187. Obliczanie próby dla dwóch średnich niezależnych

W tej lekcji przechodzimy od planowania próby dla jednej średniej do sytuacji, w której chcemy porównać dwie średnie pochodzące z niezależnych grup. Taki problem pojawia się między innymi w badaniach klinicznych, pielęgniarskich, psychologicznych i społecznych: porównujemy średnie ciśnienie tętnicze u osób otrzymujących dwa leczenia, średni poziom lęku w dwóch grupach studentów albo średni czas oczekiwania na pomoc w dwóch systemach organizacji ratownictwa.

Najważniejsze jest to, że liczebność próby nie wynika wyłącznie z liczby grup. Zależy przede wszystkim od różnicy, którą chcemy wykryć, zmienności wyniku, przyjętego poziomu alfa, wymaganej mocy oraz proporcji przydziału uczestników do grup. W praktyce obliczenie musi być związane z jasno określonym pierwszorzędowym wynikiem i planowaną analizą (Campbell, Julious i Altman, 1995; Julious, 2004).

1. Kiedy mówimy o dwóch średnich niezależnych?

Rozważamy dwie grupy, w których każda osoba dostarcza jeden wynik liczbowy, a obserwacje w jednej grupie nie są parami powiązane z obserwacjami w drugiej. Przykładowo:

• pacjenci są losowo przydzieleni do leczenia A albo leczenia B;
• pielęgniarki uczestniczą w szkoleniu tradycyjnym albo szkoleniu e-learningowym;
• mieszkańcy dwóch niezależnych dzielnic oceniają dostępność usług zdrowotnych;
• osoby z dwóch niezależnych grup społecznych uzyskują wyniki w tej samej skali psychologicznej.

W takiej sytuacji interesuje nas zazwyczaj różnica między średnimi populacyjnymi:

δ = μ₁ − μ₂

gdzie μ₁ i μ₂ oznaczają średnie w obu populacjach, a δ jest docelową różnicą, którą badanie powinno wykryć.

Określenie „niezależne” ma znaczenie metodologiczne. Jeżeli te same osoby mierzymy przed i po interwencji, nie mamy dwóch niezależnych grup, lecz dane zależne lub parowane. Wtedy stosuje się inną logikę planowania, opartą między innymi na zmienności różnic wewnątrzosobniczych.

2. Co właściwie planujemy wykryć?

Przed podstawieniem liczb do wzoru trzeba określić minimalną istotną różnicę. Jest to najmniejsza różnica między średnimi, która ma znaczenie kliniczne, psychologiczne, organizacyjne albo społeczne. Nie powinna być wybierana tylko dlatego, że łatwo ją uzyskać w rachunku.

Załóżmy, że w badaniu pacjentów z nadciśnieniem średnie skurczowe ciśnienie tętnicze ma być porównane między nowym programem opieki a standardową opieką. Jeżeli badacze uznają, że różnica 6 mmHg byłaby praktycznie ważna, to właśnie ta wartość może być docelową różnicą δ. Nie oznacza to, że mniejsze różnice nie istnieją. Oznacza natomiast, że badanie projektujemy tak, aby z określoną mocą wykryć różnicę wynoszącą co najmniej 6 mmHg.

Wielkość różnicy należy uzasadnić na podstawie wcześniejszych badań, opinii ekspertów, norm klinicznych, minimalnej ważnej zmiany lub konsekwencji decyzji. Wskazówki DELTA2 podkreślają, że założenia dotyczące różnicy docelowej powinny być jawne i uzasadnione, a nie ukryte w programie statystycznym (Cook et al., 2018).

3. Podstawowy wzór dla równych liczebności grup

Dla dwustronnego testu porównującego dwie niezależne średnie, przy założeniu równej liczebności grup i podobnej wariancji, często stosuje się przybliżenie:

n = 2 × (z₁₋α/₂ + z₁₋β)² × σ² / δ²

Wzór oznacza:

• n – wymagana liczebność w każdej grupie;
• z₁₋α/₂ – wartość krytyczna rozkładu normalnego dla dwustronnego poziomu istotności alfa;
• z₁₋β – kwantyl odpowiadający wymaganej mocy, czyli 1 − β;
• σ – przewidywane odchylenie standardowe wyniku w grupach;
• δ – minimalna różnica średnich, którą chcemy wykryć.

Dla często stosowanych ustawień α = 0,05 i mocy 80% przyjmujemy w przybliżeniu z₁₋α/₂ = 1,96 oraz z₁₋β = 0,84. Wzór zakłada dwustronną hipotezę alternatywną: interesuje nas zarówno sytuacja, w której średnia w grupie pierwszej jest większa, jak i sytuacja odwrotna.

W praktycznej analizie można zastosować dokładne obliczenie oparte na rozkładzie t-Studenta, szczególnie przy małych próbach. Przybliżenie normalne jest jednak bardzo użyteczne do zrozumienia zależności między parametrami i często daje wynik bliski obliczeniu programowemu (Julious, 2004; Clifton, Birks i Clifton, 2018).

Wielkość efektu standaryzowanego

Wzór można przekształcić, używając standaryzowanej różnicy średnich:

d = δ / σ

Po podstawieniu otrzymujemy:

n = 2 × (z₁₋α/₂ + z₁₋β)² / d²

Wartość d pokazuje, jak duża jest planowana różnica w jednostkach odchylenia standardowego. Im większa zmienność wyniku przy tej samej różnicy bezwzględnej, tym mniejsza jest standaryzowana wielkość efektu i tym większa próba jest potrzebna.

Nie należy jednak automatycznie przyjmować konwencjonalnych wartości „mały”, „średni” i „duży” efekt. Reguły te mogą być punktem orientacyjnym, ale nie zastępują oceny znaczenia praktycznego. W badaniu bólu różnica 1 punktu w skali może mieć inną wagę niż różnica 1 punktu w teście wiedzy. Cohenowskie podejście do analizy mocy jest użyteczne, lecz wymaga osadzenia w kontekście dziedziny (Cohen, 1988).

4. Jak parametry wpływają na liczebność próby?

Poziom istotności alfa

Zmniejszenie alfa, na przykład z 0,05 do 0,01, utrudnia odrzucenie hipotezy zerowej. Ogranicza to ryzyko błędu I rodzaju, ale zwykle zwiększa wymaganą próbę. W badaniach z wieloma pierwszorzędowymi hipotezami trzeba dodatkowo rozważyć kontrolę błędu wielokrotnych porównań.

Moc statystyczna

Moc 1 − β jest prawdopodobieństwem uzyskania wyniku prowadzącego do odrzucenia hipotezy zerowej, gdy w populacji istnieje założona różnica docelowa. Najczęściej planuje się moc 80% albo 90%. Moc nie jest prawdopodobieństwem, że hipoteza alternatywna jest prawdziwa, i nie gwarantuje uzyskania istotnego wyniku.

Odchylenie standardowe

Odchylenie standardowe opisuje rozrzut wyników w grupie. Jeżeli wyniki są bardziej zróżnicowane, trudniej odróżnić rzeczywistą różnicę średnich od przypadkowych wahań. Dlatego liczebność rośnie wraz z kwadratem σ. Niedoszacowanie zmienności może prowadzić do zbyt małej próby.

Różnica docelowa

Liczebność maleje wraz z kwadratem różnicy δ. Wykrycie różnicy dwukrotnie mniejszej wymaga orientacyjnie około czterokrotnie większej próby, jeżeli pozostałe parametry są stałe. To jedna z najważniejszych przyczyn, dla których badania nastawione na małe, ale potencjalnie ważne efekty wymagają dużej rekrutacji.

5. Przykład obliczeniowy: badanie ciśnienia tętniczego

Załóżmy następujący plan:

• pierwszorzędowy wynik: skurczowe ciśnienie tętnicze po 12 tygodniach;
• porównanie dwóch niezależnych grup;
• minimalna ważna różnica: δ = 6 mmHg;
• przewidywane odchylenie standardowe: σ = 12 mmHg;
• dwustronne α = 0,05;
• moc: 80%.

Podstawiamy dane:

n = 2 × (1,96 + 0,84)² × 12² / 6²

Najpierw obliczamy składniki:

• 1,96 + 0,84 = 2,80;
• 2,80² = 7,84;
• 12² = 144;
• 6² = 36.

Otrzymujemy:

n ≈ 2 × 7,84 × 144 / 36 ≈ 62,7

Po zaokrągleniu potrzeba około 63 osób w każdej grupie, czyli 126 osób z kompletnymi danymi. W dokładnym obliczeniu program może zwrócić nieco inną liczbę, ponieważ uwzględni rozkład t oraz stopnie swobody.

Jeżeli przewidujemy 15% utraty danych, nie wystarczy dodać 15% do 126. Należy podzielić przez odsetek uczestników, którzy prawdopodobnie pozostaną w analizie:

Nₐₙₐₗᵢzₐ = 126 / (1 − 0,15) = 126 / 0,85 ≈ 148,2

Po zaokrągleniu planujemy około 150 osób, najlepiej po 75 w każdej grupie. Korektę należy wykonać po obliczeniu liczby wymaganej do analizy, a nie przed nią.

6. Przykład z psychologii i zdrowia publicznego

Badacze chcą ocenić, czy krótki program psychoedukacyjny zmniejsza średni poziom lęku u studentów pierwszego roku. Wynik jest mierzony skalą, w której większy wynik oznacza większy lęk. Z wcześniejszych badań wynika, że odchylenie standardowe wynosi około 10 punktów. Za praktycznie ważną uznaje się różnicę 5 punktów. Badacze wybierają dwustronne α = 0,05 i moc 90%.

Dla mocy 90% przyjmujemy w przybliżeniu z₁₋β = 1,28:

n = 2 × (1,96 + 1,28)² × 10² / 5²

Wynik wynosi około:

n ≈ 2 × 3,24² × 100 / 25 ≈ 84,0

Potrzeba zatem około 84 studentów w każdej grupie, czyli 168 osób z kompletnym pomiarem. Przy spodziewanym wykruszeniu 20%:

168 / 0,80 = 210

Plan rekrutacyjny powinien obejmować około 210 osób, po 105 w każdej grupie. Ten przykład pokazuje, że zwiększenie mocy z 80% do 90% może istotnie zwiększyć próbę, ale decyzja powinna zależeć od konsekwencji błędu II rodzaju, dostępnych zasobów i znaczenia badanego problemu.

7. Równe czy nierówne liczebności grup?

Przy tej samej całkowitej liczbie uczestników największa moc jest zwykle osiągana przy podobnej liczebności obu grup. Dlatego w randomizowanych badaniach z dwoma ramionami często stosuje się przydział 1:1. Nierówny przydział może być uzasadniony, gdy jedna interwencja jest droższa, mniej dostępna albo gdy istnieją względy bezpieczeństwa.

Jeżeli stosunek liczebności wynosi k = n₂/n₁, ogólna zasada pozostaje taka sama, ale wzór musi uwzględnić sumę wariancji podzielonych przez liczebności:

SE(średnia₁ − średnia₂) = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂)

Przy nierównych wariancjach i liczebnościach lepiej posłużyć się programem wykonującym obliczenia dla testu Welcha albo dokładnej funkcji mocy. Nie należy bezrefleksyjnie używać prostego wzoru dla równych grup.

8. Co zrobić, gdy wariancje są różne?

Klasyczny wzór często zakłada wspólne odchylenie standardowe. Jeżeli wcześniejsze dane wskazują, że zmienność w grupach będzie istotnie różna, trzeba podać osobne wartości σ₁ i σ₂. Wtedy:

SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂)

Plan analizy może opierać się na teście t-Welcha, który nie wymaga założenia równości wariancji. Najważniejsze jest, aby sposób obliczenia próby był zgodny z analizą opisaną w protokole. Samo późniejsze zastosowanie testu Welcha nie naprawia automatycznie błędnych założeń dotyczących różnicy i zmienności.

9. Związek z wyborem wyniku i analizą kowariancji

W badaniu z pomiarem wyjściowym i końcowym można porównywać wartości końcowe albo zmiany od wartości wyjściowej. Są to różne strategie, a ich wymagana liczebność może się różnić. Jeżeli pomiar wyjściowy silnie koreluje z pomiarem końcowym, analiza kowariancji może być bardziej precyzyjna niż proste porównanie wyników końcowych lub zmian. Dlatego przed obliczeniem próby trzeba ustalić, jaki dokładnie wynik będzie pierwszorzędowy i jak zostanie analizowany (Clifton, Birks i Clifton, 2018).

Nie powinno się obliczać próby dla jednego modelu, a następnie bez uzasadnienia zmieniać podstawowej analizy. Każda zmiana może wpływać na wariancję resztową, liczebność i interpretację efektu.

10. Przykład praktyczny: badanie czasu przyjazdu zespołu ratownictwa

W projekcie z zakresu zdrowia publicznego porównuje się średni czas przyjazdu zespołu ratownictwa w dwóch sposobach organizacji dyspozytorni. Analizowanym wynikiem jest czas w minutach. Na podstawie danych pilotażowych przyjmuje się odchylenie standardowe 8 minut, a różnicę 4 minut uznaje za organizacyjnie ważną. Przy α = 0,05 i mocy 80%:

n = 2 × (1,96 + 0,84)² × 8² / 4²

Po obliczeniu otrzymujemy około 63 obserwacje w każdej grupie. Jednak liczba obserwacji nie zawsze jest równa liczbie osób. Jeżeli jedna osoba może mieć wiele interwencji, obserwacje nie są niezależne. W takim przypadku prosty wzór dla dwóch niezależnych średnich może zawyżać rzeczywistą informację zawartą w danych. Należy uwzględnić klastrowanie, powtarzane pomiary lub analizę wielopoziomową.

Ten przykład pokazuje, że przed wpisaniem liczby do kalkulatora trzeba odpowiedzieć na pytanie: co jest jednostką analizy? Może nią być pacjent, pracownik, gospodarstwo domowe, interwencja albo placówka. Nie można traktować wszystkich wierszy w bazie jako niezależnych, jeżeli pochodzą od tych samych osób lub jednostek organizacyjnych.

Najczęstsze błędy

1. Używanie różnicy arbitralnej. Różnica 5 albo 10 jednostek nie jest automatycznie klinicznie ważna. Trzeba ją uzasadnić.
2. Pomylenie liczebności grupy z liczebnością całkowitą. W podstawowym wzorze n oznacza liczbę osób w jednej grupie. Całkowita próba to zwykle 2n.
3. Dodawanie odsetka utraty zamiast dzielenia. Przy 20% wykruszenia dzielimy przez 0,80, a nie tylko mnożymy przez 1,20.
4. Traktowanie grup zależnych jako niezależnych. Pomiar przed i po interwencji u tych samych osób wymaga innego planowania.
5. Wybór mocy po obejrzeniu danych. Moc powinna być określona przed rozpoczęciem głównej analizy.
6. Uzasadnianie próby wyłącznie regułą Cohena. Konwencjonalne wartości d nie zastępują wiedzy dziedzinowej.
7. Ignorowanie różnic w wariancji. Jeżeli grupy mają różne odchylenia standardowe, należy rozważyć wariant Welcha.
8. Pomijanie wielokrotnych analiz. Jeżeli istnieje wiele pierwszorzędowych wyników, obliczenie dla jednego z nich może nie wystarczyć.
9. Mylenie nieistotności z brakiem efektu. Wynik z dużą wartością p nie dowodzi, że grupy są identyczne. Znaczenie wyniku trzeba oceniać wraz z przedziałem ufności i wielkością efektu (Altman i Bland, 1995).

Jak raportować obliczenie próby?

W protokole i publikacji należy podać co najmniej: pierwszorzędowy wynik, planowaną różnicę, źródło lub uzasadnienie odchylenia standardowego, poziom alfa, moc, założony stosunek liczebności grup, metodę obliczeń oraz przewidywany odsetek utraty danych. Warto również wskazać, czy zastosowano przybliżenie normalne, dokładny rozkład t, test t-Welcha, analizę kowariancji lub inną procedurę.

Takie informacje pozwalają ocenić, czy liczebność jest związana z pytaniem badawczym, a nie dobrana post hoc. W badaniach randomizowanych transparentne raportowanie uzasadnienia próby jest elementem dobrych praktyk CONSORT (Schulz, Altman i Moher, 2010).

W praktyce kursu na statystyk.edu.pl warto traktować kalkulator jako narzędzie rachunkowe, a nie jako substytut decyzji metodologicznej. Program poda liczbę, ale badacz musi wcześniej określić, jaka różnica jest ważna, jaki wynik będzie analizowany i czy obserwacje rzeczywiście są niezależne.

Co warto zapamiętać?

• Próba dla dwóch niezależnych średnich służy do zaplanowania porównania dwóch grup, w których wyniki nie są parami powiązane.
• Podstawowy wzór zależy od poziomu alfa, mocy, odchylenia standardowego i minimalnej ważnej różnicy.
• Wzrost zmienności zwiększa wymaganą próbę, a większa planowana różnica ją zmniejsza.
• Przy równych grupach podstawowe przybliżenie to n = 2 × (z₁₋α/₂ + z₁₋β)² × σ² / δ².
• Wynik wzoru oznacza zwykle liczbę uczestników w każdej grupie, nie w całym badaniu.
• Na końcu trzeba skorygować liczebność na przewidywane wykruszenie.
• Jeżeli występują pomiary powtarzane, klastry, różne wariancje albo analiza kowariancji, prosty wzór może być niewystarczający.
• Istotność statystyczna, wielkość efektu i znaczenie praktyczne są odrębnymi aspektami interpretacji.

Dobrze zaplanowana próba nie gwarantuje istotnego wyniku, ale zwiększa szansę, że badanie będzie w stanie odpowiedzieć na jasno określone pytanie. Najpierw należy zdefiniować różnicę ważną merytorycznie, następnie oszacować zmienność i dopiero wtedy wykonać obliczenia.

Źródła i dalsza lektura

1. Campbell, M. J.; Julious, S. A.; Altman, D. G. (1995). Estimating sample sizes for binary, ordered categorical, and continuous outcomes in two group comparisons. BMJ, 311(7013), 1145. DOI: 10.1136/bmj.311.7013.1145.
2. Julious, S. A. (2004). Sample sizes for clinical trials with Normal data. Statistics in Medicine, 23(12), 1921–1986. DOI: 10.1002/sim.1783.
3. Clifton, L.; Birks, J.; Clifton, D. A. (2018). Comparing different ways of calculating sample size for two independent means: A worked example. Contemporary Clinical Trials Communications, 13, 100309. DOI: 10.1016/j.conctc.2018.100309.
4. Cook, J. A.; Julious, S. A.; Sones, W.; Hampson, L. V.; Hewitt, C.; Berlin, J. A.; Emsley, R.; Fergusson, D. A.; Walters, S. J.; Rothwell, J. C.; Ramsay, C. R.; Vale, L. D.; Altman, D. G.; Campbell, M. J.; Jorgensen, A. L.; et al. (2018). DELTA2 guidance on choosing the target difference and undertaking and reporting the sample size calculation for a randomised controlled trial. Trials, 19, 1. DOI: 10.1186/s13063-018-2887-x.
5. Cohen, J. (1988). Statistical Power Analysis for the Behavioral Sciences. 2nd edition. Lawrence Erlbaum Associates. Informacja wydawcy / źródło.
6. Kirkwood, B. R.; Sterne, J. A. C. (2012). Essential Medical Statistics. 2nd edition. Wiley-Blackwell. Informacja wydawcy / źródło.
7. Altman, D. G.; Bland, J. M. (1995). Absence of evidence is not evidence of absence. BMJ, 311(7003), 485. DOI: 10.1136/bmj.311.7003.485.
8. Schulz, K. F.; Altman, D. G.; Moher, D.; CONSORT Group (2010). CONSORT 2010 Statement: updated guidelines for reporting parallel group randomised trials. BMJ, 340, c332. DOI: 10.1136/bmj.c332.