189. Obliczanie próby dla jednej proporcji

W wielu badaniach wynik ma postać dychotomiczną: pacjent przeżył albo nie, wystąpiło zakażenie albo nie, respondent zaakceptował program albo go odrzucił, a badany uzyskał wynik pozytywny albo negatywny. Jeżeli celem jest oszacowanie częstości takiego zdarzenia w jednej populacji, podstawową miarą staje się jedna proporcja. W tej lekcji pokażemy, jak zaplanować liczebność próby, aby oszacowanie było wystarczająco precyzyjne.

Temat jest naturalnym rozwinięciem wcześniejszych lekcji modułu 10 dotyczących wielkości efektu, mocy i liczebności próby. Warto jednak od początku rozróżnić dwa cele: estymację proporcji z określoną precyzją oraz testowanie hipotezy o proporcji. Wzór omawiany w tej lekcji służy przede wszystkim pierwszemu celowi. Jeżeli badacz chce sprawdzić, czy proporcja różni się od określonej wartości referencyjnej, potrzebne może być planowanie oparte bezpośrednio na mocy testu.

1. Czym jest jedna proporcja?

Proporcja opisuje udział jednostek posiadających określoną cechę w całej badanej grupie. Oznaczamy ją zwykle przez p. Jeżeli spośród n osób u x wystąpiło zdarzenie, obserwowana proporcja wynosi:

p̂ = x / n

Symbol p̂ czytamy „p z daszkiem”. Jest to oszacowanie nieznanej proporcji populacyjnej p. Proporcję można wyrażać jako ułamek, liczbę od 0 do 1 albo procent. Na przykład p̂ = 0,18 oznacza 18% badanej grupy.

W klasycznym modelu zakłada się, że każda obserwacja ma dwa możliwe wyniki, a prawdopodobieństwo zdarzenia jest takie samo dla wszystkich jednostek. Wtedy liczba zdarzeń ma rozkład dwumianowy. Założenie to może być nieadekwatne, gdy obserwacje są zależne, pochodzą z klastrów, uczestnicy mają bardzo różne prawdopodobieństwa włączenia albo wynik jest wielokrotny, a nie dychotomiczny.

2. Co oznacza „wystarczająco duża” próba?

W badaniu jednej proporcji liczebność próby najczęściej planuje się tak, aby przedział ufności miał z góry określoną szerokość. Badacz ustala:

• poziom ufności, na przykład 95%;
• maksymalny dopuszczalny margines błędu, na przykład 5 punktów procentowych;
• oczekiwaną proporcję w populacji, na przykład 30%;
• ewentualne czynniki zwiększające próbę, takie jak wykruszanie, dobór klastrowy lub ograniczona liczebność populacji.

Przedział ufności 95% nie oznacza, że prawdopodobieństwo, iż konkretny obliczony przedział zawiera prawdziwe p, wynosi 95%. W ujęciu częstościowym 95% odnosi się do długookresowej skuteczności procedury: gdybyśmy wielokrotnie powtarzali badanie i konstruowali przedziały tą samą metodą, około 95% z nich obejmowałoby prawdziwą wartość parametru.

Margines błędu d jest połową szerokości planowanego przedziału. Jeżeli badacz wymaga dokładności ±5 punktów procentowych, to w obliczeniach używa d = 0,05, a nie 5.

3. Podstawowy wzór na liczebność próby

Dla jednej proporcji, przy planowaniu dwustronnego przedziału ufności i wykorzystaniu przybliżenia normalnego, stosuje się wzór:

n = Z²1−α/2 × p0(1 − p0) / d²

Znaczenie symboli jest następujące:

• n – wymagana liczebność próby;
• Z_1−α/2 – kwantyl standardowego rozkładu normalnego odpowiadający wybranemu poziomowi ufności;
• α – poziom błędu pierwszego rodzaju, czyli dopełnienie poziomu ufności;
• p₀ – przewidywana proporcja w populacji;
• 1 − p₀ – przewidywany udział jednostek bez zdarzenia;
• d – wymagany margines błędu wyrażony jako proporcja.

Najczęściej używane wartości kwantyla to: 1,645 dla 90% poziomu ufności, 1,96 dla 95% oraz 2,576 dla 99%. Po obliczeniu wynik należy zawsze zaokrąglić w górę do liczby całkowitej. Zaokrąglenie w dół mogłoby zmniejszyć założoną precyzję.

Dlaczego w mianowniku występuje d²?

Kwadrat marginesu błędu ma ważną konsekwencję praktyczną. Zmniejszenie dopuszczalnego błędu o połowę nie powoduje dwukrotnego, lecz około czterokrotnego wzrostu próby. Jeżeli zamiast ±5 punktów procentowych wymagamy ±2,5 punktu procentowego, liczebność rośnie w przybliżeniu czterokrotnie, przy pozostałych parametrach bez zmian.

4. Jak wybrać oczekiwaną proporcję?

Wartość p₀ powinna pochodzić z wcześniejszych badań, rejestru, pilotażu, danych urzędowych lub uzasadnionego modelu teoretycznego. Nie należy wybierać jej wyłącznie dlatego, że prowadzi do wygodnej liczebności próby.

Iloczyn p0(1 − p0) osiąga maksimum dla p₀ = 0,5. Jeżeli nie mamy żadnych wiarygodnych informacji o spodziewanej proporcji, przyjęcie 0,50 daje konserwatywną, czyli zwykle największą, wymaganą próbę. Nie oznacza to jednak, że 50% jest najlepszą prognozą merytoryczną; jest to rozwiązanie zabezpieczające przed niedoszacowaniem liczebności.

Gdy spodziewana proporcja jest bardzo mała lub bardzo duża, prosty wzór normalny może dawać nieadekwatne przybliżenie, zwłaszcza przy małej liczbie oczekiwanych zdarzeń. W takich sytuacjach należy rozważyć dokładne metody dwumianowe albo przedziały oparte na statystyce score, na przykład przedział Wilsona. Klasyczny przedział Walda, obliczany jako p̂ ± Z × √[p̂(1−p̂)/n], może być szczególnie problematyczny dla małych prób i proporcji bliskich 0 lub 1 (Wilson, 1927; Agresti i Coull, 1998; Newcombe, 1998).

5. Przykład 1: zakażenie po hospitalizacji

Szpital chce oszacować odsetek pacjentów, u których w ciągu 30 dni od wypisu występuje zakażenie związane z hospitalizacją. Na podstawie wcześniejszych danych przyjęto, że proporcja wynosi około 30%. Badacze wymagają 95% poziomu ufności i marginesu błędu nie większego niż ±5 punktów procentowych.

Dane do wzoru:

• p0 = 0,30;
• 1 − p0 = 0,70;
• Z = 1,96;
• d = 0,05.

Podstawienie:

n = 1,96² × 0,30 × 0,70 / 0,05²

n = 3,8416 × 0,21 / 0,0025 = 322,7

Minimalna liczebność wynosi więc 323 pacjentów z kompletną obserwacją. Jeżeli badacze przewidują 15% utraty obserwacji, nie wystarczy dodać 15% do 323. Poprawna korekta ma postać:

nrekrutacja = n / (1 − odsetek utraty)

nrekrutacja = 323 / 0,85 = 380,0

Należy zatem zaplanować rekrutację co najmniej 380 osób, a w praktyce można przyjąć 381, jeżeli program lub protokół wymaga jednoznacznego zaokrąglenia w górę. Liczba 323 dotyczy osób, dla których dostępny będzie wynik końcowy, natomiast liczba po korekcie dotyczy osób włączonych do badania.

6. Przykład 2: rozpowszechnienie objawów depresyjnych

Badanie przekrojowe ma oszacować odsetek studentów pielęgniarstwa z objawami depresyjnymi powyżej ustalonego progu kwestionariusza. Z wcześniejszych badań wynika, że można oczekiwać proporcji około 50%. Badacze chcą uzyskać 95% poziom ufności i margines błędu ±3 punkty procentowe.

Obliczenie:

n = 1,96² × 0,50 × 0,50 / 0,03²

n = 3,8416 × 0,25 / 0,0009 = 1067,1

Potrzeba zatem co najmniej 1068 kompletnych obserwacji. Przy przewidywanym 10% odsetku braków danych:

nrekrutacja = 1068 / 0,90 = 1186,7

Należy zaplanować około 1187 osób. Ten przykład pokazuje, że wymaganie większej precyzji ma wysoką cenę: zmiana marginesu błędu z 5% na 3% może wyraźnie zwiększyć liczebność próby.

7. Jedna proporcja a moc statystyczna

Planowanie precyzji i planowanie mocy nie są tym samym. W podejściu opartym na precyzji pytamy: jak liczna próba pozwoli oszacować proporcję z określonym marginesem błędu? W podejściu opartym na mocy pytamy: jak liczna próba umożliwi wykrycie różnicy między wartością rzeczywistą a wartością z hipotezy zerowej?

Jeżeli głównym celem jest test hipotezy, na przykład sprawdzenie, czy odsetek powikłań różni się od akceptowalnego poziomu 10%, należy określić co najmniej: proporcję z hipotezy zerowej, proporcję uznawaną za istotnie różną, poziom α, pożądaną moc oraz charakter testu jedno- lub dwustronnego. Wynik takiej kalkulacji może różnić się od liczebności uzyskanej ze wzoru na margines błędu.

W protokole należy wskazać, który cel jest nadrzędny. Jeżeli badanie ma przede wszystkim dostarczyć wiarygodnego oszacowania rozpowszechnienia, uzasadnieniem liczebności będzie precyzja przedziału. Jeżeli ma rozstrzygnąć określoną hipotezę, potrzebne jest planowanie mocy. W raportowaniu badania należy opisać założenia obliczenia, a nie tylko podać końcową liczbę uczestników; jest to zgodne z dobrymi praktykami raportowania badań obserwacyjnych i innych badań zdrowotnych (von Elm i in., 2007).

8. Korekty i sytuacje szczególne

Ograniczona populacja

Jeżeli próba stanowi znaczną część całej populacji, można zastosować poprawkę na skończoną populację:

nkorr = n / [1 + (n − 1) / N]

gdzie N oznacza liczebność populacji. Przykładowo, gdy badacz chce zbadać całą dostępną listę 1200 osób, a wzór podstawowy daje 323 osoby, poprawka może zmniejszyć wymaganą próbę. Nie należy jednak stosować jej automatycznie, gdy populacja docelowa jest duża, hipotetyczna lub znacznie szersza niż lista osób dostępnych w badaniu.

Dobór klastrowy

W badaniu, w którym uczestnicy są rekrutowani w szkołach, oddziałach, poradniach lub gminach, osoby z tego samego klastra bywają do siebie bardziej podobne niż osoby z różnych klastrów. Wtedy efektywna liczebność jest mniejsza niż wynikałoby to z liczby zrekrutowanych osób. Należy uwzględnić efekt planu, często zapisywany jako DEFF:

nklastrowe = n × DEFF

Wartość DEFF powinna wynikać z informacji o średniej liczebności klastra i korelacji wewnątrz klastra albo z danych pilotażowych. Prosty wzór dla niezależnych obserwacji nie jest wystarczający dla takiego schematu.

Najczęstsze błędy

• Wpisywanie 5 zamiast 0,05. Margines błędu musi być zapisany jako proporcja.
• Zaokrąglanie w dół. Wynik należy zaokrąglić w górę.
• Dodawanie odsetka utraty zamiast dzielenia. Dla 20% utraty właściwa korekta to n / 0,80, a nie n × 1,20.
• Przyjmowanie p = 0,50 bez uzasadnienia. Jest to założenie konserwatywne, a nie uniwersalnie prawdziwe.
• Mylenie jednej proporcji z porównaniem dwóch proporcji. Jeżeli badanie obejmuje grupę interwencyjną i kontrolną, potrzebne jest planowanie dla dwóch proporcji.
• Ignorowanie zależności obserwacji. Powtarzane pomiary, pary lub klastry wymagają odrębnych metod.
• Traktowanie obliczonej liczby jako gwarancji reprezentatywności. Duża próba nie naprawi błędu doboru, niskiego odsetka odpowiedzi ani systematycznej selekcji uczestników.
• Raportowanie samej liczebności. Należy podać spodziewaną proporcję, poziom ufności, margines błędu, metodę obliczeń i korekty.

Przykład praktyczny: badanie ratowników medycznych

Zespół chce oszacować odsetek ratowników medycznych, którzy w ostatnich 12 miesiącach doświadczyli objawów wypalenia zawodowego powyżej ustalonego punktu odcięcia. Rejestr regionalny obejmuje 2400 osób. Wcześniejsze dane sugerują proporcję 40%. Przyjęto 95% poziom ufności i margines błędu ±4 punkty procentowe.

Najpierw obliczamy próbę bez korekty:

n = 1,96² × 0,40 × 0,60 / 0,04² = 576,2

Po zaokrągleniu potrzeba 577 kompletnych odpowiedzi. Ponieważ populacja ma skończoną liczebność, można zastosować korektę:

nkorr = 577 / [1 + (577 − 1) / 2400] = 466,0

Jeżeli przewidywany odsetek braków odpowiedzi wynosi 20%, planowana liczba zaproszonych osób wynosi:

466 / 0,80 = 582,5

Należy więc zaprosić co najmniej 583 ratowników. W tym przykładzie korekta na skończoną populację zmniejszyła liczbę wymaganych kompletnych odpowiedzi, ale korekta na brak odpowiedzi ponownie zwiększyła liczbę osób, które trzeba zaprosić. Ostateczna decyzja powinna uwzględniać także sposób losowania i możliwość różnego odsetka odpowiedzi w podgrupach.

Co warto zapamiętać?

• Jedna proporcja opisuje udział osób z określonym wynikiem w jednej populacji.
• Podstawowy wzór ma postać n = Z² × p(1−p) / d².
• Im wyższy poziom ufności i mniejszy margines błędu, tym większa próba.
• Gdy brak wiarygodnej informacji o proporcji, p = 0,50 daje konserwatywne planowanie.
• Po obliczeniu próby trzeba uwzględnić wykruszanie, brak odpowiedzi, dobór klastrowy i ewentualnie skończoną populację.
• Wzór na precyzję nie zastępuje analizy mocy, gdy głównym celem jest testowanie hipotezy.
• Dla małych prób oraz proporcji bliskich 0 lub 1 należy ostrożnie stosować przybliżenie normalne i rozważyć przedział Wilsona lub metodę dokładną.
• W raporcie trzeba ujawnić wszystkie założenia, a nie tylko podać końcową liczebność.

W praktyce planowania badań przedstawione zasady można połączyć z kalkulatorem statystycznym, analizą wykonalności rekrutacji i oceną jakości pomiaru. Materiał tej lekcji stanowi część publicznego szkolenia dostępnego na statystyk.edu.pl i powinien być stosowany razem z opisem projektu, populacji docelowej oraz planowanej analizy.

Źródła i dalsza lektura

1. Wilson, E. B. (1927). Probable Inference, the Law of Succession, and Statistical Inference. Journal of the American Statistical Association, 22(158), 209–212. DOI: 10.1080/01621459.1927.10502953.
2. Agresti, A.; Coull, B. A. (1998). Approximate Is Better than “Exact” for Interval Estimation of Binomial Proportions. The American Statistician, 52(2), 119–126. DOI: 10.1080/00031305.1998.10480550.
3. Newcombe, R. G. (1998). Two-sided confidence intervals for the single proportion: comparison of seven methods. Statistics in Medicine, 17(8), 857–872. DOI: 10.1002/(SICI)1097-0258(19980430)17:8<857::AID-SIM777>3.0.CO;2-E.
4. Kirkwood, B. R.; Sterne, J. A. C. (2003). Essential Medical Statistics. 2nd edition. Blackwell Science. Informacja wydawcy / źródło.
5. von Elm, E.; Altman, D. G.; Egger, M.; Pocock, S. J.; Gøtzsche, P. C.; Vandenbroucke, J. P.; for the STROBE Initiative (2007). The Strengthening the Reporting of Observational Studies in Epidemiology (STROBE) statement: guidelines for reporting observational studies. PLoS Medicine, 4(10), e296. DOI: 10.1371/journal.pmed.0040296.

Jeżeli potrzebujesz indywidualnego wsparcia w doborze metod, przygotowaniu bazy lub opracowaniu wyników badań, sprawdź analiza statystyczna.