczebność i sposób sprawdzenia założeń.

Jak przeprowadzić rozsądną analizę korelacji?

1. Najpierw określ pytanie badawcze i typ obu zmiennych.
2. Sprawdź, czy obserwacje są niezależne oraz czy nie analizujesz nieprawidłowo pomiarów powtarzanych.
3. Obejrzyj wykres rozrzutu i opisz kształt zależności.
4. Sprawdź wartości odstające, zakres danych i możliwe podgrupy.
5. Wybierz Pearsona dla sensownej zależności liniowej albo Spearmana dla zależności monotonicznej, danych porządkowych lub sytuacji, w których rangi lepiej reprezentują pomiar.
6. Raportuj współczynnik, przedział ufności, liczebność próby i wartość p, ale interpretuj wynik razem z wielkością efektu i znaczeniem praktycznym.
7. Jeżeli pytanie dotyczy przyczyn, predykcji lub wpływu zmiennych zakłócających, rozważ odpowiedni model regresji i projekt badania. Sam współczynnik korelacji zwykle nie wystarcza.

W przypadku badań obserwacyjnych przejrzyste raportowanie powinno obejmować także opis uczestników, sposobu pomiaru, braków danych, zmiennych zakłócających i ograniczeń. W tym celu można korzystać z wytycznych STROBE, które wspierają kompletność opisu badań obserwacyjnych, ale nie zastępują oceny ich jakości ani nie zmieniają projektu badania (von Elm i in., 2007).

Co warto zapamiętać?

• Korelacja opisuje współzmienność dwóch zmiennych, a nie automatycznie przyczynowość.
• Znak współczynnika wskazuje kierunek, a jego wartość bezwzględna – siłę związku w określonym sensie.
• Pearson opisuje przede wszystkim zależność liniową, a Spearman – zależność monotoniczną opartą na rangach.
• Korelacja bliska zeru nie wyklucza zależności nieliniowej.
• Wysoka korelacja nie oznacza zgodności pomiarów ani dobrej predykcji dla każdej osoby.
• Wartość p nie jest miarą ważności klinicznej i nie jest prawdopodobieństwem prawdziwości hipotezy zerowej.
• Przed obliczeniem współczynnika należy obejrzeć dane, wykres rozrzutu i wartości odstające.
• Dobry raport korelacji zawiera współczynnik, przedział ufności, liczebność, sposób analizy i ostrożny język interpretacji.

Najbardziej użyteczne pytanie nie brzmi więc: „Czy korelacja jest istotna?”, lecz: „Jaki wzorzec zależności opisuje ten współczynnik, w jakiej populacji go uzyskano, jakie alternatywne wyjaśnienia są możliwe i czy wynik ma znaczenie dla praktyki?”. Takie podejście pozwala korzystać z korelacji jako wartościowego narzędzia opisu, bez przypisywania jej wniosków, których sama analiza nie może uzasadnić.

Źródła i dalsza lektura

1. Schober, P.; Boer, C.; Schwarte, L. A. (2018). Correlation Coefficients: Appropriate Use and Interpretation. Anesthesia & Analgesia, 126(5), 1763–1768. DOI: 10.1213/ANE.0000000000002864.
2. Hung, M.; Bounsanga, J.; Voss, M. W. (2017). Interpretation of correlations in clinical research. Postgraduate Medicine, 129(8), 902–906. DOI: 10.1080/00325481.2017.1383820.
3. Janse, R. J.; Hoekstra, T.; Jager, K. J.; Zoccali, C.; Tripepi, G.; Dekker, F. W.; van Diepen, M. (2021). Conducting correlation analysis: important limitations and pitfalls. Clinical Kidney Journal, 14(11), 2332–2337. DOI: 10.1093/ckj/sfab085.
4. Davey Smith, G.; Phillips, A. N. (2020). Correlation without a cause: an epidemiological odyssey. International Journal of Epidemiology, 49(1), 4–14. DOI: 10.1093/ije/dyaa016.
5. Bland, J. M.; Altman, D. G. (1986). Statistical methods for assessing agreement between two methods of clinical measurement. The Lancet, 1(8476), 307–310. DOI: 10.1016/S0140-6736(86)90837-8.
6. von Elm, E.; Altman, D. G.; Egger, M.; Pocock, S. J.; Gøtzsche, P. C.; Vandenbroucke, J. P.; for the STROBE Initiative (2007). The Strengthening the Reporting of Observational Studies in Epidemiology (STROBE) statement: guidelines for reporting observational studies. PLoS Medicine, 4(10), e296. DOI: 10.1371/journal.pmed.0040296.

Jeżeli potrzebujesz indywidualnego wsparcia w doborze metod, przygotowaniu bazy lub opracowaniu wyników badań, sprawdź analiza statystyczna.