188. Obliczanie próby dla dwóch pomiarów zależnych

W badaniach medycznych, psychologicznych i społecznych często porównuje się dwa wyniki uzyskane od tych samych osób. Może to być pomiar ciśnienia tętniczego przed i po interwencji, nasilenie bólu przed rozpoczęciem rehabilitacji i po jej zakończeniu albo wynik testu wiedzy przed szkoleniem i po nim. Taki schemat nazywamy układem dwóch pomiarów zależnych, ponieważ obserwacje są połączone parami: drugi wynik należy do tej samej osoby, której dotyczył pierwszy pomiar.

Planowanie liczebności próby w takim badaniu nie polega na mechanicznym wpisaniu liczby uczestników do kalkulatora. Najpierw trzeba zdefiniować główny efekt, czyli zmianę, którą badanie ma wykryć, oraz oszacować zmienność różnic między pomiarami. Dopiero wtedy można dobrać poziom istotności, moc i liczebność próby. W tej lekcji skupimy się na najczęstszym przypadku: planowaniu próby dla dwustronnego testu t dla prób zależnych. Zagadnienie to stanowi naturalne rozwinięcie lekcji 187 kursu na statystyk.edu.pl, dotyczącej dwóch średnich niezależnych.

1. Czym są dwa pomiary zależne?

Dwa pomiary są zależne, gdy wynik jednej obserwacji można jednoznacznie powiązać z wynikiem drugiej obserwacji. Najczęściej zależność wynika z powtarzanych pomiarów u tych samych osób, ale podobny układ może wystąpić także w badaniach parowanych, na przykład gdy każdemu pacjentowi przyporządkowano kontrolę o podobnych cechach.

• Pomiar przed–po: ta sama osoba jest badana przed interwencją i po niej.
• Dwie metody u tych samych osób: na przykład glikemia oznaczona metodą laboratoryjną i przy użyciu urządzenia przenośnego.
• Dwa warunki eksperymentalne: każdy uczestnik wykonuje zadanie w warunku A i B.
• Pary dopasowane: wyniki pochodzą od celowo dobranych par osób lub jednostek.

Kluczową jednostką analizy jest para, a nie pojedynczy pomiar. Dla każdej osoby oblicza się różnicę:

D_i = Y_{i2} - Y_{i1}

gdzie Y_{i1} oznacza pierwszy pomiar u osoby i, a Y_{i2} – drugi pomiar u tej samej osoby. Następnie analizuje się średnią różnicę ̄D. Test t dla prób zależnych jest więc równoważny testowi t dla jednej średniej, zastosowanemu do zmiennych różnicowych.

2. Co dokładnie planujemy wykryć?

W planowaniu próby należy określić minimalną istotną różnicę, oznaczaną często przez Δ. Jest to najmniejsza zmiana, którą uznajemy za ważną z naukowego, klinicznego, psychologicznego lub praktycznego punktu widzenia. Nie musi być ona równa zmianie najbardziej prawdopodobnej. Powinna odpowiadać efektowi, którego niewykrycie byłoby istotnym problemem interpretacyjnym.

Przykładowo:

• w badaniu bólu za klinicznie ważną można uznać redukcję o określoną liczbę punktów skali;
• w badaniu ciśnienia tętniczego znaczenie może mieć określone obniżenie średniego ciśnienia skurczowego;
• w badaniu psychologicznym ważna może być poprawa wyniku kwestionariusza o ustaloną wcześniej wartość;
• w badaniu diagnostycznym celem może być wykazanie, że średnia różnica między dwiema metodami nie przekracza akceptowalnego marginesu.

Wielkość efektu należy odróżnić od istotności statystycznej. Mała różnica może osiągnąć wartość p mniejszą od przyjętego poziomu alfa w bardzo dużej próbie, ale nie musi mieć znaczenia praktycznego. Z kolei sensowna klinicznie zmiana może nie zostać wykryta w małej próbie. Dlatego liczebność należy planować wokół efektu ważnego merytorycznie, a nie wokół arbitralnego oczekiwania „istotnego wyniku”.

3. Wzór dla dwóch pomiarów zależnych

Dla dwustronnego testu t dla prób zależnych można wykorzystać przybliżony wzór:

n = [(z1−α/2 + z1−β) × σD / Δ]2

Wzór oznacza:

• n – liczba kompletnych par pomiarów, czyli liczba osób z wynikiem w obu punktach czasowych;
• α – poziom błędu I rodzaju, na przykład 0,05;
• z_1−α/2 – kwantyl rozkładu normalnego odpowiadający dwustronnemu poziomowi alfa; dla α = 0,05 wynosi około 1,96;
• β – prawdopodobieństwo błędu II rodzaju;
• 1−β – moc statystyczna; dla mocy 0,80 wartość z1−β wynosi około 0,84;
• σ_D – odchylenie standardowe różnic między dwoma pomiarami;
• Δ – zakładana minimalna istotna średnia różnica.

W praktycznym planowaniu wynik należy zaokrąglić w górę. Warto pamiętać, że wzór ma charakter przybliżony. Dokładne kalkulatory, takie jak G*Power, wykorzystują rozkład t niecentralnego i mogą zwrócić wynik nieco różniący się od prostego przybliżenia. Programy do analizy mocy są użyteczne, ale nie zastępują uzasadnienia parametrów wejściowych (Faul et al., 2007; Faul et al., 2009).

4. Dlaczego ważne jest odchylenie standardowe różnic?

W przypadku pomiarów zależnych nie wystarczy znać odchylenia standardowego pierwszego i drugiego pomiaru. Potrzebne jest odchylenie standardowe ich różnic. Wynika to z tożsamości:

σD2 = σ12 + σ22 − 2rσ1σ2

gdzie r oznacza korelację między pierwszym i drugim pomiarem. Jeżeli oba pomiary są dodatnio skorelowane, składnik −2rσ1σ2 zmniejsza wariancję różnic. Oznacza to, że powtarzany pomiar może być bardziej efektywny niż porównanie dwóch niezależnych grup. Każda osoba pełni częściowo funkcję własnej kontroli, a stałe cechy uczestników są w dużym stopniu usuwane przez obliczenie różnicy.

Nie należy jednak zakładać wysokiej korelacji bez uzasadnienia. Korelację można oszacować na podstawie pilotażu, wcześniejszego badania, danych archiwalnych lub wiarygodnego przeglądu literatury. Gdy niepewność jest duża, rozsądne jest wykonanie analizy wrażliwości dla kilku wartości, na przykład r = 0,30, 0,50 i 0,70. Pozwala to ocenić, czy wniosek o wymaganej liczebności jest stabilny.

5. Przykład 1: ciśnienie tętnicze przed i po interwencji

Załóżmy, że zespół badawczy planuje ocenę programu edukacyjnego dla osób z nadciśnieniem. Każdy uczestnik będzie miał zmierzone skurczowe ciśnienie tętnicze przed rozpoczęciem programu i po 12 tygodniach. Głównym wynikiem będzie różnica między pomiarem po programie a pomiarem wyjściowym.

Badacze przyjmują:

• minimalną ważną zmianę: Δ = 5 mmHg;
• odchylenie standardowe różnic: σD = 10 mmHg;
• dwustronne α = 0,05;
• moc 1−β = 0,80.

Podstawiamy wartości do wzoru:

n = [(1,96 + 0,84) × 10 / 5]2 = [2,80 × 2]2 = 31,36

Po zaokrągleniu potrzeba co najmniej 32 kompletnych par pomiarów. Jeżeli przewidywane jest 10% niekompletnych obserwacji, liczebność rekrutacji można skorygować następująco:

nrekrutacja = 32 / (1 − 0,10) = 35,56

Należy więc zaplanować rekrutację co najmniej 36 osób. Ta liczba zakłada, że główną analizą będzie porównanie dwóch pomiarów zależnych. Jeżeli projekt przewiduje dodatkowo kilka punktów czasowych, grupę kontrolną, analizę podgrup albo korektę o współzmienne, liczebność może wymagać odrębnego planowania.

6. Przykład 2: wynik testu wiedzy u studentów pielęgniarstwa

W drugim badaniu oceniany jest krótki moduł szkoleniowy dotyczący rozpoznawania objawów sepsy. Studenci rozwiązują ten sam lub równoważny test przed szkoleniem i tydzień po nim. Badacze uznają, że poprawa o 4 punkty w skali testu będzie praktycznie ważna. Na podstawie pilotażu przyjmują odchylenie standardowe różnic równe 8 punktów.

Dla α = 0,05 i mocy 0,90 przyjmujemy z1−β = 1,28. Otrzymujemy:

n = [(1,96 + 1,28) × 8 / 4]2 = [3,24 × 2]2 = 41,99

Potrzeba zatem około 42 osób z kompletnymi wynikami. Przy przewidywanym 15% odsetku utraty obserwacji:

nrekrutacja = 42 / 0,85 = 49,41

W praktyce należałoby zaprosić co najmniej 50 osób. W tym przykładzie zwiększenie mocy z 0,80 do 0,90 wyraźnie podniosło wymaganą liczebność. Jest to koszt mniejszego ryzyka przeoczenia rzeczywistej poprawy.

7. Jak wykonać obliczenie w programie?

W G*Power należy wybrać test odpowiadający porównaniu dwóch pomiarów zależnych, zwykle opisany jako Means: Difference between two dependent means (matched pairs). Następnie wprowadza się:

1. oczekiwany efekt, często jako standaryzowaną różnicę dz = Δ / σD;
2. poziom alfa;
3. oczekiwaną moc;
4. informację, czy test ma być jedno- czy dwustronny.

W przykładzie z ciśnieniem dz = 5/10 = 0,50. Jest to standaryzowana wielkość efektu dla różnic, a nie różnica standaryzowana przez odchylenie standardowe jednego z pomiarów. To rozróżnienie jest ważne: w badaniu zależnym mianownikiem jest zmienność różnic.

Raportując plan liczebności, należy podać nie tylko wynik programu, ale też wszystkie założenia: główną zmienną, minimalną istotną zmianę, źródło odchylenia standardowego różnic, poziom alfa, moc, kierunkowość testu oraz sposób uwzględnienia brakujących obserwacji. Takie postępowanie zwiększa przejrzystość i pozwala ocenić, czy obliczenie odpowiada rzeczywistemu projektowi badania (Schulz et al., 2010).

8. Kiedy test t dla prób zależnych nie wystarcza?

Wzór przedstawiony w tej lekcji dotyczy prostego porównania dwóch średnich różnic. Nie zawsze będzie to właściwy model analizy.

• Jeżeli wynik jest silnie skośny, a próba mała, można rozważyć test rang podpisanych Wilcoxona, ale jego moc i liczebność powinny być planowane z użyciem odpowiedniego modelu lub symulacji.
• Jeżeli występują trzy lub więcej punktów czasowych, zwykle właściwszy będzie model dla pomiarów powtarzanych albo model mieszany.
• Jeżeli badanie obejmuje grupę interwencyjną i kontrolną oraz pomiary przed i po, często analizuje się różnicę zmian między grupami albo stosuje analizę kowariancji. Nie należy wtedy używać wzoru dla jednej grupy bez uwzględnienia całego projektu.
• Jeżeli pomiary służą ocenie zgodności dwóch metod, sam test t dla różnic nie odpowiada na wszystkie pytania. Średnia różnica może być bliska zeru mimo dużej niezgodności u poszczególnych osób. Potrzebna może być analiza zgodności, w tym wykresy Bland–Altman (Bland i Altman, 1995).

W badaniach kontrolowanych analiza zmiany od wartości wyjściowej może być mniej efektywna niż analiza końcowego wyniku z korektą o wartość wyjściową, szczególnie gdy pomiary początkowy i końcowy są silnie skorelowane. Wybór powinien wynikać z pytania badawczego, planu analizy i charakterystyki danych, a nie wyłącznie z dostępności prostego wzoru (Vickers i Altman, 2001).

Najczęstsze błędy

• Traktowanie pomiarów jako niezależnych. Prowadzi to do zastosowania niewłaściwego wzoru i może zawyżyć lub zaniżyć wymaganą liczebność.
• Używanie odchylenia standardowego pojedynczego pomiaru zamiast odchylenia różnic. W układzie zależnym najważniejsza jest zmienność wartości Di.
• Brak uzasadnienia dla minimalnej różnicy. Parametr Δ powinien wynikać ze znaczenia klinicznego, psychologicznego lub praktycznego, a nie tylko z wygody obliczeń.
• Wpisywanie do kalkulatora oczekiwanego współczynnika korelacji bez analizy wrażliwości. Korelacja może być inna w populacji docelowej niż w pilotażu.
• Nieuwzględnienie wykruszania. Wymagana liczba kompletnych par nie jest tym samym co liczba osób, które trzeba zrekrutować.
• Zmiana testu po zakończeniu badania. Jeśli projekt zakłada test dwustronny, późniejsze przejście na test jednostronny tylko dlatego, że kierunek efektu okazał się korzystny, jest nieprawidłowe.
• Interpretowanie braku istotności jako dowodu braku efektu. Wynik nieistotny statystycznie może oznaczać zarówno niewielki efekt, jak i zbyt małą moc. Należy ocenić przedział ufności i zgodność oszacowania z wartościami ważnymi praktycznie.
• Planowanie wielu wyników głównych bez korekty. Wybór jednego głównego punktu końcowego powinien być dokonany przed analizą, a dodatkowe hipotezy należy jasno oznaczyć.

Przykład praktyczny: analiza przypadku

Badacze chcą ocenić, czy sześciotygodniowy program ćwiczeń oddechowych zmniejsza nasilenie duszności u osób po hospitalizacji. Wynik jest mierzony skalą od 0 do 10 przed rozpoczęciem programu i po jego zakończeniu. Z wcześniejszych danych wynika, że odchylenie standardowe różnic może wynosić 2,5 punktu. Za minimalnie ważną uznaje się zmianę 1 punktu.

Dla dwustronnego alfa 0,05 i mocy 0,80:

n = [(1,96 + 0,84) × 2,5 / 1]2 = 49

Badanie powinno więc dostarczyć około 49 kompletnych par. Jeżeli autorzy spodziewają się 20% utraty obserwacji, rekrutacja powinna objąć:

49 / 0,80 = 61,25

Po zaokrągleniu oznacza to co najmniej 62 osoby. W protokole należy wyraźnie zapisać, że 49 to liczba uczestników potrzebnych do analizy, natomiast 62 to planowana liczba rekrutacji. Jeżeli utrata obserwacji będzie większa, końcowa moc może być niższa od zaplanowanej.

Warto też określić, co stanie się z osobą, która wykonała tylko pomiar początkowy. W najprostszym teście parowanym nie można obliczyć jej różnicy. Jeżeli jednak brakujące dane są prawdopodobne, plan analizy może wymagać modelu mieszanego lub wcześniej określonej metody imputacji. Sama korekta liczebności nie rozwiązuje problemu systematycznego braku danych.

Co warto zapamiętać?

• W badaniu dwóch pomiarów zależnych analizowana jest różnica wewnątrz pary, a nie dwa niezależne zbiory wyników.
• Podstawą obliczenia jest minimalna ważna różnica Δ i odchylenie standardowe różnic σD.
• Dla dwustronnego testu t przybliżony wzór ma postać: n = [(z1−α/2 + z1−β) × σD / Δ]2.
• Wyższa oczekiwana zmienność zwiększa wymaganą próbę, a większa minimalna różnica ją zmniejsza.
• Wyższa moc wymaga większej liczby kompletnych par.
• Do liczby potrzebnej w analizie trzeba dodać zapas na wykruszanie i brakujące pomiary.
• Nie należy utożsamiać istotności statystycznej z ważnością kliniczną lub praktyczną.
• Jeżeli projekt obejmuje grupę kontrolną, wiele punktów czasowych, pomiary diagnostyczne albo znaczną liczbę braków danych, potrzebne może być bardziej złożone planowanie.

Dobrze zaplanowana próba dla pomiarów zależnych wynika z połączenia pytania merytorycznego, informacji o zmienności danych i jawnych założeń statystycznych. Sam wynik kalkulatora nie jest jeszcze uzasadnieniem liczebności. Jest nim dopiero przejrzysty opis tego, jaki efekt badanie ma wykryć, z jaką pewnością i przy jakich założeniach dotyczących jakości pomiarów oraz kompletności obserwacji.

Źródła i dalsza lektura

1. Faul, Franz; Erdfelder, Edgar; Lang, Albert-Georg; Buchner, Axel (2007). G*Power 3: A flexible statistical power analysis program for the social, behavioral, and biomedical sciences. Behavior Research Methods, 39(2), 175–191. DOI: 10.3758/BF03193146.
2. Faul, Franz; Erdfelder, Edgar; Buchner, Axel; Lang, Albert-Georg (2009). Statistical power analyses using G*Power 3.1: Tests for correlation and regression analyses. Behavior Research Methods, 41(4), 1149–1160. DOI: 10.3758/BRM.41.4.1149.
3. Bland, J. Martin; Altman, Douglas G. (1995). Comparing methods of measurement: why plotting difference against standard method is misleading. The Lancet, 346(8982), 1085–1087. DOI: 10.1016/S0140-6736(95)91748-9.
4. Vickers, Andrew J.; Altman, Douglas G. (2001). Analysing controlled trials with baseline and follow up measurements. BMJ, 323(7321), 1123–1124. DOI: 10.1136/bmj.323.7321.1123.
5. Schulz, Kenneth F.; Altman, Douglas G.; Moher, David; for the CONSORT Group (2010). CONSORT 2010 Statement: updated guidelines for reporting parallel group randomised trials. BMJ, 340, c332. DOI: 10.1136/bmj.c332.
6. Kirkwood, Betty R.; Sterne, Jonathan A. C. (2003). Essential Medical Statistics. 2nd edition. Blackwell Science.