181. Po co obliczać wielkość próby przed badaniem?

Obliczenie wielkości próby przed rozpoczęciem badania odpowiada na bardzo praktyczne pytanie: ilu uczestników trzeba zaprosić, aby badanie mogło wiarygodnie odpowiedzieć na zaplanowane pytanie badawcze? Nie chodzi wyłącznie o uzyskanie istotności statystycznej. Dobrze zaplanowana próba powinna umożliwiać wykrycie efektu, który jest wystarczająco duży, aby miał znaczenie naukowe lub praktyczne, a jednocześnie nie powinna być większa, niż wymaga tego cel badania.

Wielkość próby jest więc elementem projektu badania, a nie dodatkiem do analizy wykonanym po zebraniu danych. W internetowym szkoleniu na statystyk.edu.pl warto traktować ją jako punkt łączący pytanie badawcze, hipotezę, projekt badania, plan analizy i organizację rekrutacji.

Wielkość próby a sens całego badania

Każde badanie wykorzystujące próbę zamiast całej populacji wiąże się z niepewnością. Wynik uzyskany u uczestników jest oszacowaniem tego, co mogłoby wystąpić w populacji, z której uczestników pobrano. Im większa próba, tym na ogół mniejszy jest błąd losowy oszacowania. Nie oznacza to jednak, że sama liczebność usuwa wszystkie problemy metodologiczne. Duża próba nie naprawi błędnego pomiaru, selekcji uczestników, systematycznego braku odpowiedzi ani niewłaściwego modelu statystycznego.

Obliczanie wielkości próby ma cztery główne cele:

• zwiększenie szansy wykrycia rzeczywistego efektu, jeżeli efekt istnieje;
• ograniczenie ryzyka badania niedostatecznie czułego, którego wynik nie rozstrzyga pytania;
• zaplanowanie zasobów, takich jak czas, personel, koszty i liczba ośrodków;
• ochrona uczestników przed udziałem w badaniu, które z dużym prawdopodobieństwem nie dostarczy użytecznej wiedzy.

W badaniu klinicznym zbyt mała próba może oznaczać narażenie pacjentów na procedury i obciążenia bez rozsądnej szansy na uzyskanie rozstrzygającego wyniku. Zbyt duża próba również może być problemem: zwiększa koszty, wydłuża rekrutację i może prowadzić do wykrywania bardzo małych, praktycznie nieistotnych różnic.

Podstawowe pojęcia: alfa, beta i moc

Poziom alfa i błąd pierwszego rodzaju

Poziom istotności, zwykle oznaczany przez α, określa dopuszczalne ryzyko błędu pierwszego rodzaju. W klasycznym ujęciu błąd ten polega na odrzuceniu prawdziwej hipotezy zerowej. Często wybiera się α = 0,05, ale nie jest to uniwersalna reguła. W badaniu z wieloma głównymi punktami końcowymi, w szczególnie wrażliwym obszarze klinicznym albo przy wielu porównaniach może być potrzebne inne podejście.

Warto podkreślić, że wartość p nie jest prawdopodobieństwem prawdziwości hipotezy zerowej. Poziom alfa jest założeniem dotyczącym procedury decyzyjnej przed analizą, a nie miarą wiarygodności konkretnej hipotezy po uzyskaniu danych.

Błąd drugiego rodzaju i moc

Błąd drugiego rodzaju, oznaczany przez β, oznacza niewykrycie efektu przy założeniu, że określony efekt rzeczywiście istnieje. Moc statystyczna jest równa:

moc = 1 − β

Jeżeli planujemy moc 80%, przyjmujemy, że dla określonego efektu, określonego poziomu zmienności i przyjętego poziomu alfa badanie powinno wykryć ten efekt w około 80% hipotetycznych powtórzeń. Nie oznacza to, że prawdopodobieństwo uzyskania „prawdziwego wyniku” wynosi 80%, ani że badanie ma 80% szans na potwierdzenie hipotezy.

Najczęściej spotyka się planowanie mocy 80% lub 90%, ale wybór powinien wynikać z konsekwencji błędu drugiego rodzaju, dostępnych zasobów i znaczenia badanego problemu. Wysoka moc nie jest automatycznie najlepsza, jeżeli osiąga się ją kosztem nieproporcjonalnych nakładów albo przez przyjęcie nierealistycznych założeń.

Od czego zależy wymagana liczebność?

Wielkość próby nie jest stałą przypisaną do rodzaju badania. Zależy od kilku elementów, które trzeba określić przed rekrutacją.

1. Główne pytanie badawcze i punkt końcowy. Inaczej planuje się badanie różnicy średnich, inaczej różnicy odsetków, korelacji, ilorazu szans, czasu do zdarzenia czy modelu wielopoziomowego.
2. Minimalna ważna różnica lub wielkość efektu. Trzeba wskazać, jaki efekt jest na tyle duży, aby uzasadniał zainteresowanie badaniem. Nie należy bezrefleksyjnie przyjmować efektu z wcześniejszej publikacji.
3. Zmienność wyniku lub częstość zdarzenia. Przy większym rozproszeniu wyników potrzeba większej próby. W badaniu z wynikiem binarnym znaczenie ma między innymi przewidywany odsetek zdarzeń.
4. Poziom alfa i planowana moc. Zaostrzenie kryterium alfa albo zwiększenie mocy zwykle zwiększa wymaganą próbę.
5. Projekt badania. Znaczenie mają między innymi liczba grup, proporcja alokacji, pomiary powtarzane, badanie klastrowe, stratyfikacja i planowane korekty.
6. Przewidywane braki danych, wycofania i nieprzestrzeganie protokołu. Liczebność analityczna nie zawsze jest równa liczbie osób, które trzeba zrekrutować.

W praktyce obliczenie powinno wynikać z pierwotnego punktu końcowego. Jeżeli badanie ma wiele wyników, należy jasno określić, który z nich jest podstawą głównego uzasadnienia liczebności. Próba zaprojektowana dla prostego wyniku drugorzędowego może być niewystarczająca do oceny głównej hipotezy.

Przykładowy wzór i jego interpretacja

Dla orientacyjnego planowania porównania dwóch niezależnych średnich przy podobnych liczebnościach grup można wykorzystać następującą zależność:

n na grupę ≈ 2 × (z1−α/2 + z1−β)2 × σ2 / Δ2

Oznaczenia są następujące:

• n – przybliżona liczba uczestników w jednej grupie;
• α – dwustronny poziom istotności;
• β – ryzyko błędu drugiego rodzaju;
• 1 − β – planowana moc;
• z1−α/2 – odpowiedni kwantyl standardowego rozkładu normalnego dla testu dwustronnego;
• z1−β – kwantyl odpowiadający planowanej mocy;
• σ – przewidywane odchylenie standardowe wyniku;
• Δ – najmniejsza różnica średnich, którą badanie ma wykrywać.

Wzór pokazuje ważną zależność: liczebność rośnie wraz z kwadratem zmienności i maleje wraz z kwadratem oczekiwanej różnicy. Jeżeli chcemy wykryć efekt o połowę mniejszy, przy pozostałych warunkach liczebność może wzrosnąć około czterokrotnie. Z tego powodu deklarowanie bardzo małego efektu bez oceny wykonalności może prowadzić do nierealistycznego projektu.

W praktyce wzory są często zastępowane lub uzupełniane obliczeniami w programie statystycznym. Program nie rozwiązuje jednak problemu błędnych założeń. Obliczenie wykonane z nieuzasadnionym odchyleniem standardowym albo z nierealistyczną różnicą będzie precyzyjne technicznie, lecz słabe metodologicznie. Więcej wzorów statystycznych zamieściliśmy na stronie: baza wzorów do publikacji naukowych.

Dwa konkretne przykłady

Przykład 1: interwencja pielęgniarska a nasilenie bólu

Zespół chce ocenić, czy zmodyfikowana edukacja pielęgniarska zmniejsza ból po zabiegu w porównaniu ze standardową edukacją. Wynik jest mierzony na skali od 0 do 10 po 24 godzinach. Na podstawie wcześniejszych danych przyjęto odchylenie standardowe równe 2,5 punktu, a za minimalną różnicę ważną klinicznie uznano 1 punkt. Badacze planują test dwustronny, α = 0,05 i moc 90%.

Obliczenie dostarczy liczebności wymaganej do porównania dwóch średnich. Następnie trzeba zwiększyć ją o przewidywane braki danych, na przykład o 15%. Jeżeli obliczenia wskazują 86 osób z kompletną oceną w każdej grupie, zaplanowana rekrutacja nie może ograniczać się do 86 osób na grupę. Przy 15% utracie uczestników trzeba zaprosić około 102 osoby na grupę, ponieważ:

liczebność do rekrutacji = liczebność analityczna / (1 − odsetek utraty)

czyli w przybliżeniu 86 / 0,85 = 101,2, a więc po zaokrągleniu 102 osoby. To nie jest „dodanie 15% do 86”, lecz korekta przez przewidywany odsetek uczestników, którzy pozostaną dostępni do analizy.

Przykład 2: badanie przesiewowe w zdrowiu publicznym

Badacze chcą porównać odsetek osób, które zgłaszają się na konsultację po wysłaniu przypomnienia SMS, z odsetkiem w grupie otrzymującej standardową informację. Założono, że w grupie kontrolnej zgłosi się 20% osób, a interwencja będzie uznana za interesującą, jeżeli odsetek wzrośnie do 30%.

W tym przypadku podstawą obliczeń jest różnica dwóch proporcji, a nie różnica średnich. Potrzebne dane obejmują między innymi oba przewidywane odsetki, poziom alfa, moc oraz proporcję przydziału do grup. Jeżeli uczestnicy są rekrutowani przez przychodnie, a nie indywidualnie, osoby z tej samej placówki mogą być do siebie bardziej podobne. Wtedy zwykły wzór dla niezależnych osób może zaniżyć liczebność. Należy rozważyć efekt planu, zależny od liczby osób w klastrze i współczynnika korelacji wewnątrz klastra.

Ten przykład pokazuje, że pytanie „ile osób potrzebujemy?” musi być poprzedzone pytaniem „jak dokładnie zorganizowane będzie badanie?”. Ta sama różnica odsetków może wymagać innej liczebności w indywidualnej randomizacji, innej w randomizacji klastrowej i jeszcze innej przy znaczącym braku odpowiedzi.

Wielkość próby a precyzja oszacowania

Obliczenia mocy są często kojarzone z testowaniem hipotez, ale nie jest to jedyna perspektywa. W badaniach opisowych lub estymacyjnych celem może być uzyskanie przedziału ufności o określonej szerokości. Na przykład badacz może chcieć oszacować częstość depresji poporodowej z marginesem błędu nie większym niż 3 punkty procentowe.

W takim projekcie głównym kryterium może być precyzja oszacowania, a nie zdolność do odrzucenia hipotezy zerowej. Badanie może mieć wąski przedział ufności, nawet jeśli nie jest nastawione na konkretne porównanie. Z kolei bardzo duża próba może dać statystycznie istotny wynik, którego różnica jest zbyt mała, aby miała znaczenie dla pacjentów lub polityki zdrowotnej.

Dlatego w protokole należy opisać zarówno planowany efekt, jak i jego interpretację praktyczną. Istotność statystyczna, wielkość efektu i znaczenie praktyczne są odrębnymi elementami oceny.

Dlaczego analiza post hoc mocy jest ograniczona?

Po zakończeniu badania czasem oblicza się tak zwaną moc post hoc, wykorzystując uzyskany efekt i uzyskaną liczebność. Taki wynik często niewiele dodaje do interpretacji. Jeżeli przedział ufności jest szeroki, najważniejsza informacja brzmi: oszacowanie jest mało precyzyjne. Jeżeli wynik nie osiągnął założonego poziomu alfa, samo stwierdzenie, że „moc wyniosła 42%”, nie wyjaśnia, czy efekt był mały, czy dane były bardzo zmienne.

Po badaniu lepiej przedstawić oszacowanie efektu, przedział ufności, liczbę analizowanych uczestników i możliwe konsekwencje braków danych. Planowana moc jest narzędziem projektowania, a nie uniwersalnym wskaźnikiem jakości wyniku po fakcie.

Najczęstsze błędy

• Przyjmowanie liczby „zwyczajowej”, na przykład 30 osób w grupie, bez związku z punktem końcowym i oczekiwanym efektem.
• Traktowanie mocy jako prawdopodobieństwa prawdziwości hipotezy. Moc odnosi się do określonego efektu i określonych założeń projektowych.
• Planowanie próby na podstawie efektu najbardziej korzystnego dla badacza. Nadmiernie duży efekt prowadzi do zaniżenia wymaganej liczebności.
• Pomijanie utraty uczestników. Liczebność należy korygować o przewidywane wycofania, brak pomiaru i niekompletne dane.
• Użycie wzoru niezgodnego z projektem. Badanie klastrowe, powtarzane pomiary, analiza czasu do zdarzenia lub wiele grup wymagają odpowiednich metod.
• Projektowanie próby dla wyniku drugorzędowego i późniejsze wnioskowanie o głównym celu, który wymaga większej liczebności.
• Mylenie braku istotności z dowodem braku efektu. Wynik nieistotny może wynikać z małego efektu, dużej zmienności albo zbyt małej próby.
• Dodawanie uczestników aż do uzyskania istotności. To narusza wcześniej określony plan i zwiększa ryzyko fałszywie dodatnich wniosków.
• Ignorowanie wykonalności. Jeśli wymagana próba jest nierealna, należy zmienić projekt, punkt końcowy, liczbę ośrodków albo zakres pytania, a nie udawać, że problem nie istnieje.

Przykład praktyczny: planowanie małego badania psychologicznego

Psycholog planuje badanie internetowej interwencji zmniejszającej nasilenie objawów lęku. Ma dostęp do około 90 osób, ale wstępne obliczenie wskazuje, że do wykrycia minimalnego ważnego efektu potrzeba 140 osób z kompletnym pomiarem końcowym. Przewidywane wykruszanie wynosi 20%, więc rekrutacja musiałaby objąć około 175 osób.

Najgorszym rozwiązaniem byłoby zrekrutowanie 90 osób, a następnie opisanie badania jako testu skuteczności, bez zaznaczenia ograniczonej mocy. Lepsze możliwości obejmują:

• przedstawienie badania jako pilotażowego i skupienie się na wykonalności, akceptowalności oraz szacowaniu parametrów;
• wydłużenie rekrutacji lub włączenie kolejnych ośrodków;
• ograniczenie liczby nieuzasadnionych pomiarów i poprawę retencji uczestników;
• ponowne określenie minimalnego ważnego efektu z udziałem ekspertów i osób, których problem dotyczy;
• zmianę projektu, jeżeli uzasadnia ją pytanie badawcze, na przykład zastosowanie pomiarów powtarzanych.

Nie wolno jednak po zebraniu danych zmieniać głównego celu tylko po to, aby dopasować go do dostępnej liczby uczestników. Zmiana celu może być uzasadniona, ale powinna być jawna i opisana jako modyfikacja projektu.

Jak opisać obliczenie w protokole i publikacji?

Przejrzysty opis powinien zawierać: główny punkt końcowy, założoną wielkość efektu, źródło informacji o zmienności lub częstości zdarzeń, poziom alfa, planowaną moc, sposób obliczeń, przewidywany odsetek utraty oraz ostateczną liczbę osób do rekrutacji. W badaniach z wieloma grupami lub punktami końcowymi trzeba dodatkowo wyjaśnić, które porównanie było podstawą obliczenia.

W sprawozdaniach z badań randomizowanych element „sample size” jest jednym z wymaganych obszarów raportowania. Podobna zasada dotyczy badań obserwacyjnych: czytelnik powinien móc zrozumieć, skąd wynikała liczebność i jakie założenia przyjęto. Standardy raportowania nie zastępują konsultacji biostatystycznej, ale pomagają uniknąć nieprzejrzystego uzasadnienia.

Co warto zapamiętać?

• Wielkość próby oblicza się przed badaniem, ponieważ wpływa na pytanie, projekt, koszty i etykę przedsięwzięcia.
• Nie istnieje jedna uniwersalna „wystarczająca” liczba uczestników.
• Obliczenie zależy przede wszystkim od punktu końcowego, minimalnej ważnej różnicy, zmienności, alfa, mocy i struktury projektu.
• Planowana moc nie jest prawdopodobieństwem prawdziwości hipotezy ani gwarancją uzyskania istotnego wyniku.
• Trzeba odróżniać moc, precyzję, wielkość efektu, istotność statystyczną i znaczenie praktyczne.
• Należy uwzględnić wykruszanie, brak danych, nierówne grupy, klastry i inne cechy rzeczywistego projektu.
• Małe badanie może być wartościowym pilotażem, ale nie powinno być przedstawiane jako rozstrzygający test skuteczności, jeśli nie ma do tego odpowiedniej liczebności.
• Najważniejsze nie jest samo użycie programu do obliczeń, lecz uzasadnienie założeń, które do programu wprowadzono.

Źródła i dalsza lektura

1. Hickey, G. L., Grant, S. W., Dunning, J., & Siepe, M. (2018). Statistical primer: sample size and power calculations—why, when and how?. European Journal of Cardio-Thoracic Surgery, 54(1), 4–9. DOI: 10.1093/ejcts/ezy169.
2. Ranganathan, P., Deo, V., & Pramesh, C. S. (2024). Sample size calculation in clinical research. Perspectives in Clinical Research, 15(3), 155–159. DOI: 10.4103/picr.picr_100_24.
3. Wang, X., & Ji, X. (2020). Sample Size Estimation in Clinical Research: From Randomized Controlled Trials to Observational Studies. Chest, 158(1S), S12–S20. DOI: 10.1016/j.chest.2020.03.010.
4. Campbell, M. J., Julious, S. A., & Altman, D. G. (1995). Estimating sample sizes for binary, ordered categorical, and continuous outcomes in two group comparisons. BMJ, 311(7013), 1145. DOI: 10.1136/bmj.311.7013.1145.
5. Bland, J. M. (2009). The tyranny of power: is there a better way to calculate sample size?. BMJ, 339, b3985. DOI: 10.1136/bmj.b3985.
6. Halpern, S. D., Karlawish, J. H. T., & Berlin, J. A. (2002). The continuing unethical conduct of underpowered clinical trials. JAMA, 288(3), 358–362. DOI: 10.1001/jama.288.3.358.
7. Schulz, K. F., Altman, D. G., & Moher, D.; CONSORT Group (2010). CONSORT 2010 Statement: updated guidelines for reporting parallel group randomised trials. BMJ. BMJ Publishing Group. Źródło.