265. Minimum, maksimum i rozstęp – proste miary zmienności

W poprzednich lekcjach modułu 14 omawialiśmy miary tendencji centralnej: średnią, medianę i dominantę. Sama informacja o wartości typowej nie wystarcza jednak do rzetelnego opisu danych. Dwie grupy mogą mieć podobną średnią, a jednocześnie bardzo różnić się stopniem zróżnicowania obserwacji. Najprostszym sposobem pokazania tego zróżnicowania jest wskazanie najmniejszej i największej wartości oraz obliczenie rozstępu.

Minimum, maksimum i rozstęp nie zastępują bardziej rozbudowanych miar, takich jak odchylenie standardowe czy rozstęp międzykwartylowy. Są jednak szybkie, łatwe do obliczenia i przydatne jako pierwszy opis danych oraz element kontroli jakości bazy. W szkoleniu na statystyk.edu.pl warto traktować je jako podstawowe narzędzia orientacji w zbiorze, a nie jako pełny opis jego rozkładu.

Minimum i maksimum – wartości skrajne w zbiorze

Załóżmy, że analizujemy zbiór obserwacji liczbowych:

8, 10, 11, 11, 14, 17, 21

Minimum to najmniejsza zaobserwowana wartość, czyli tutaj 8. Maksimum to największa zaobserwowana wartość, czyli 21. Wartości te nazywa się także obserwacjami skrajnymi albo ekstremalnymi, choć w praktyce słowo „ekstremalna” powinno być używane ostrożnie. Sama obecność wartości najmniejszej lub największej nie oznacza jeszcze, że jest ona błędna, odstająca albo nietypowa.

Jeśli dane uporządkujemy niemalejąco:

x(1) ≤ x(2) ≤ ... ≤ x(n)

to minimum oznaczamy jako x(1), a maksimum jako x(n). Nawiasy przy indeksach oznaczają uporządkowane obserwacje, a nie kolejność pomiaru w bazie. Jest to ważne, ponieważ minimum i maksimum zależą od wartości, lecz nie od tego, w jakiej kolejności wpisano dane.

Co informuje minimum?

Minimum odpowiada na pytanie: jak niska była najmniejsza zaobserwowana wartość? W badaniu medycznym może to być na przykład najniższe stężenie hemoglobiny, najkrótszy czas oczekiwania na pomoc albo najmniejsza liczba godzin snu w analizowanej grupie.

Interpretacja minimum musi uwzględniać jednostkę, zakres możliwych wartości oraz sposób pomiaru. Minimum wynoszące 0 minut czasu oczekiwania może oznaczać rzeczywiście natychmiastową pomoc, ale może też wynikać z zaokrąglania, błędu rejestracji lub przyjęcia innej definicji początku oczekiwania.

Co informuje maksimum?

Maksimum odpowiada na pytanie: jak wysoka była największa zaobserwowana wartość? W badaniu psychologicznym może oznaczać najwyższy wynik skali objawów depresyjnych, w epidemiologii – największą liczbę dni z objawami, a w ratownictwie – najdłuższy czas dotarcia zespołu na miejsce zdarzenia.

Maksimum bywa szczególnie użyteczne w monitorowaniu bezpieczeństwa. Jeśli w grupie pacjentów analizuje się długość hospitalizacji, bardzo wysoka wartość może wskazywać przypadek wymagający osobnego wyjaśnienia. Nie wolno jednak automatycznie uznawać jej za błąd. Może być prawdziwym wynikiem związanym z ciężkością stanu zdrowia lub powikłaniem.

Rozstęp – różnica między maksimum a minimum

Rozstęp jest miarą całkowitego zakresu obserwowanych wartości. Oblicza się go jako różnicę między maksimum a minimum.

R = xmax − xmin

• R – rozstęp;
• xmax – maksimum w zbiorze;
• xmin – minimum w zbiorze.

Dla danych 8, 10, 11, 11, 14, 17, 21 rozstęp wynosi:

R = 21 − 8 = 13

Oznacza to, że między najmniejszą a największą obserwacją występuje różnica 13 jednostek. Rozstęp ma tę samą jednostkę co analizowana zmienna. Jeżeli czas podano w minutach, rozstęp również wyrażamy w minutach; jeżeli stężenie glukozy podano w mg/dl, rozstęp ma jednostkę mg/dl.

Rozstęp można także zapisać w postaci przedziału wartości obserwowanych: 8–21. Taki zapis pokazuje dwa różne, choć powiązane elementy informacji:

• przedział 8–21 wskazuje minimum i maksimum;
• rozstęp 13 wskazuje różnicę między nimi.

W publikacji naukowej warto jasno określić, czy zapis „8–21” oznacza zakres od minimum do maksimum, czy na przykład przedział ufności. W statystyce i medycynie podobne zapisy mogą być interpretowane różnie, dlatego jednostka i nazwa miary powinny być podane w tabeli lub tekście.

Przykład 1: czas oczekiwania na pomoc ratunkową

W małym badaniu jakościowym zarejestrowano czas od przyjęcia zgłoszenia do przybycia zespołu ratownictwa medycznego dla ośmiu interwencji:

7, 9, 11, 12, 13, 15, 18, 42 minut

Minimum wynosi 7 minut, maksimum 42 minuty, a rozstęp:

R = 42 − 7 = 35 minut

Wstępny wniosek brzmi: czasy dotarcia różniły się w badanym zbiorze o 35 minut. Nie oznacza to, że większość interwencji trwała 35 minut ani że typowy czas wynosił 35 minut. Rozstęp opisuje jedynie odległość między dwiema wartościami skrajnymi.

W tym przykładzie maksimum 42 minuty jest znacznie większe od pozostałych obserwacji. Należy sprawdzić, czy interwencja była prawidłowo zdefiniowana, czy nie wystąpiła awaria systemu, czy czas nie obejmuje dodatkowego etapu oraz czy jednostka nie została omyłkowo wpisana. Jeżeli po kontroli okaże się, że 42 minuty są prawdziwym wynikiem, nie należy ich usuwać tylko dlatego, że zwiększają rozstęp.

Wniosek praktyczny powinien odróżniać opis od interpretacji. Poprawne zdanie może brzmieć: „Czas dotarcia wynosił 7–42 minuty, a rozstęp obserwacji wyniósł 35 minut; jedna interwencja miała wyraźnie dłuższy czas niż pozostałe”. Nie należy natomiast pisać, że rozstęp dowodzi nierównego dostępu do pomocy, jeśli badanie nie obejmowało odpowiedniego schematu porównawczego i kontroli czynników zakłócających.

Przykład 2: ciśnienie skurczowe pacjentów

Załóżmy, że w gabinecie zmierzono ciśnienie skurczowe u sześciu osób:

118, 121, 124, 127, 130, 168 mm Hg

Minimum wynosi 118 mm Hg, maksimum 168 mm Hg, a rozstęp:

R = 168 − 118 = 50 mm Hg

Rozstęp 50 mm Hg może sprawiać wrażenie dużego, ale nie mówi, jak rozmieszczone są pozostałe obserwacje. Pięć wyników leży w stosunkowo wąskim zakresie 118–130 mm Hg, natomiast jeden wynik wynosi 168 mm Hg. Ten przypadek pokazuje, że rozstęp jest bardzo wrażliwy na pojedynczą wartość skrajną.

Przed interpretacją należy sprawdzić warunki pomiaru: pozycję pacjenta, odpoczynek przed pomiarem, rozmiar mankietu, poprawność zapisu i ewentualną potrzebę wykonania pomiaru powtórnego. Jeżeli wynik 168 mm Hg zostanie potwierdzony, jest on częścią rzeczywistej zmienności klinicznej. Jeżeli okaże się błędem technicznym, korekta bazy zmieni także maksimum i rozstęp.

Najważniejsze zalety rozstępu

Łatwość obliczenia i komunikacji

Rozstęp wymaga tylko dwóch informacji: minimum i maksimum. Dzięki temu można go szybko obliczyć ręcznie, w arkuszu kalkulacyjnym lub w programie statystycznym. Jest także łatwy do wyjaśnienia osobom bez przygotowania matematycznego.

Kontrola zakresu danych

Minimum i maksimum pomagają wykryć wartości niemożliwe lub podejrzane. Jeżeli skala kwestionariusza ma zakres od 0 do 40 punktów, a w bazie pojawia się 47, jest to sygnał do sprawdzenia kodowania. Nie musi to jednak oznaczać, że każda wartość bliska granicy jest błędna.

Uzupełnienie miar centrum

Podanie średniej lub mediany razem z zakresem pozwala czytelnikowi ocenić nie tylko wartość typową, ale również granice obserwowanego zbioru. W prostym raporcie można napisać: „Mediana czasu hospitalizacji wynosiła 6 dni (zakres: 2–19 dni)”. Taki zapis jest informacyjnie bogatszy niż sama mediana.

Ograniczenia minimum, maksimum i rozstępu

Najważniejsze ograniczenie polega na tym, że rozstęp wykorzystuje tylko dwie obserwacje. Nie uwzględnia wartości pośrednich. Dwa zbiory mogą mieć identyczne minimum, maksimum i rozstęp, a mimo to zupełnie inny rozkład wewnętrzny.

Rozważmy dwa zbiory:

A: 10, 10, 10, 10, 30

B: 10, 15, 20, 25, 30

W obu przypadkach minimum wynosi 10, maksimum 30, a rozstęp 20. W zbiorze A większość obserwacji skupia się przy minimum, a jedna wartość znajduje się przy maksimum. W zbiorze B wartości są bardziej równomiernie rozłożone. Sam rozstęp nie pozwala ich odróżnić.

Drugim ograniczeniem jest silna wrażliwość na obserwacje odstające. Jedna nietypowa wartość może wielokrotnie zwiększyć rozstęp, nawet jeśli nie zmienia znacząco obrazu większości danych. Z tego powodu rozstęp często warto uzupełnić medianą i rozstępem międzykwartylowym, a w zależności od rozkładu także średnią i odchyleniem standardowym.

Trzecie ograniczenie dotyczy porównań między grupami. Rozstęp jest większy w dużej próbie częściowo dlatego, że przy większej liczbie obserwacji rośnie szansa zaobserwowania bardziej skrajnych wartości. Dlatego nie należy porównywać zmienności dwóch grup wyłącznie na podstawie rozstępu, jeśli grupy mają różne liczebności.

Rozstęp nie jest również przedziałem, w którym znajduje się cała populacja. Dotyczy wyłącznie analizowanych obserwacji. Jeżeli w próbie pacjentów wiek wynosił 22–78 lat, oznacza to, że takie wartości zaobserwowano w tej próbie. Nie można automatycznie wnioskować, że populacja docelowa ma dokładnie taki sam zakres wieku.

Rozstęp a rozstęp międzykwartylowy

Rozstęp obejmuje całe obserwowane dane, od minimum do maksimum. Rozstęp międzykwartylowy obejmuje natomiast środkowe 50% obserwacji i jest obliczany jako:

IQR = Q3 − Q1

• Q1 – pierwszy kwartyl, czyli wartość wyznaczająca dolną ćwiartkę danych;
• Q3 – trzeci kwartyl, czyli wartość wyznaczająca górną ćwiartkę danych;
• IQR – rozstęp międzykwartylowy.

Rozstęp międzykwartylowy jest zwykle mniej podatny na wpływ pojedynczych wartości skrajnych. Z tego względu przy rozkładach asymetrycznych lub obecności obserwacji odstających często korzystniej jest raportować medianę razem z IQR. Rozstęp całkowity nadal może być przydatny, ale powinien być traktowany jako informacja o granicach zaobserwowanych danych, a nie jako wystarczająca charakterystyka ich zróżnicowania.

Jak raportować minimum, maksimum i rozstęp?

W raporcie należy podać nazwę zmiennej, jednostkę, liczebność oraz sposób zapisu. Przykładowe formy są następujące:

• „Wiek uczestników wynosił 19–67 lat” – zapis minimum–maksimum;
• „Wiek: mediana 34 lata, zakres 19–67 lat” – centrum i granice obserwacji;
• „Czas oczekiwania wynosił od 7 do 42 minut; rozstęp = 35 minut” – jawne rozróżnienie zakresu i różnicy;
• „Wynik skali wynosił 12–38 punktów, IQR = 9” – zakres całkowity uzupełniony miarą odporniejszą na skrajności.

W tabelach trzeba unikać niejasnego nagłówka „zakres”, jeśli nie wiadomo, czy autor ma na myśli zapis minimum–maksimum, czy samą różnicę maksimum minus minimum. Dobre praktyki raportowania badań obserwacyjnych wymagają przejrzystego przedstawiania danych opisowych, zanim rozpocznie się interpretację zależności między zmiennymi (von Elm i in., 2007).

Analiza przypadku: liczba dni absencji chorobowej

W badaniu pracowników ochrony zdrowia analizowano liczbę dni absencji chorobowej w ciągu roku. Zaobserwowano wartości:

0, 0, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 28

Minimum wynosi 0 dni, maksimum 28 dni, a rozstęp 28 dni. Mediana wynosi 2 dni. Zestawienie tych informacji jest ważniejsze niż sama wartość maksymalna: większość pracowników miała niewielką liczbę dni absencji, lecz jedna osoba miała 28 dni.

Nie wolno na tej podstawie twierdzić, że pracownicy „średnio chorowali 28 dni” ani że osoba z najwyższą wartością reprezentuje całą grupę. Najpierw trzeba sprawdzić, czy 28 dni dotyczyło tego samego okresu obserwacji, czy nie połączono zwolnień z różnych lat i czy wartość nie obejmuje hospitalizacji lub urlopu opiekuńczego zakodowanego w tej samej zmiennej.

Jeżeli dane są poprawne, właściwy opis może brzmieć: „Liczba dni absencji wynosiła od 0 do 28 dni (rozstęp 28 dni), a mediana wynosiła 2 dni. Rozkład był silnie asymetryczny z pojedynczą wysoką obserwacją”. Do dalszej analizy można rozważyć medianę i IQR, prezentację wykresu punktowego albo analizę metod odpowiednich dla liczby zdarzeń.

Najczęstsze błędy

• Mylenie zakresu z rozstępem. Zakres 8–21 to zapis granic obserwacji, natomiast rozstęp wynosi 13.
• Pomijanie jednostki. Sam zapis „rozstęp = 35” jest niepełny, jeśli nie wiadomo, czy chodzi o minuty, punkty, kilogramy czy mm Hg.
• Traktowanie maksimum jako typowej wartości. Maksimum opisuje jedną obserwację, a nie przeciętnego uczestnika.
• Automatyczne usuwanie wartości skrajnej. Wartość należy zweryfikować, ale usuwać tylko na podstawie udokumentowanej przyczyny, np. błędu pomiaru lub wpisu.
• Wnioskowanie o przyczynie na podstawie rozstępu. Duże zróżnicowanie nie dowodzi nierówności, błędu organizacyjnego ani wpływu konkretnego czynnika.
• Porównywanie rozstępów bez uwzględnienia liczebności grup. Większa próba może zawierać bardziej skrajne obserwacje tylko dlatego, że obejmuje więcej osób.
• Uzależnianie oceny rozkładu od samego rozstępu. Do oceny kształtu rozkładu potrzebne są także dane pośrednie, wykres, kwartyle lub inne miary zmienności.
• Zapominanie o brakach danych. Minimum i maksimum powinny być obliczane na podstawie jasno określonej liczby ważnych obserwacji.

Co warto zapamiętać?

• Minimum to najmniejsza zaobserwowana wartość, a maksimum – największa.
• Rozstęp jest różnicą między maksimum a minimum: R = xmax − xmin.
• Rozstęp ma tę samą jednostkę co analizowana zmienna.
• Minimum i maksimum pomagają opisać granice danych oraz kontrolować ich poprawność.
• Rozstęp jest łatwy do obliczenia, ale wykorzystuje tylko dwie obserwacje i silnie reaguje na wartości skrajne.
• Identyczny rozstęp nie oznacza identycznego rozkładu danych.
• Przy asymetrii lub obserwacjach odstających warto uzupełnić rozstęp medianą i rozstępem międzykwartylowym.
• Opis statystyczny nie jest automatycznie wnioskiem przyczynowym ani oceną znaczenia praktycznego.

Minimum, maksimum i rozstęp są prostymi miarami, ale ich poprawne użycie wymaga dyscypliny interpretacyjnej. Najlepiej traktować je jako pierwszy poziom opisu: pokazują granice obserwacji, pomagają wychwycić problemy w bazie i dostarczają czytelnego kontekstu dla mediany, średniej, IQR lub odchylenia standardowego. W kolejnych analizach nie należy pytać wyłącznie, jak szeroki jest zakres, lecz także, jak wartości są rozmieszczone pomiędzy jego granicami.

Źródła i dalsza lektura

1. K. G. C. Gaddis; M. L. Gaddis (1990). Introduction to biostatistics: Part 2, Descriptive statistics. Annals of Emergency Medicine, 19(3), 309–315. DOI: 10.1016/S0196-0644(05)82052-9.
2. Douglas G. Altman; J. Martin Bland (2005). Standard deviations and standard errors. BMJ, 331(7521), 903. DOI: 10.1136/bmj.331.7521.903.
3. S. E. M. H. McHugh (2017). Descriptive Statistics: Reporting the Answers to the 5 Basic Questions of Who, What, Why, When, Where, and a Sixth, So What?. Anesthesia & Analgesia, 125(5), 1797–1802. DOI: 10.1213/ANE.0000000000002471.
4. Douglas G. Altman; J. Martin Bland (1996). Statistics Notes: Detecting skewness from summary information. BMJ, 313(7066), 1200. DOI: 10.1136/bmj.313.7066.1200.
5. Betty R. Kirkwood; Jonathan A. C. Sterne (2010). Essential Medical Statistics. 2nd edition. John Wiley & Sons. Informacja wydawcy / źródło.
6. von Elm E.; Altman D. G.; Egger M.; Pocock S. J.; Gøtzsche P. C.; Vandenbroucke J. P. (2007). The Strengthening the Reporting of Observational Studies in Epidemiology (STROBE) Statement: guidelines for reporting observational studies. Epidemiology. STROBE Initiative. Źródło.