418. Test Friedmana – wiele pomiarów zależnych

W poprzednich lekcjach omawialiśmy analizę wariancji dla wielu grup oraz sytuacje, w których pomiary są ze sobą powiązane. Test Friedmana jest nieparametrycznym odpowiednikiem jednoczynnikowej ANOVA z powtarzanymi pomiarami. Stosuje się go wtedy, gdy te same osoby, pacjenci, gospodarstwa domowe lub inne jednostki badania są oceniane co najmniej trzy razy albo poddawane kilku porównywanym warunkom, a rozkład wyniku lub jego skala nie uzasadniają bezpośredniego użycia klasycznej ANOVA.

Test ten nie jest jednak „automatycznym zamiennikiem” ANOVA. Najpierw trzeba rozpoznać schemat badania: kto był mierzony, ile razy, jaka jest skala pomiaru i czy obserwacje są kompletne. Dopiero potem można zdecydować, czy właściwe będzie rangowanie danych i zastosowanie testu Friedmana. W szkoleniu na statystyk.edu.pl warto traktować tę procedurę jako element szerszego procesu: od pytania badawczego, przez projekt i opis danych, aż po interpretację wyniku.

Na czym polega problem wielu pomiarów zależnych?

Załóżmy, że badacz ocenia nasilenie bólu u tych samych pacjentów przed leczeniem, tydzień po leczeniu i miesiąc po leczeniu. Nie mamy tutaj trzech niezależnych grup. Wynik pacjenta w pierwszym terminie jest powiązany z jego wynikiem w kolejnych terminach, ponieważ pochodzi od tej samej osoby. Zależność ta powinna zostać uwzględniona w analizie.

Analogiczny układ występuje, gdy:

• te same osoby wypełniają trzy lub więcej wersji kwestionariusza;
• pacjent jest oceniany przez kilku ratowników według tej samej skali;
• uczestnicy wykonują zadanie w kilku warunkach eksperymentalnych;
• gospodarstwa domowe są obserwowane przed, w trakcie i po interwencji;
• ta sama metoda diagnostyczna jest porównywana z innymi metodami u tych samych osób.

Klasyczna ANOVA z powtarzanymi pomiarami wymaga między innymi odpowiedniej struktury wariancji, a przy więcej niż dwóch pomiarach także założenia sferyczności. Test Friedmana omija założenie normalności poprzez zastąpienie wartości rangami w obrębie każdego badanego przypadku. Nie oznacza to, że nie ma żadnych założeń. Nadal potrzebne są zależne, prawidłowo sparowane obserwacje i sensowny sposób pomiaru wyniku.

Co testuje test Friedmana?

Niech:

• n oznacza liczbę badanych jednostek;
• k oznacza liczbę pomiarów lub warunków;
• x_ij oznacza wynik osoby i w pomiarze j;
• r_ij oznacza rangę wyniku x_ij wśród k wyników tej samej osoby.

Hipoteza zerowa może być zapisana jako:

H₀: rozkłady wyników w porównywanych pomiarach są takie same, po uwzględnieniu struktury zależności wewnątrz osoby.

H₁: co najmniej jeden pomiar różni się od pozostałych.

W praktyce często mówi się, że test sprawdza równość median. To uproszczenie. Taka interpretacja jest najbardziej uzasadniona wtedy, gdy rozkłady w porównywanych warunkach mają podobny kształt i różnią się głównie położeniem. Jeżeli warunki zmieniają także rozproszenie lub asymetrię rozkładu, odrzucenie hipotezy zerowej nie wskazuje jednoznacznie, że różnią się właśnie mediany.

Warto również pamiętać, że wartość p nie jest prawdopodobieństwem prawdziwości hipotezy zerowej. Jest to prawdopodobieństwo uzyskania wyniku co najmniej tak niezgodnego z hipotezą zerową, przy założeniu, że hipoteza zerowa jest prawdziwa i że model testu jest odpowiedni.

Jak oblicza się statystykę Friedmana?

Najpierw dla każdej osoby porządkuje się jej k wyników od najmniejszego do największego. Najmniejszy wynik otrzymuje rangę 1, a największy rangę k. Jeżeli występują remisy, przypisuje się rangi średnie. Następnie dla każdego pomiaru oblicza się sumę rang:

R_j = ∑_i=1ⁿ r_ij

W przybliżeniu statystyka testowa ma postać:

Q = [12 / (n k (k + 1))] × ∑_j=1^k R_j² − 3n(k + 1)

Symbol Q oznacza statystykę Friedmana, n liczbę kompletnych przypadków, k liczbę porównywanych pomiarów, a R_j sumę rang dla pomiaru j. Przy większej liczbie obserwacji statystykę porównuje się zwykle z rozkładem chi-kwadrat o k − 1 stopniach swobody. Dla małych prób przybliżenie chi-kwadrat może być niedokładne, dlatego warto rozważyć procedurę dokładną lub metodę permutacyjną, jeżeli oprogramowanie ją udostępnia.

W przypadku remisów program statystyczny powinien zastosować korektę uwzględniającą powtarzające się rangi. Nie należy ręcznie interpretować surowego wzoru bez sprawdzenia, jak konkretne oprogramowanie obsługuje braki danych i remisy.

Założenia i zakres zastosowania

1. Zależność wewnątrz osoby, niezależność między osobami

Obserwacje w obrębie jednej osoby powinny być zależne, ponieważ właśnie tę zależność wykorzystuje projekt powtarzanych pomiarów. Jednocześnie różne osoby powinny być od siebie niezależne, chyba że zastosowano bardziej złożony model, na przykład dla danych klastrowych.

2. Co najmniej trzy powiązane warunki

Test Friedmana najczęściej stosuje się przy k ≥ 3. Dla dwóch pomiarów zależnych właściwszy jest test rangowanych znaków Wilcoxona. Test Friedmana jest nieparametrycznym odpowiednikiem układu jednoczynnikowego, a nie narzędziem do analizy dowolnej liczby czynników.

3. Skala co najmniej porządkowa

Wynik powinien umożliwiać uporządkowanie obserwacji. Może być ilościowy albo porządkowy, na przykład ocena bólu w skali porządkowej. Sama etykieta kategorii nominalnych nie wystarcza. Dla danych binarnych w kilku zależnych pomiarach należy rozważyć test Q Cochrana.

4. Kompletność i prawidłowe parowanie danych

W podstawowej wersji testu każda analizowana osoba powinna mieć wynik w każdym warunku. Jeżeli pacjent ma pomiar tylko przed leczeniem i po leczeniu, ale brakuje mu oceny po miesiącu, zwykle nie może być bezpośrednio użyty w standardowym porównaniu trzech terminów. Automatyczne usuwanie niekompletnych przypadków zmniejsza liczebność i może wprowadzać obciążenie, jeżeli braki nie są przypadkowe.

Przykład 1: nasilenie bólu po różnych metodach opieki

W badaniu pielęgniarskim 18 pacjentów oceniano w trzech kolejnych dniach po zabiegu. Każdego dnia pacjent otrzymywał standardową opiekę, ale zmieniała się pora stosowania techniki relaksacyjnej: rano, po południu albo wieczorem. Ból mierzono skalą od 0 do 10. Ponieważ tych samych 18 pacjentów oceniono w trzech warunkach, dane są zależne.

Badacz nie powinien wykonać trzech niezależnych testów Kruskala–Wallisa. Taki wybór ignorowałby fakt, że wyniki pochodzą od tych samych pacjentów. Właściwe pytanie brzmi: czy rozkład ocen bólu różni się między trzema porami zastosowania techniki?

Załóżmy, że wyniki dały statystykę Q = 9,84, df = 2 oraz p = 0,007. Wniosek brzmi: zaobserwowano statystycznie istotne różnice między co najmniej dwoma warunkami. Nie wolno jednak stwierdzić na tej podstawie, że konkretna pora „powoduje” mniejszy ból, jeżeli kolejność warunków nie była randomizowana albo mogło działać naturalne gojenie.

Wynik należy uzupełnić medianami i kwartylami dla każdego warunku oraz miarą wielkości efektu. Jedną z możliwości jest współczynnik zgodności Kendalla:

W = Q / [n(k − 1)]

Waha się on od 0 do 1, przy czym wartości bliższe 0 wskazują na słabą zgodność rang, a wartości bliższe 1 na silne uporządkowanie wyników między warunkami. Nie istnieje jednak uniwersalna granica, od której efekt należy uznać za klinicznie ważny. Interpretację trzeba odnieść do minimalnej istotnej różnicy bólu oraz celu badania.

Porównania post-hoc po teście Friedmana

Istotny wynik ogólny nie mówi, które pary pomiarów się różnią. Po odrzuceniu hipotezy zerowej można wykonać porównania par, na przykład testy Wilcoxona dla prób zależnych. Jeżeli porównujemy trzy warunki, powstają trzy pary: 1–2, 1–3 oraz 2–3. Wykonanie wszystkich testów bez korekty zwiększa ryzyko przynajmniej jednego fałszywie dodatniego wyniku.

Dlatego należy zastosować korektę dla wielokrotnych porównań, na przykład Bonferroniego, Holma albo procedurę dostępną w danym programie. Przy korekcie Bonferroniego poziom 0,05 dla trzech porównań dzieli się przez 3, co daje 0,0167. Korekta Holma jest zwykle mniej konserwatywna, a jednocześnie kontroluje rodzinny błąd pierwszego rodzaju.

W literaturze opisano także dokładne metody porównywania sum rang Friedmana, szczególnie przy małych próbach i analizie ogona rozkładu (Eisinga i in., 2017). Nie należy jednak wybierać procedury wyłącznie na podstawie tego, która daje najmniejsze p. Metoda powinna być zaplanowana, uzasadniona i spójna z pytaniem badawczym.

Przykład 2: ocena trzech metod szkolenia ratowników

W badaniu psychologicznym 24 ratowników oceniano wykonanie symulowanego zadania po szkoleniu tradycyjnym, szkoleniu komputerowym i szkoleniu z wykorzystaniem wirtualnej rzeczywistości. Każdy ratownik uczestniczył we wszystkich trzech warunkach, a wynik był liczbą punktów za poprawność decyzji. Rozkład wyników był silnie skośny, a część osób uzyskiwała identyczne rezultaty.

Test Friedmana pozwala ocenić, czy rankingi wyników różnią się między metodami. Jeżeli najwyższą średnią rangę ma szkolenie z wirtualną rzeczywistością, można powiedzieć, że w tej próbie wyniki tego warunku były ogólnie wyższe w sensie rangowym. Nie oznacza to automatycznie większej średniej arytmetycznej ani przewagi o znaczeniu praktycznym.

Jeżeli test ogólny jest nieistotny, nie należy pisać, że „metody są takie same”. Poprawniejszy wniosek brzmi: nie uzyskano wystarczających dowodów odrzucenia hipotezy o braku różnic w badanej próbie. Brak istotności może wynikać między innymi z małej liczebności, dużej zmienności lub małej rzeczywistej różnicy.

Jak raportować wynik?

Raport powinien obejmować:

• liczbę osób i liczbę analizowanych pomiarów;
• opis skali wyniku oraz sposób postępowania z remisami i brakami danych;
• medianę i rozstęp międzykwartylowy w każdym warunku;
• statystykę Friedmana, liczbę stopni swobody i wartość p;
• miarę wielkości efektu, na przykład W Kendalla;
• wyniki porównań post-hoc wraz z zastosowaną korektą;
• ostrożny wniosek odnoszący się do pytania badawczego.

Przykładowy zapis: Oceny bólu różniły się między trzema terminami pomiaru, Q(2) = 9,84, p = 0,007, W = 0,27. Mediana bólu była najwyższa przed interwencją, a porównania post-hoc z korektą Holma wskazały różnicę między pomiarem początkowym i końcowym. Wielkość efektu była mała do umiarkowanej; znaczenie kliniczne wymaga odniesienia do wcześniej określonego progu minimalnej istotnej zmiany.

Najczęstsze błędy

1. Traktowanie pomiarów zależnych jak niezależnych. Trzy pomiary tych samych osób nie są trzema niezależnymi grupami.
2. Używanie testu Friedmana dla danych nominalnych. Procedura wymaga możliwości uporządkowania wyników. Dla kilku zależnych wyników binarnych odpowiedni jest test Q Cochrana.
3. Interpretowanie wyniku jako dowodu równości median. Jest to uzasadnione tylko przy odpowiednio podobnych kształtach rozkładów.
4. Wykonywanie testów post-hoc bez korekty. Każde dodatkowe porównanie zwiększa ryzyko błędu pierwszego rodzaju.
5. Raportowanie wyłącznie wartości p. Istotność statystyczna nie informuje sama o wielkości ani praktycznym znaczeniu różnicy.
6. Usuwanie niekompletnych przypadków bez opisu. Trzeba podać, ilu uczestników wyłączono i dlaczego.
7. Formułowanie wniosków przyczynowych na podstawie obserwacyjnych pomiarów w czasie. Sam fakt, że wynik zmienił się po czasie, nie dowodzi skuteczności interwencji.
8. Wybieranie testu po obejrzeniu wartości p. Decyzję powinny wyznaczać projekt, skala pomiaru i założenia, a nie oczekiwany rezultat.

Test Friedmana a ANOVA z powtarzanymi pomiarami

ANOVA z powtarzanymi pomiarami zachowuje informację o odległościach między wartościami, natomiast test Friedmana pracuje na rangach wewnątrz osoby. Rangowanie czyni procedurę mniej wrażliwą na wartości odstające i odchylenia od normalności, ale może zmniejszać efektywność, gdy dane ilościowe dobrze spełniają założenia modelu parametrycznego.

Nie należy więc przyjmować zasady, że metoda nieparametryczna jest zawsze bezpieczniejsza lub lepsza. Jeżeli badanie ma większą liczbę pomiarów, braki danych, nierówne odstępy czasu, zmienne towarzyszące albo złożoną strukturę zależności, bardziej odpowiedni może być model mieszany. Test Friedmana jest dobrym narzędziem dla prostego układu: jeden czynnik wewnątrzosobniczy, kompletne dane i wynik co najmniej porządkowy.

Co warto zapamiętać?

• Test Friedmana służy do porównania co najmniej trzech zależnych pomiarów.
• Każda osoba jest rangowana osobno, a analiza opiera się na sumach rang.
• Test wymaga danych co najmniej porządkowych i prawidłowego sparowania obserwacji.
• Hipoteza zerowa dotyczy braku różnic w rozkładach, a nie „prawdopodobieństwa, że H₀ jest prawdziwa”.
• Istotny wynik ogólny nie wskazuje, które pary się różnią; potrzebne są porównania post-hoc z korektą.
• Wynik trzeba uzupełnić opisem danych, wielkością efektu i oceną znaczenia praktycznego.
• Zmiana w czasie nie jest sama w sobie dowodem przyczynowego działania interwencji.

W następnym kroku analizy warto zadać pytanie nie tylko „czy wystąpiła różnica?”, lecz także „jak duża była ta różnica, między którymi warunkami wystąpiła i czy ma znaczenie dla pacjenta, uczestnika lub praktyki zawodowej?”. To właśnie odróżnia mechaniczne wykonanie testu od poprawnej analizy statystycznej.

Źródła i dalsza lektura

1. Friedman, M. (1937). The Use of Ranks to Avoid the Assumption of Normality Implicit in the Analysis of Variance. Journal of the American Statistical Association, 32(200), 675–701. DOI: 10.1080/01621459.1937.10503522.
2. Conover, W. J., & Iman, R. L. (1981). Rank Transformations as a Bridge between Parametric and Nonparametric Statistics. The American Statistician, 35(3), 124–129. DOI: 10.1080/00031305.1981.10479327.
3. Eisinga, R., Heskes, T., Pelzer, B., & te Grotenhuis, M. (2017). Exact p-values for pairwise comparison of Friedman rank sums, with application to comparing classifiers. BMC Bioinformatics, 18, Article 68. DOI: 10.1186/s12859-017-1486-2.
4. IBM (2025). Tests for Several Related Samples. IBM Documentation: IBM SPSS Statistics. IBM. Źródło.
5. Kendall, M. G. (1970). Rank Correlation Methods. 4th edition. Griffin, London.