410. Sferyczność i poprawka Greenhouse’a–Geissera

Lekcja 410 z 560

W poprzedniej lekcji omówiono podstawową ideę ANOVA z powtarzanymi pomiarami. Teraz zajmiemy się jej szczególnym założeniem: sferycznością. To pojęcie jest ważne wtedy, gdy te same osoby, pacjentów lub obiekty obserwujemy w co najmniej trzech warunkach albo punktach czasowych. Naruszenie sferyczności może prowadzić do zbyt liberalnego testu F, czyli do zwiększonego ryzyka uznania efektu za statystycznie istotny, gdy w populacji nie ma wystarczających podstaw do takiego wniosku. W tej lekcji wyjaśnimy, jak rozumieć sferyczność, czym jest test Mauchly’ego i jak działa poprawka Greenhouse’a–Geissera.

1. Dlaczego sferyczność jest potrzebna?

W klasycznej ANOVA z powtarzanymi pomiarami analizujemy zmienną zależną mierzoną wielokrotnie u tych samych jednostek. Przykładowo, u 30 pacjentów możemy ocenić nasilenie bólu przed leczeniem, po tygodniu i po miesiącu. Pomiarów nie można traktować jako niezależnych, ponieważ pochodzą od tych samych osób. Zależność między pomiarami jest oczekiwana i sama w sobie nie stanowi problemu.

Problem dotyczy struktury tej zależności. Przy trzech lub większej liczbie pomiarów klasyczna analiza zakłada, że wariancje różnic między każdą parą pomiarów są sobie równe. Jeżeli pomiary oznaczymy jako T1, T2 i T3, interesują nas między innymi różnice T1–T2, T1–T3 oraz T2–T3. Sferyczność oznacza, że wariancje tych różnic są jednakowe:

Var(T1 − T2) = Var(T1 − T3) = Var(T2 − T3)

Nie oznacza to, że wariancje samych pomiarów muszą być identyczne ani że korelacje między wszystkimi pomiarami muszą być takie same. Sferyczność jest warunkiem dotyczącym różnic między poziomami czynnika wewnątrzobiektowego. Jest więc pojęciem węższym niż ogólne założenie niezależności i innym niż jednorodność wariancji w jednoczynnikowej ANOVA dla niezależnych grup.

W przypadku dwóch poziomów czynnika sferyczność jest spełniona automatycznie, ponieważ istnieje tylko jedna różnica. Znaczenie praktyczne pojawia się dopiero przy co najmniej trzech poziomach, na przykład przy trzech wizytach, czterech dawkach leku lub pięciu warunkach eksperymentalnych.

2. Sferyczność a symetria złożona

W podręcznikowych opisach można spotkać pojęcie symetrii złożonej. Zakłada ona między innymi równe wariancje wszystkich pomiarów oraz jednakowe korelacje między każdą parą pomiarów. Jest to warunek silniejszy niż sferyczność. Symetria złożona gwarantuje sferyczność, ale sferyczność może być spełniona mimo braku pełnej symetrii złożonej.

W praktyce badacz nie powinien utożsamiać tych pojęć. Dla poprawności jednoczynnikowej ANOVA z powtarzanymi pomiarami kluczowy jest warunek sferyczności, ponieważ od niego zależy poprawność nominalnych stopni swobody dla testu F.

3. Co dzieje się po naruszeniu sferyczności?

W analizie wariancji statystyka F porównuje zmienność wyjaśnianą przez czynnik z odpowiednią zmiennością błędu. Aby rozkład F był właściwy, potrzebne są określone stopnie swobody. Gdy sferyczność jest naruszona, nominalne stopnie swobody mogą być zbyt duże. W efekcie wartość p może być zaniżona.

Nie oznacza to, że sama średnia różnica między warunkami staje się błędna. Problem dotyczy przede wszystkim kalibracji testu globalnego i jego wartości p. Dlatego naruszenie sferyczności nie wymaga automatycznie rezygnacji z analizy powtarzanych pomiarów. Wymaga natomiast zastosowania odpowiedniej korekty albo innego modelu, na przykład modelu mieszanego.

4. Test Mauchly’ego

Najczęściej stosowanym formalnym narzędziem oceny sferyczności jest test Mauchly’ego (Mauchly, 1940). Hipoteza zerowa zakłada, że sferyczność jest spełniona. Hipoteza alternatywna mówi, że warunek ten jest naruszony.

Interpretacja jest następująca:

• p ≥ 0,05 — nie odrzucamy hipotezy o sferyczności; dane nie dostarczają wystarczających podstaw do stwierdzenia naruszenia;
• p < 0,05 — odrzucamy hipotezę o sferyczności; należy zastosować korektę stopni swobody albo alternatywną metodę analizy.

Trzeba jednak zachować ostrożność. Brak istotności testu Mauchly’ego nie dowodzi, że sferyczność na pewno zachodzi. Przy małej próbie test może mieć małą moc i nie wykryć rzeczywistego naruszenia. Z kolei przy dużej próbie nawet niewielkie odstępstwo może dać istotny wynik. Test Mauchly’ego nie powinien więc być jedynym kryterium decyzji. Należy uwzględnić liczbę pomiarów, liczebność próby, macierz korelacji, wartość estymatora epsilon oraz sens merytoryczny danych.

Warto także pamiętać, że wartość p testu Mauchly’ego nie jest prawdopodobieństwem prawdziwości sferyczności. Jest prawdopodobieństwem uzyskania wyniku co najmniej tak niezgodnego z hipotezą zerową, przy założeniu tej hipotezy i modelu testu.

5. Poprawka Greenhouse’a–Geissera

Jeżeli sferyczność jest naruszona, można skorygować stopnie swobody testu F. Najbardziej znana jest poprawka Greenhouse’a–Geissera, zaproponowana przez Greenhouse’a i Geissera (1959).

Jej istotą jest pomnożenie obu stopni swobody przez współczynnik ε, nazywany epsilonem Greenhouse’a–Geissera:

df1* = ε × df1
df2* = ε × df2

Gdzie:

• df1 — pierwotne, niekorygowane stopnie swobody licznika;
• df2 — pierwotne stopnie swobody mianownika;
• ε — oszacowany współczynnik sferyczności;
• df1* i df2* — skorygowane stopnie swobody używane do oceny statystyki F.

Wartość epsilonu mieści się w zakresie:

1/(k − 1) ≤ ε ≤ 1

gdzie k oznacza liczbę poziomów czynnika wewnątrzobiektowego. Jeżeli są trzy poziomy, minimalna wartość wynosi 1/2. Przy czterech poziomach minimum to 1/3. Wartość ε = 1 oznacza pełną zgodność z założeniem sferyczności. Im mniejszy epsilon, tym silniejsza korekta.

W praktyce statystyka F pozostaje taka sama, ale zmieniają się stopnie swobody, a przez to wartość p i przedział krytyczny rozkładu F. Korekta zwykle zwiększa wartość p, ponieważ ogranicza nominalną informację o liczbie niezależnych kontrastów.

Estymacja epsilonu

Współczynnik ε jest estymowany z danych. Estymator Greenhouse’a–Geissera może być obciążony w kierunku zaniżania, szczególnie przy mniejszych próbach. Dlatego w niektórych analizach podaje się również poprawkę Huynha–Feldta, która bywa mniej konserwatywna, gdy oszacowany epsilon jest stosunkowo duży (Huynh i Feldt, 1976).

Jeżeli oprogramowanie pokazuje zarówno wiersz „Greenhouse–Geisser”, jak i „Huynh–Feldt”, badacz powinien z góry określić strategię analizy, a nie wybierać korekty wyłącznie na podstawie tego, która daje mniejszą wartość p. W raporcie należy wskazać zastosowaną korektę i podać jej wartość ε.

6. Przykład medyczny: ból w trzech punktach czasowych

Załóżmy, że 24 pacjentów oceniono pod względem nasilenia bólu w skali 0–10 przed rehabilitacją, po dwóch tygodniach i po sześciu tygodniach. Zastosowano jednoczynnikową ANOVA z powtarzanymi pomiarami.

Wynik testu Mauchly’ego wyniósł W = 0,71; p = 0,018. Ponieważ p < 0,05, dane wskazują na naruszenie sferyczności. Niekorygowany wynik mógłby wyglądać następująco: F(2, 46) = 8,40; p = 0,001.

Załóżmy, że ε_GG = 0,76. Skorygowane stopnie swobody wynoszą:

df1* = 0,76 × 2 = 1,52
df2* = 0,76 × 46 = 34,96

W raporcie można więc zapisać: W teście Mauchly’ego stwierdzono naruszenie sferyczności, W = 0,71, p = 0,018. Po zastosowaniu poprawki Greenhouse’a–Geissera, ε = 0,76, efekt czasu był istotny statystycznie, F(1,52; 34,96) = 8,40, p = 0,001.

Sam wynik nie mówi jeszcze, między którymi wizytami wystąpiły różnice ani czy zmiana była ważna klinicznie. Należy przedstawić średnie, miary zmienności, przedziały ufności oraz zaplanowane kontrasty lub odpowiednio skorygowane porównania par. Warto też opisać wielkość efektu, na przykład uogólnione eta kwadrat, które jest rekomendowane dla projektów z powtarzanymi pomiarami (Bakeman, 2005).

7. Przykład psychologiczny: reakcja na trzy warunki eksperymentalne

W badaniu psychologicznym 40 osób wykonuje zadanie poznawcze w warunku ciszy, przy hałasie oraz przy muzyce. Każda osoba uczestniczy w każdym warunku, a wynikiem jest czas reakcji. Test Mauchly’ego nie jest istotny, p = 0,28, więc nie ma podstaw do odrzucenia założenia sferyczności.

Badacz może przedstawić wynik bez korekty, ale powinien nadal raportować średnie czasy reakcji i ich przedziały ufności. Przykładowo: Nie stwierdzono naruszenia sferyczności, W = 0,93, p = 0,28. Czynnik warunku był związany z czasem reakcji, F(2, 78) = 5,62, p = 0,005, η_G² = 0,08.

Wartość p wskazuje na zgodność danych z hipotezą o braku różnic między warunkami tylko w sensie testu statystycznego. Nie jest miarą wielkości ani znaczenia psychologicznego efektu. To właśnie dlatego wynik powinien być uzupełniony o wielkość efektu i opis różnic w jednostkach czasu.

8. Przykład praktyczny: jak czytać tabelę z programu statystycznego?

W wielu programach wynik ANOVA z powtarzanymi pomiarami zawiera kilka wierszy: „Sphericity Assumed”, „Greenhouse–Geisser”, „Huynh–Feldt” oraz „Lower-bound”. Nie są to cztery niezależne analizy naukowe, lecz różne wersje stopni swobody dla tego samego efektu.

1. Najpierw sprawdź, czy czynnik ma co najmniej trzy poziomy.
2. Odczytaj wynik testu Mauchly’ego.
3. Jeśli sferyczność jest utrzymana, można użyć wiersza bez korekty.
4. Jeśli jest naruszona, wybierz z góry określoną korektę, najczęściej Greenhouse’a–Geissera lub Huynha–Feldta.
5. Podaj ε, skorygowane stopnie swobody, F i wartość p.
6. Uzupełnij wynik o średnie, przedziały ufności, wielkość efektu i porównania szczegółowe, jeśli są potrzebne.

Najczęstsze błędy

• Stosowanie testu Mauchly’ego przy dwóch poziomach. Przy dwóch poziomach sferyczność jest automatyczna.
• Traktowanie p > 0,05 jako dowodu sferyczności. To jedynie brak wystarczających podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej.
• Raportowanie tylko wyniku niekorygowanego. Jeżeli sferyczność jest naruszona, należy podać wynik po korekcie.
• Mylenie sferyczności z równością wariancji pomiarów. Sferyczność dotyczy wariancji różnic między poziomami.
• Automatyczny wybór najmniejszej wartości p. Korekta powinna wynikać z planu analizy i założeń, nie z selekcji korzystnego rezultatu.
• Brak opisu wielkości efektu. Istotność statystyczna nie mówi, czy zmiana jest klinicznie lub społecznie ważna.
• Wnioskowanie przyczynowe bez odpowiedniego projektu. Sama ANOVA z pomiarami powtarzanymi nie gwarantuje, że zaobserwowane zmiany zostały spowodowane przez interwencję.
• Pomijanie braków danych. Klasyczna ANOVA z powtarzanymi pomiarami może wymagać kompletności obserwacji; przy brakach danych warto rozważyć model mieszany.

Jak raportować wynik?

Zgodnie z dobrymi standardami raportowania należy opisać: liczbę osób, liczbę poziomów czynnika, sposób oceny sferyczności, wynik testu Mauchly’ego, wartość ε, zastosowaną korektę, skorygowane stopnie swobody, statystykę F, wartość p, wielkość efektu oraz — gdy ma to znaczenie — przedziały ufności i porównania post-hoc. Takie podejście jest zgodne z zasadą przejrzystości raportowania promowaną między innymi przez APA JARS (Appelbaum i in., 2018).

Przykładowy zapis: Test Mauchly’ego wskazał naruszenie sferyczności, W = 0,71, p = 0,018. Zastosowano korektę Greenhouse’a–Geissera, ε = 0,76. Efekt czasu był istotny, F(1,52; 34,96) = 8,40, p = 0,001, η_G² = 0,21. Średni ból zmniejszał się między kolejnymi pomiarami; różnice szczegółowe oceniono za pomocą zaplanowanych kontrastów z korektą na wielokrotne porównania.

Co warto zapamiętać?

• Sferyczność dotyczy równości wariancji różnic między poziomami czynnika wewnątrzobiektowego.
• Ma znaczenie przede wszystkim wtedy, gdy są co najmniej trzy powtarzane pomiary.
• Test Mauchly’ego pomaga ocenić naruszenie sferyczności, ale nie powinien być interpretowany mechanicznie.
• Poprawka Greenhouse’a–Geissera mnoży oba stopnie swobody przez epsilon ε.
• Po korekcie raportuje się skorygowane stopnie swobody i wartość p.
• Przy większym ε korekta jest łagodniejsza; przy mniejszym ε — silniejsza.
• Wynik ANOVA należy uzupełnić o wielkość efektu, przedziały ufności i opis różnic.
• Przy złożonych danych podłużnych alternatywą dla klasycznej ANOVA może być model mieszany.

W ramach publicznego szkolenia na statystyk.edu.pl warto połączyć tę lekcję z wcześniejszą analizą ANOVA z powtarzanymi pomiarami oraz późniejszymi tematami dotyczącymi kontrastów, wielkości efektu i modeli mieszanych. Najważniejsza zasada brzmi: nie wystarczy podać wartości p. Trzeba pokazać, jakie założenia sprawdzono, jak rozwiązano problem ich naruszenia i jak duże oraz praktycznie ważne były obserwowane różnice.

Źródła i dalsza lektura

1. Greenhouse, S. W., & Geisser, S. (1959). On methods in the analysis of profile data. Psychometrika, 24(2), 95–112. DOI: 10.1007/BF02289823.
2. Huynh, H., & Feldt, L. S. (1976). Estimation of the Box correction for degrees of freedom from sample data in randomized block and split-plot designs. Journal of Educational Statistics, 1(1), 69–82. DOI: 10.3102/10769986001001069.
3. Mauchly, J. W. (1940). Significance Test for Sphericity of a Normal n-Variate Distribution. The Annals of Mathematical Statistics, 11(2), 204–209. DOI: 10.1214/aoms/1177731915.
4. Girden, E. R. (1992). ANOVA: Repeated Measures. SAGE Publications. Informacja wydawcy / źródło.
5. Bakeman, R. (2005). Recommended effect size statistics for repeated measures designs. Behavior Research Methods, 37(3), 379–384. DOI: 10.3758/BF03192707.
6. Appelbaum, M., Cooper, H., Kline, R. B., Mayo-Wilson, E., Nezu, A. M., & Rao, S. M. (2018). Journal article reporting standards for quantitative research in psychology: The APA Publications and Communications Board task force report. American Psychologist, 73(1), 3–25. DOI: 10.1037/amp0000191.