455. Korelacja „semipartial” – różnica względem korelacji cząstkowej

PrzezMarcin Skrok

W poprzedniej lekcji omówiliśmy korelację cząstkową, czyli związek dwóch zmiennych po usunięciu wpływu jednej lub kilku zmiennych kontrolnych z obu analizowanych zmiennych. W tej lekcji wykonamy krok dalej. Korelacja semipartialna, nazywana także korelacją częściową lub korelacją typu part, usuwa wpływ zmiennych kontrolnych tylko z jednej z dwóch zmiennych. Ta pozornie niewielka różnica zmienia interpretację wyniku i ma szczególne znaczenie w analizie regresji wielorakiej.

Temat jest ważny, ponieważ korelacja semipartialna odpowiada na pytanie o unikatowy wkład predyktora w wyjaśnianie zmienności wyniku. W podręczniku do szkolenia na statystyk.edu.pl  traktujemy ją jako pomost między klasyczną analizą korelacji a interpretacją modeli regresyjnych.

1. Dwa podobne pojęcia, dwa różne pytania

Załóżmy, że analizujemy trzy zmienne:

  • Y – wynik, który chcemy wyjaśnić;
  • X – główny predyktor lub zmienna objaśniająca;
  • Z – zmienna kontrolna, której wpływ chcemy uwzględnić.

Zwykła korelacja r między X i Y opisuje ich związek bez kontroli dodatkowych zmiennych. Nie rozstrzyga jednak, jaka część tego związku wiąże się z wyjątkową zmiennością X, niezależną od Z.

Możemy zadać dwa różne pytania:

  1. Korelacja cząstkowa: jaki jest związek między X i Y, gdy usuniemy wpływ Z zarówno z X, jak i z Y?
  2. Korelacja semipartialna: jaki jest związek między Y a tą częścią X, która pozostaje po usunięciu z X wpływu Z?

W korelacji semipartialnej zmienna Y pozostaje w swojej pełnej postaci. Kontrolujemy zmienną Z tylko po stronie predyktora X. Dlatego korelacja semipartialna jest naturalnie związana z pytaniem o to, ile nowej informacji wnosi predyktor do modelu.

2. Intuicyjne wyjaśnienie na resztach regresji

Najłatwiej zrozumieć tę miarę przez pojęcie reszt. Reszta regresji to część zmienności, której nie wyjaśnia określony model.

2.1. Jak uzyskać korelację cząstkową?

Najpierw przewidujemy X na podstawie Z i zapisujemy reszty:

Xres = X − X̂(Z)

Następnie przewidujemy Y na podstawie Z i także zachowujemy reszty:

Yres = Y − Ŷ(Z)

Korelacja między Xres i Yres jest korelacją cząstkową:

rXY·Z = cor(Xres, Yres)

Oznacza to, że z obu zmiennych usunięto liniową część związaną ze zmienną Z.

2.2. Jak uzyskać korelację semipartialną?

W przypadku korelacji semipartialnej przewidujemy tylko X na podstawie Z:

Xres = X − X̂(Z)

Potem korelujemy tę oczyszczoną część X z całkowitym, nieoczyszczonym Y:

rY(X·Z) = cor(Y, Xres)

Symbol rY(X·Z) oznacza korelację wyniku Y z X po usunięciu wpływu Z z X. W literaturze spotyka się również zapis sr, rsp albo rpart (Cohen, Cohen, West, & Aiken, 2003; Aloe & Thompson, 2013).

3. Wzór na korelację semipartialną

Dla jednej zmiennej kontrolnej klasyczny wzór można zapisać następująco:

rY(X·Z) = (rYX − rYZrXZ) / √(1 − r2XZ)

W tym wzorze:

  • rY(X·Z) – korelacja semipartialna między Y a X po usunięciu wpływu Z z X;
  • rYX – zwykła korelacja między Y i X;
  • rYZ – korelacja między Y i Z;
  • rXZ – korelacja między X i Z;
  • √(1 − r2XZ) – odchylenie standardowe tej części X, której nie wyjaśnia Z, wyrażone w jednostkach standaryzowanych.

W praktyce przy kilku zmiennych kontrolnych zwykle nie korzysta się ręcznie z prostego wzoru, lecz oblicza wynik na podstawie dwóch modeli regresji albo korzysta z macierzy korelacji i odpowiedniego oprogramowania.

4. Najważniejsza różnica: mianownik i interpretacja

Korelacja cząstkowa i semipartialna mają wspólny licznik w sensie koncepcyjnym: obie próbują odizolować związek niezależny od zmiennej kontrolnej. Różnią się jednak mianownikiem, czyli zakresem zmienności, względem którego oceniany jest związek.

Korelacja cząstkowa porównuje oczyszczoną część X z oczyszczoną częścią Y. W efekcie opisuje siłę związku wśród zmienności, która pozostała w obu zmiennych po kontroli Z.

Korelacja semipartialna porównuje oczyszczoną część X z pełnym Y. Jej kwadrat ma szczególne znaczenie:

sr2 = r2Y(X·Z)

W modelu regresji liniowej sr2 oznacza przyrost wyjaśnionej wariancji wyniku po dodaniu predyktora X do modelu zawierającego Z. Można to zapisać jako:

sr2 = R2pełny − R2zredukowany

To właśnie dlatego korelacja semipartialna jest użyteczna przy ocenie unikatowego wkładu predyktora. Warto jednak pamiętać, że sr2 jest miarą wielkości efektu, a nie samą wartością p. Istotność statystyczna, precyzja oszacowania i znaczenie praktyczne to odrębne kwestie.

5. Przykład z medycyny: aktywność fizyczna a ciśnienie skurczowe

Załóżmy, że w badaniu przekrojowym uczestniczy 180 dorosłych osób. Badacz analizuje związek między:

  • Y: skurczowym ciśnieniem tętniczym;
  • X: tygodniową liczbą minut aktywności fizycznej;
  • Z: wiekiem.

Zwykła korelacja wynosi r = −0,36. Oznacza to, że większa aktywność wiąże się w próbie z niższym ciśnieniem, ale wynik może częściowo wynikać z wieku: osoby młodsze mogą być aktywniejsze i jednocześnie mieć niższe ciśnienie.

Badacz buduje model, w którym przewiduje aktywność fizyczną na podstawie wieku. Następnie koreluje pozostałą, niezależną od wieku część aktywności z pełnym pomiarem ciśnienia. Otrzymuje:

rsp = −0,22

Kwadrat tej wartości wynosi około 0,048. Można więc powiedzieć, że wyjątkowa część aktywności fizycznej, niezwiązana liniowo z wiekiem, odpowiada za około 4,8% wariancji ciśnienia w sensie przyrostu R2 po dodaniu aktywności do modelu zawierającego wiek.

Nie należy jednak pisać, że aktywność fizyczna „obniża ciśnienie”, jeśli badanie ma charakter przekrojowy. Poprawniejsze sformułowanie brzmi: większa część aktywności fizycznej niezależna od wieku była związana z niższym ciśnieniem skurczowym. Taki opis nie wykracza poza możliwości schematu badania.

6. Przykład z psychologii: stres, sen i objawy depresyjne

W badaniu studentów psychologii analizuje się związek między:

  • Y: nasileniem objawów depresyjnych;
  • X: poziomem stresu akademickiego;
  • Z: jakością snu.

Stres i jakość snu są ze sobą powiązane. Osoby silniej zestresowane mogą spać gorzej, a gorszy sen może także wiązać się z większym nasileniem objawów depresyjnych. Jeżeli badacz chce odpowiedzieć na pytanie, jaki jest unikatowy związek stresu z objawami depresyjnymi po odjęciu części stresu przewidywanej przez jakość snu, oblicza korelację semipartialną.

Przykładowo:

  • zwykła korelacja stresu z objawami depresyjnymi: r = 0,58;
  • korelacja semipartialna po kontrolowaniu jakości snu: sr = 0,39;
  • unikatowy przyrost wyjaśnionej wariancji: sr2 = 0,1521, czyli około 15,2%.

Interpretacja brzmi: po uwzględnieniu jakości snu część stresu akademickiego niezwiązana liniowo z jakością snu pozostaje związana z objawami depresyjnymi i wnosi około 15,2% przyrostu wyjaśnionej wariancji w modelu. Nie jest to dowód, że stres powoduje depresję. Wymagałoby to mocniejszego uzasadnienia teoretycznego i odpowiedniego schematu badania.

7. Przykład praktyczny: dwa modele regresji

Rozważmy model przewidujący czas hospitalizacji pacjentów po zabiegu. Zmienną wyniku jest liczba dni hospitalizacji, a kandydackimi predyktorami są:

  • wiek pacjenta – Z;
  • przedoperacyjny poziom sprawności – X;
  • czas trwania zabiegu – W.

Model zredukowany zawiera wiek i czas zabiegu:

R2zredukowany = 0,28

Po dodaniu sprawności przedoperacyjnej model pełny osiąga:

R2pełny = 0,34

Przyrost wynosi:

ΔR2 = 0,34 − 0,28 = 0,06

Oznacza to, że sprawność przedoperacyjna wnosi dodatkowe 6 punktów procentowych wyjaśnionej wariancji czasu hospitalizacji ponad to, co wyjaśniają wiek i czas zabiegu. Odpowiada temu kwadrat korelacji semipartialnej:

sr2 = 0,06

Zatem:

sr = √0,06 ≈ 0,245

W raporcie należy podać, czy jest to wartość dodatnia, czy ujemna, ponieważ znak wskazuje kierunek związku. Jeśli większa sprawność wiąże się z krótszą hospitalizacją, sr wynosiłoby około −0,245.

8. Korelacja semipartialna a współczynnik beta

W analizie regresji często raportuje się standaryzowany współczynnik regresji β, korelację cząstkową oraz korelację semipartialną. Nie są to synonimy.

  • β opisuje zmianę wyniku w odchyleniach standardowych przy zmianie predyktora o jedno odchylenie standardowe, przy stałych pozostałych predyktorach.
  • Korelacja cząstkowa opisuje siłę związku między oczyszczonym X i oczyszczonym Y.
  • Korelacja semipartialna opisuje związek pełnego Y z wyjątkową częścią X i jest bezpośrednio związana z przyrostem R2.

Predyktor może mieć stosunkowo duży standaryzowany współczynnik β, ale mały wkład semipartialny, jeśli jest silnie skorelowany z innymi predyktorami. Zjawisko to jest jednym z przejawów współliniowości.

9. Założenia i ograniczenia

Korelacja semipartialna nie jest „automatycznie lepszą” wersją korelacji zwykłej. Jej użyteczność zależy od uzasadnienia modelu i jakości danych.

  • Związek powinien być analizowany przede wszystkim jako liniowy, chyba że zastosowano odpowiednie rozszerzenie modelu.
  • Warto sprawdzić wykres rozrzutu, obserwacje odstające, rozkład reszt i ewentualną heteroscedastyczność.
  • Silna współliniowość może sprawić, że unikatowy wkład predyktora będzie trudny do oszacowania.
  • Kontrolowanie zmiennej nie usuwa automatycznie błędu zakłócającego ani nie gwarantuje interpretacji przyczynowej.
  • Wynik zależy od tego, które zmienne włączono do modelu. Dodanie lub usunięcie predyktora może zmienić korelację semipartialną.

W raportowaniu warto przedstawić liczebność próby, sposób kodowania zmiennych, kryteria włączenia predyktorów, diagnostykę założeń, wartości r, sr lub sr2, przedziały ufności oraz dokładne wartości p, zgodnie z zasadami przejrzystego raportowania analiz ilościowych (American Psychological Association, 2020).

Najczęstsze błędy

  1. Traktowanie korelacji semipartialnej i cząstkowej jako tego samego. W pierwszej kontrolujemy zmienną tylko po stronie jednego predyktora, w drugiej – po obu stronach.
  2. Kontrolowanie zmiennej bez uzasadnienia. Zmienna kontrolna powinna wynikać z pytania badawczego, teorii lub planu analizy, a nie tylko z tego, że jest dostępna w bazie.
  3. Interpretowanie sr jako odsetka wyjaśnionej wariancji. To dopiero sr2 można wiązać z przyrostem R2.
  4. Uzależnianie wniosku wyłącznie od wartości p. Mały efekt może być istotny w dużej próbie, a większy efekt może być nieprecyzyjny w małej próbie.
  5. Wyciąganie wniosków przyczynowych z badania obserwacyjnego. Korelacja semipartialna pozostaje miarą związku, a nie dowodem przyczynowości.
  6. Pomijanie znaku współczynnika. Kwadrat korelacji usuwa znak, dlatego przy interpretacji trzeba osobno podać kierunek relacji.
  7. Automatyczne utożsamianie β z unikatowym wkładem. β i sr odpowiadają na różne pytania i powinny być interpretowane osobno.

Co warto zapamiętać?

  • Korelacja semipartialna usuwa wpływ zmiennej kontrolnej tylko z jednej zmiennej, zwykle z predyktora.
  • Korelacja cząstkowa usuwa wpływ zmiennej kontrolnej z obu analizowanych zmiennych.
  • Najważniejsze pytanie dla korelacji semipartialnej brzmi: ile unikatowej informacji wnosi ten predyktor ponad pozostałe zmienne?
  • Kwadrat korelacji semipartialnej, sr2, odpowiada przyrostowi R2 po dodaniu predyktora do modelu.
  • Wynik należy interpretować razem z przedziałem ufności, wartością p, diagnostyką modelu i znaczeniem praktycznym.
  • Kontrola statystyczna nie zastępuje poprawnego projektu badania i nie tworzy automatycznie podstaw do wnioskowania przyczynowego.

Jeśli chcesz sprawdzić, jak korelacja semipartialna wygląda w tabeli wyników regresji, kolejnym krokiem jest przećwiczenie porównania modelu zredukowanego i pełnego oraz odczytanie wartości Part i Partial w programie statystycznym.

Źródła i dalsza lektura

  1. Aloe, Ariel M.; Thompson, Christopher G. (2013). The Synthesis of Partial Effect Sizes. Journal of the Society for Social Work and Research, 4(4), 390–405. DOI: 10.5243/jsswr.2013.24.
  2. Morris, S. B.; et al. (2016). Partial and Semi-Partial Correlations for Categorical Variables in Educational Research: Addressing Two Common Misconceptions. General Linear Model Journal, 43(1). DOI: 10.31523/glmj.043001.001.
  3. Cohen, Jacob; Cohen, Patricia; West, Stephen G.; Aiken, Leona S. (2003). Applied Multiple Regression/Correlation Analysis for the Behavioral Sciences. 3rd edition. Lawrence Erlbaum Associates. Informacja wydawcy / źródło.
  4. Kirkwood, Betty R.; Sterne, Jonathan A. C. (2003). Essential Medical Statistics. 2nd edition. Blackwell Science. Informacja wydawcy / źródło.
  5. Field, Andy (2018). Discovering Statistics Using IBM SPSS Statistics. 5th edition. SAGE Publications. Informacja wydawcy / źródło.
  6. American Psychological Association (2020). Journal Article Reporting Standards for Quantitative Research in Psychology: The APA Publications and Communications Board Task Force Report. American Psychological Association. Źródło.

Jeżeli potrzebujesz indywidualnego wsparcia w doborze metod, przygotowaniu bazy lub opracowaniu wyników badań, sprawdź analiza statystyczna.

Podobne wpisy

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *