409. ANOVA z powtarzanymi pomiarami – podstawy

Lekcja 409 z 560. ANOVA z powtarzanymi pomiarami jest przeznaczona do sytuacji, w których tę samą zmienną mierzymy u tych samych osób więcej niż dwa razy albo w kilku warunkach. Jej podstawowa zaleta polega na tym, że pozwala uwzględnić fakt, iż wyniki pochodzące od jednej osoby są zwykle do siebie bardziej podobne niż wyniki różnych osób. Dzięki temu analiza może być czulsza niż porównywanie niezależnych grup, ale wymaga właściwego rozpoznania schematu badania i kontroli dodatkowych założeń.

W tej lekcji z szkolenia na statystyk.edu.pl skupiamy się na podstawach: czym jest czynnik wewnątrzosobniczy, jak formułuje się hipotezy, na czym polega sferyczność oraz jak ostrożnie interpretować wynik. Nie omawiamy jeszcze szczegółowo modeli mieszanych, które często są lepszym rozwiązaniem przy brakach danych, nierównych odstępach czasu lub bardziej złożonej strukturze obserwacji.

Na czym polega pomiar powtarzany?

W klasycznej jednoczynnikowej ANOVA porównujemy średnie kilku grup niezależnych, na przykład średnie ciśnienie tętnicze w trzech różnych grupach pacjentów. W ANOVA z powtarzanymi pomiarami każda osoba dostarcza kilka wyników. Możemy mierzyć tę samą cechę:

• w kolejnych punktach czasowych, na przykład przed leczeniem, po 4 tygodniach i po 12 tygodniach;
• w kilku warunkach eksperymentalnych, na przykład po ekspozycji na trzy rodzaje bodźców;
• w kilku lokalizacjach lub zadaniach, jeśli wszystkie pomiary wykonuje ta sama osoba.

Najważniejsze jest to, że poziomy czynnika są obserwowane u tych samych jednostek. Czynnik taki nazywamy czynnikiem wewnątrzosobniczym albo within-subjects factor. Osoba badana pełni częściowo funkcję własnej grupy kontrolnej. Pozwala to odseparować różnice stabilne między ludźmi, na przykład ogólnie wyższy poziom lęku jednej osoby, od zmian związanych z czasem lub warunkiem pomiaru.

Przykład z ochrony zdrowia

Załóżmy, że 30 pacjentów z nadciśnieniem mierzy się w trzech momentach: przed rozpoczęciem programu edukacyjnego, po 4 tygodniach i po 12 tygodniach. Wynikiem jest skurczowe ciśnienie tętnicze. Pytanie badawcze brzmi: czy średnie ciśnienie różni się między tymi trzema momentami? Każdy pacjent ma trzy obserwacje, więc nie są to trzy niezależne grupy.

Nie należy w takim układzie wykonywać trzech osobnych testów t dla par pomiarów bez odpowiedniej kontroli wielokrotnego testowania. Właściwym punktem wyjścia jest ANOVA z jednym czynnikiem wewnątrzosobniczym „moment pomiaru” o trzech poziomach.

Model i hipotezy

W najprostszym ujęciu wynik osoby i w warunku lub czasie j można zapisać jako:

Yij = μ + αj + si + eij

• Y_ij – obserwowany wynik osoby i w poziomie czynnika j;
• μ – średnia ogólna wszystkich obserwacji;
• α_j – efekt poziomu czynnika, na przykład efekt konkretnego punktu czasowego;
• s_i – indywidualny składnik związany z osobą, odzwierciedlający jej przeciętny poziom wyników;
• e_ij – reszta, czyli część wyniku niewyjaśniona przez model.

W praktycznej analizie całkowitą zmienność rozdziela się na zmienność między osobami, zmienność wynikającą z czynnika wewnątrzosobniczego oraz błąd. To rozdzielenie jest istotą analizy wariancji. Jeżeli różnice między osobami są duże, ale każda osoba pozostaje względnie stabilna w czasie, uwzględnienie składnika osobniczego może znacząco zmniejszyć wariancję błędu.

Hipoteza zerowa dla głównego efektu czynnika ma postać:

H0: μ1 = μ2 = ... = μk

Oznacza ona równość średnich populacyjnych we wszystkich k warunkach lub punktach czasowych. Hipoteza alternatywna mówi, że co najmniej jedna średnia różni się od pozostałych. Istotny wynik ANOVA nie wskazuje jednak, które pary średnich się różnią. Do tego potrzebne są zaplanowane kontrasty lub procedury porównań post-hoc.

Dlaczego nie można traktować pomiarów jako niezależnych?

Założenie niezależności obserwacji odnosi się przede wszystkim do niezależności jednostek badania. Dwa wyniki tej samej osoby mogą być skorelowane: pacjent o wyższym ciśnieniu wyjściowym często będzie miał także wyższe ciśnienie podczas kolejnych wizyt. Nie jest to błąd, który trzeba „usunąć”. Jest to cecha danych, którą należy modelować.

Gdyby te obserwacje potraktować jak wyniki niezależnych grup, liczebność zostałaby sztucznie zawyżona, a standardowe błędy mogłyby być niewłaściwe. W konsekwencji wnioskowanie mogłoby być zbyt optymistyczne. ANOVA z powtarzanymi pomiarami uwzględnia zależność poprzez rozdzielenie różnic indywidualnych od zmian wewnątrzosobniczych (Kirkwood i Sterne, 2003; Field, 2018).

Najważniejsze założenia

Zmienna ilościowa i odpowiedni schemat

Zmienna zależna powinna być mierzona co najmniej na skali ilościowej, a obserwacje powinny pochodzić od tych samych osób we wszystkich analizowanych warunkach. Jeżeli część osób ma tylko jeden pomiar, klasyczna ANOVA z powtarzanymi pomiarami może nie być właściwa. W takiej sytuacji często rozważa się model mieszany, który może wykorzystać niepełne dane pod określonymi założeniami dotyczącymi ich brakowania (Gueorguieva i Krystal, 2004).

Rozkład reszt

Wnioskowanie parametryczne zakłada, że reszty modelu są w przybliżeniu normalne. Nie oznacza to, że każda surowa zmienna musi mieć idealnie normalny rozkład. Ocena powinna uwzględniać liczebność próby, wykresy, obserwacje odstające oraz znaczenie kliniczne odchyleń. Mechaniczne wykonywanie testu normalności jako jedynego kryterium decyzji jest niewystarczające.

Sferyczność

Przy co najmniej trzech pomiarach pojawia się szczególne założenie zwane sferycznością. Oznacza ono, że wariancje różnic między każdą parą poziomów czynnika są równe. Dla trzech momentów trzeba więc rozważyć wariancje różnic: pomiar 1–2, 1–3 oraz 2–3.

Sferyczność nie jest tym samym co równość wariancji surowych wyników. Dotyczy wariancji różnic między pomiarami. Jej naruszenie może prowadzić do zawyżenia częstości odrzucania hipotezy zerowej, jeśli użyje się niekorygowanych stopni swobody.

Do oceny sferyczności często stosuje się test Mauchly’ego (Mauchly, 1940). Jego wynik należy jednak interpretować ostrożnie: przy małych próbach test może mieć małą moc, a przy dużych wykrywać niewielkie, praktycznie mało ważne odchylenia. Gdy sferyczność jest naruszona, stosuje się korektę stopni swobody, najczęściej Greenhouse’a–Geissera albo Huynha–Feldta (Greenhouse i Geisser, 1959; Huynh i Feldt, 1976).

Korekta Greenhouse’a–Geissera – intuicja

Korekta opiera się na współczynniku ε, który przyjmuje wartości od 1/(k−1) do 1, gdzie k oznacza liczbę poziomów czynnika. Gdy sferyczność jest spełniona, ε = 1. Gdy jest naruszona, współczynnik jest mniejszy od 1.

Stopnie swobody licznika i mianownika mnoży się przez oszacowane ε. Na przykład zamiast raportować F(2, 58), można otrzymać po korekcie F(1,34, 39,86). Sama statystyka F może pozostać taka sama, ale zmienione stopnie swobody prowadzą do innej wartości p. Wartość p nie jest prawdopodobieństwem prawdziwości hipotezy zerowej; informuje o zgodności danych z modelem przy założeniu H₀.

W raportowaniu należy podać, czy zastosowano korektę, jaką wartość miało ε oraz jakie były skorygowane stopnie swobody. Współczesne raportowanie powinno obejmować również średnie, miary rozproszenia, przedziały ufności i wielkość efektu, a nie tylko wartość p (American Psychological Association, 2018).

Przykład praktyczny: program rehabilitacyjny

W badaniu obserwacyjnym 24 osoby po udarze oceniono skalę sprawności ruchowej w trzech momentach: przed rehabilitacją, po 2 tygodniach i po 6 tygodniach. Średnie wyniosły odpowiednio 41, 47 i 53 punkty. Analiza ANOVA z powtarzanymi pomiarami wykazała efekt momentu pomiaru: F(1,62, 36,86) = 18,40, p < 0,001, ηp2 = 0,45, po zastosowaniu korekty Greenhouse’a–Geissera.

Jak to interpretować? Dane są zgodne z tym, że średni wynik sprawności różnił się między momentami pomiaru. Wielkość efektu, wyrażona częściowym eta kwadrat, wskazuje na znaczny udział efektu czasu w zmienności wyjaśnianej przez model, ale nie określa sama w sobie, czy poprawa była klinicznie wystarczająca dla pacjentów. Nie można też automatycznie stwierdzić, że rehabilitacja spowodowała poprawę, jeśli badanie nie miało odpowiedniej grupy kontrolnej i nie kontrolowało innych zmian zachodzących w czasie.

Po wyniku ogólnym badacz powinien sprawdzić średnie różnice między parami momentów, najlepiej wraz z przedziałami ufności i korektą na wielokrotne porównania. Sam istotny efekt główny nie mówi, czy największa zmiana wystąpiła między początkiem a 2. tygodniem, czy między 2. a 6. tygodniem.

Drugi przykład: psychologia i obciążenie poznawcze

W eksperymencie 40 studentów wykonuje to samo zadanie pamięciowe w trzech warunkach: cisza, umiarkowany hałas i intensywny hałas. Wynikiem jest liczba poprawnie zapamiętanych elementów. Ponieważ każda osoba uczestniczy w każdym warunku, zastosowanie klasycznej ANOVA dla trzech niezależnych grup byłoby błędne. Właściwa analiza porównuje średnie wewnątrz tych samych osób.

W tym przykładzie trzeba dodatkowo rozważyć kolejność warunków. Jeśli wszyscy uczestnicy zaczynają od ciszy, a kończą na intensywnym hałasie, wynik może odzwierciedlać zmęczenie lub uczenie się, a nie tylko wpływ hałasu. Randomizacja kolejności albo zrównoważenie kolejności warunków jest elementem projektu badania, którego sama ANOVA nie naprawi.

ANOVA z powtarzanymi pomiarami a model mieszany

Klasyczna ANOVA jest użyteczna, gdy plan jest prosty: wszyscy uczestnicy mają te same punkty pomiaru, braki danych są nieliczne, a struktura zależności jest akceptowalna. W badaniach podłużnych często występują jednak niepełne obserwacje, różne odstępy między wizytami, zmienne towarzyszące i indywidualne trajektorie zmian. Modele mieszane pozwalają elastyczniej modelować korelację oraz wykorzystać więcej dostępnych danych, pod warunkiem przyjęcia i uzasadnienia odpowiednich założeń (Gueorguieva i Krystal, 2004).

Nie oznacza to, że model mieszany jest zawsze automatycznie lepszy. Wymaga poprawnego określenia efektów stałych, struktury kowariancji, sposobu kodowania czasu oraz diagnostyki. Na poziomie podstawowym warto zapamiętać zasadę: wybór analizy powinien wynikać z projektu badania, a nie z tego, która opcja jest dostępna w programie statystycznym.

Najczęstsze błędy

1. Traktowanie pomiarów tej samej osoby jako niezależnych. Prowadzi to do niewłaściwego modelu błędu i może zniekształcić wnioskowanie.
2. Wykonywanie wielu testów t bez planu. Zwiększa to ryzyko błędu pierwszego rodzaju. Najpierw należy rozważyć test globalny, kontrasty planowane lub odpowiednio skorygowane porównania.
3. Ignorowanie sferyczności. Przy trzech lub większej liczbie pomiarów trzeba sprawdzić to założenie albo zastosować uzasadnioną korektę.
4. Interpretowanie istotności statystycznej jako ważności klinicznej. Mała różnica może być istotna w dużej próbie, a ważna klinicznie różnica może nie osiągnąć p < 0,05 w małej próbie.
5. Wnioskowanie przyczynowe z samego pomiaru przed–po. Zmiana w czasie może wynikać z historii naturalnej choroby, regresji do średniej, efektu uczenia się lub innych zdarzeń.
6. Pomijanie brakujących pomiarów. Analiza wyłącznie kompletnych przypadków może zmniejszyć moc i wprowadzić zniekształcenie, zwłaszcza gdy braki nie są losowe.
7. Raportowanie wyłącznie wartości p. Czytelnik potrzebuje także liczebności, średnich, odchyleń standardowych, przedziałów ufności, statystyki F, stopni swobody, informacji o korekcie i miary wielkości efektu.

Jak raportować wynik?

Przykładowy zapis może wyglądać następująco: „Wykonano jednoczynnikową ANOVA z powtarzanymi pomiarami, w której czynnikiem wewnątrzosobniczym był moment pomiaru. Test Mauchly’ego wskazał naruszenie sferyczności, dlatego zastosowano korektę Greenhouse’a–Geissera (ε = 0,81). Zaobserwowano efekt momentu pomiaru, F(1,62, 36,86) = 18,40, p < 0,001, ηp2 = 0,45. Średnie i 95% przedziały ufności przedstawiono dla każdego momentu, a porównania par skorygowano metodą Holma”.

Taki opis jest bardziej informacyjny niż samo zdanie „wynik był istotny”. Standardy APA JARS podkreślają potrzebę przejrzystego przedstawiania projektu, analizy, braków danych i wyników liczbowych (American Psychological Association, 2018).

Co warto zapamiętać?

• ANOVA z powtarzanymi pomiarami służy do porównywania kilku średnich uzyskanych od tych samych osób.
• Pomiarów tej samej osoby nie traktujemy jako obserwacji niezależnych.
• Główny test odpowiada na pytanie, czy istnieją jakiekolwiek różnice między poziomami czynnika, ale nie wskazuje ich dokładnej lokalizacji.
• Przy co najmniej trzech poziomach czynnika należy uwzględnić założenie sferyczności.
• Naruszenie sferyczności można korygować między innymi metodą Greenhouse’a–Geissera lub Huynha–Feldta.
• Istotność statystyczna, wielkość efektu i znaczenie praktyczne są odrębnymi aspektami wyniku.
• Przy brakach danych i złożonym przebiegu pomiarów warto rozważyć model mieszany.
• Interpretacja zmiany przed–po nie jest automatycznie dowodem skuteczności ani związku przyczynowego.

W kolejnych lekcjach można przejść od podstawowego modelu do interpretacji testu Mauchly’ego, korekt stopni swobody, kontrastów oraz ANOVA mieszanej, w której obok czynnika wewnątrzosobniczego występuje także czynnik międzyosobniczy.

Źródła i dalsza lektura

1. Mauchly, J. W. (1940). Significance Test for Sphericity of a Normal n-Variate Distribution. The Annals of Mathematical Statistics, 11(2), 204–209. DOI: 10.1214/aoms/1177731915.
2. Greenhouse, S. W., & Geisser, S. (1959). On Methods in the Analysis of Profile Data. Psychometrika, 24(2), 95–112. DOI: 10.1007/BF02289823.
3. Huynh, H., & Feldt, L. S. (1976). Estimation of the Box Correction for Degrees of Freedom from Sample Data in Randomized Block and Split-Plot Designs. Journal of Educational Statistics, 1(1), 69–82. DOI: 10.3102/10769986001001069.
4. Gueorguieva, R., & Krystal, J. H. (2004). Move Over ANOVA: Progress in Analyzing Repeated-Measures Data and Its Reflection in Papers Published in the Archives of General Psychiatry. Archives of General Psychiatry, 61(3), 310–317. DOI: 10.1001/archpsyc.61.3.310.
5. Kirkwood, B. R., & Sterne, J. A. C. (2003). Essential Medical Statistics. 2nd edition. Blackwell Science. Informacja wydawcy / źródło.
6. Field, A. (2018). Discovering Statistics Using IBM SPSS Statistics. 5th edition. SAGE Publications. Informacja wydawcy / źródło.
7. American Psychological Association (2018). Journal Article Reporting Standards for Quantitative Research in Psychology: The APA Publications and Communications Board Task Force Report. American Psychologist. American Psychological Association. Źródło.