191. Wielkość próby dla korelacji

W badaniach medycznych, psychologicznych i społecznych często chcemy sprawdzić, czy dwie zmienne są ze sobą powiązane. Przykładem może być związek między ciśnieniem tętniczym a wiekiem, nasileniem lęku a jakością snu albo obciążeniem pracą pielęgniarek a liczbą zgłaszanych objawów wypalenia. Samo zaplanowanie analizy korelacji nie wystarcza jednak do uzasadnienia badania. Trzeba jeszcze określić, ilu uczestników należy zrekrutować, aby z odpowiednią mocą wykryć korelację o znaczeniu naukowym lub praktycznym.

W tej lekcji kursu metodologii badań i statystyki na statystyk.edu.pl skupiamy się na planowaniu próby dla pojedynczej korelacji. Omówimy korelację Pearsona, korelację rang Spearmana, testowanie hipotezy o braku związku, estymację przedziału ufności oraz praktyczne konsekwencje zbyt małej próby.

1. Co właściwie planujemy?

W analizie korelacji obserwujemy pary wartości dwóch zmiennych u tych samych osób, na przykład:

• wiek i skurczowe ciśnienie tętnicze;
• wynik skali depresji i liczba godzin snu;
• czas oczekiwania na pomoc a satysfakcja pacjenta;
• liczba dyżurów nocnych a wynik kwestionariusza zmęczenia.

Współczynnik korelacji opisuje kierunek i siłę związku. Dla korelacji Pearsona oznaczany jest zwykle symbolem r, a dla korelacji Spearmana symbolem r_s albo ρ_s. W populacji odpowiada mu parametr oznaczany najczęściej przez ρ. Wartość dodatnia oznacza, że większym wartościom jednej zmiennej towarzyszą przeciętnie większe wartości drugiej. Wartość ujemna oznacza zależność odwrotną. Wartość bliska zeru oznacza brak wyraźnego związku liniowego albo monotonicznego, zależnie od użytego współczynnika.

Wielkość próby może być planowana z dwóch różnych powodów:

1. testowania hipotezy – chcemy mieć dużą szansę wykrycia korelacji, jeżeli rzeczywiście istnieje;
2. precyzyjnej estymacji – chcemy, aby przedział ufności dla korelacji był odpowiednio wąski.

Te cele nie są tożsame. Próba wystarczająca do uzyskania istotności statystycznej dla umiarkowanej korelacji może być zbyt mała, aby precyzyjnie oszacować jej wartość. Bonett i Wright (2000) podkreślają, że planowanie szerokości przedziału ufności jest ważnym, a często pomijanym zastosowaniem obliczeń liczebności próby.

2. Hipoteza i parametry potrzebne do obliczeń

Najczęściej rozważa się dwustronny test:

H₀: ρ = 0
H₁: ρ ≠ 0

Hipoteza zerowa mówi, że w populacji nie występuje liniowy związek między zmiennymi, jeśli planujemy korelację Pearsona. W przypadku Spearmana chodzi o brak związku monotonicznego w sensie odpowiedniego parametru rangowego. Nie należy utożsamiać hipotezy zerowej z twierdzeniem, że zmienne są całkowicie niezależne w każdym możliwym sensie.

Do obliczenia próby potrzebujemy przede wszystkim:

• oczekiwanej wielkości korelacji – np. ρ = 0,20, 0,30 lub 0,40;
• poziomu istotności α – często 0,05;
• oczekiwanej mocy 1 − β – często 0,80 albo 0,90;
• charakteru testu – zwykle dwustronnego;
• przewidywanego odsetka brakujących danych lub utraty uczestników.

Wartość oczekiwanej korelacji powinna wynikać z wcześniejszych badań, metaanalizy, pilotażu albo merytorycznie uzasadnionej minimalnej korelacji interesującej badacza. Nie powinna być wybierana wyłącznie dlatego, że prowadzi do wygodnej liczebności próby. W psychologii Cohen (1988) zaproponował orientacyjne wartości 0,10, 0,30 i 0,50 jako małą, umiarkowaną i dużą korelację, ale nie są to uniwersalne normy. W badaniu klinicznym korelacja 0,20 może mieć znaczenie praktyczne, jeżeli zmienne dotyczą ważnych rokowniczo zjawisk.

3. Przybliżony wzór oparty na transformacji Fishera

Dla testu korelacji Pearsona często stosuje się transformację Fishera:

z(ρ) = 1/2 · ln[(1 + ρ)/(1 − ρ)] = atanh(ρ)

Jeżeli hipoteza zerowa zakłada ρ₀ = 0, przybliżona liczebność próby dla testu dwustronnego może być zapisana jako:

n ≈ 3 + [(z_1−α/2 + z_1−β) / atanh(ρ₁)]²

Wzór oznacza:

• n – wymagana liczba kompletnych obserwacji, czyli uczestników z danymi dla obu zmiennych;
• α – przyjęty poziom istotności;
• β – prawdopodobieństwo błędu II rodzaju;
• 1 − β – moc statystyczna;
• z_1−α/2 – kwantyl standardowego rozkładu normalnego dla testu dwustronnego;
• z_1−β – kwantyl związany z oczekiwaną mocą;
• ρ₁ – korelacja, którą chcemy wykryć;
• atanh(ρ₁) – transformacja Fishera oczekiwanej korelacji.

Dla α = 0,05 i mocy 0,80 wartości kwantyli wynoszą w przybliżeniu 1,96 oraz 0,84. Jeżeli oczekujemy korelacji ρ = 0,30, otrzymujemy około 85 kompletnych obserwacji. Wynik należy zaokrąglić w górę, a następnie zwiększyć ze względu na braki danych.

Jeżeli hipoteza zerowa nie zakłada zera, użyteczna jest uogólniona postać:

n ≈ 3 + [(z_1−α/2 + z_1−β) / (atanh(ρ₁) − atanh(ρ₀))]²

W praktyce nie należy traktować tego wzoru jako bezwarunkowego rozwiązania dla każdej korelacji. Jest to przybliżenie, szczególnie użyteczne dla korelacji Pearsona przy założeniach zbliżonych do dwuwymiarowego rozkładu normalnego. Dla korelacji Spearmana, silnej skośności, licznych remisów lub małych prób lepsze może być wykorzystanie procedury opartej na symulacji albo specjalistycznego programu. G*Power umożliwia planowanie mocy dla testów korelacji i regresji, a jego metody opisali Faul i współpracownicy (2007, 2009).

4. Przykład obliczeniowy: badanie psychologiczne

Załóżmy, że badacz chce ocenić związek między nasileniem stresu akademickiego a jakością snu u studentów. Z wcześniejszych badań wynika, że można oczekiwać korelacji około 0,30. Badacz przyjmuje:

• test dwustronny;
• α = 0,05;
• moc = 0,80;
• oczekiwaną korelację ρ = 0,30.

Podstawienie do wzoru daje około 85 osób z kompletnymi danymi. Jeżeli przewidywany odsetek braków wynosi 15%, nie wystarczy zrekrutować 85 uczestników. Należy skorygować próbę:

n_rekrutacji = n_analizy / (1 − odsetek braków)

W tym przypadku:

85 / 0,85 = 100

Badacz powinien więc zaplanować rekrutację około 100 osób. W publikacji należy podać nie tylko końcową liczebność, lecz także założenia: oczekiwaną korelację, α, moc, rodzaj testu, sposób obliczenia oraz przewidywany odsetek brakujących obserwacji.

5. Przykład medyczny: korelacja biomarkera z wynikiem klinicznym

W badaniu pacjentów po udarze planuje się ocenę związku między stężeniem określonego biomarkera a wynikiem funkcjonalnym w skali klinicznej. Wynik skali może mieć rozkład wyraźnie skośny i ograniczony, dlatego badacz rozważa korelację Spearmana. Z literatury wynika, że korelacja rzędu 0,20 byłaby realistyczna i klinicznie interesująca.

Dla α = 0,05, mocy 0,80 i wartości ρ = 0,20 przybliżony wzór Fishera daje około 194 kompletnych obserwacji. Jeżeli badanie ma mieć 10% braków danych, liczebność rekrutacji powinna wynosić około:

194 / 0,90 = 215,6

Należy zatem zaplanować co najmniej 216 osób, a w praktyce można przyjąć niewielki dodatkowy margines bezpieczeństwa. Ten przykład pokazuje, że wykrywanie słabych korelacji wymaga dużych prób. Zwiększenie mocy z 0,80 do 0,90 również podnosi wymaganą liczebność, podobnie jak zastosowanie testu jednostronnego lub dwustronnego w zależności od planu analizy.

Nie należy jednak automatycznie zakładać, że większa próba rozwiąże wszystkie problemy. Jeżeli biomarker jest mierzony z dużym błędem, a wynik kliniczny ma niską rzetelność, obserwowana korelacja może być osłabiona. W takim przypadku warto rozważyć jakość pomiaru, standaryzację procedury i ewentualną korektę projektu, zamiast jedynie zwiększać liczbę uczestników.

6. Testowanie korelacji a precyzja przedziału ufności

Wielkość próby obliczona dla mocy statystycznej odpowiada na pytanie: „Jak duża jest szansa wykrycia założonej korelacji?”. Nie odpowiada natomiast bezpośrednio na pytanie: „Jak szeroki będzie przedział ufności?”.

Jeżeli celem badania jest oszacowanie siły związku, trzeba określić akceptowalną szerokość przedziału. Przykładowo badacz może uznać, że 95-procentowy przedział ufności powinien mieć szerokość nie większą niż 0,30. Wówczas liczebność może być większa niż wynikająca z klasycznego testu hipotezy. Bonett i Wright (2000) przedstawili metody planowania próby dla przedziałów ufności dotyczących korelacji Pearsona, Kendalla i Spearmana.

Z metodologicznego punktu widzenia raportowanie samej wartości p jest niewystarczające. Wynik powinien obejmować co najmniej współczynnik korelacji, 95-procentowy przedział ufności, liczebność analizowanej próby oraz sposób postępowania z brakami danych. Wartość p nie jest prawdopodobieństwem prawdziwości hipotezy zerowej. Informuje o zgodności danych z hipotezą zerową przy przyjęciu określonego modelu i założeń testu.

7. Pearson czy Spearman – czy liczebność będzie taka sama?

Nie ma jednej uniwersalnej liczebności „dla korelacji”. Wynik zależy od rodzaju współczynnika i właściwości danych.

Korelacja Pearsona

Jest odpowiednia przede wszystkim wtedy, gdy interesuje nas związek liniowy między zmiennymi ilościowymi, obserwacje są niezależne, a wartości odstające nie dominują wyniku. Przy małej próbie silne odstające obserwacje mogą znacznie zmienić współczynnik.

Korelacja Spearmana

Opiera się na rangach i jest przydatna dla danych porządkowych, nieliniowego, ale monotonicznego związku, a także wtedy, gdy założenia korelacji Pearsona są trudne do obrony. Nie oznacza to jednak, że Spearman automatycznie eliminuje problem małej próby, braków danych lub wartości odstających.

Jeżeli planowana analiza ma wykorzystywać Spearmana, a dostępne narzędzie oblicza liczebność wyłącznie dla Pearsona, należy jasno opisać przybliżenie. W bardziej wymagających projektach można przeprowadzić symulację: wygenerować dane o założonej strukturze, wykonać planowany test i powtórzyć procedurę wiele razy. Odsetek replikacji z wynikiem spełniającym kryterium istotności stanowi przybliżenie mocy.

8. Najczęstsze błędy

• Przyjmowanie arbitralnego minimum, np. 30 osób. Sama reguła kciuka nie uwzględnia oczekiwanej korelacji, mocy ani poziomu istotności.
• Wybór zbyt dużej oczekiwanej korelacji. Jeżeli wcześniejsze dane sugerują słaby związek, założenie korelacji 0,50 sztucznie zaniży wymaganą próbę.
• Brak korekty na braki danych. Liczebność wymagana do analizy nie jest zawsze równa liczbie osób, które trzeba zrekrutować.
• Traktowanie korelacji jako dowodu przyczynowości. Nawet bardzo silna korelacja w badaniu obserwacyjnym nie dowodzi, że jedna zmienna powoduje drugą.
• Mylenie istotności statystycznej ze znaczeniem praktycznym. Przy bardzo dużej próbie korelacja 0,10 może być istotna statystycznie, lecz niekoniecznie użyteczna klinicznie.
• Ignorowanie wielu testów. Jeżeli analizuje się wiele korelacji, należy wcześniej określić główną hipotezę albo zaplanować kontrolę błędu wielokrotnych porównań.
• Dobieranie testu po obejrzeniu danych. Rodzaj korelacji i główna hipoteza powinny być określone przed analizą wyników.
• Przyjmowanie, że większa próba naprawi zły pomiar. Niska rzetelność, heterogeniczna populacja lub ograniczony zakres wyników mogą osłabiać obserwowaną korelację.

9. Jak opisać plan liczebności w protokole?

Dobry opis powinien umożliwić odtworzenie obliczeń. Można napisać:

„Liczebność próby obliczono dla dwustronnego testu korelacji, przyjmując α = 0,05, moc 0,80 oraz oczekiwaną korelację ρ = 0,30. Obliczenie wskazało na potrzebę uzyskania 85 kompletnych obserwacji. Uwzględniając przewidywany 15-procentowy odsetek braków danych, zaplanowano rekrutację 100 uczestników.”

Jeżeli analiza będzie obejmować korelację Spearmana, należy to zaznaczyć. Jeżeli liczebność została obliczona w G*Power, warto podać wersję programu, wybraną procedurę i wszystkie parametry wejściowe. Nie należy ograniczać opisu do zdania „próba została obliczona programem statystycznym”.

Przykład praktyczny: projekt badania pielęgniarek

Zespół badawczy chce sprawdzić, czy liczba dyżurów nocnych w miesiącu wiąże się z nasileniem objawów wypalenia zawodowego u pielęgniarek. Głównym wynikiem ma być korelacja Spearmana, ponieważ wynik skali wypalenia jest ograniczony i może być skośny. Na podstawie wcześniejszych badań przyjęto, że związek 0,25 byłby najmniejszym interesującym efektem.

Dla testu dwustronnego, α = 0,05 i mocy 0,80 obliczenie oparte na przybliżeniu Fishera daje około 124 kompletnych obserwacji. Zespół przewiduje 20% braków danych z powodu nieukończenia kwestionariusza lub niepodania liczby dyżurów. Wymagana rekrutacja wynosi więc:

124 / 0,80 = 155

Plan powinien zakładać około 155 uczestniczek i uczestników. Przed rozpoczęciem rekrutacji badacze powinni doprecyzować, czy wszystkie osoby pracują w porównywalnym systemie zmianowym, czy analizowane będą różne oddziały oraz czy liczba dyżurów będzie traktowana jako zmienna ciągła. Jeżeli planowane są dodatkowe analizy według oddziału lub stażu pracy, może być konieczna większa próba.

Interpretacja wyniku powinna koncentrować się na wielkości korelacji i przedziale ufności. Przykładowo korelacja 0,24 z 95-procentowym przedziałem ufności od 0,08 do 0,38 wskazuje na dodatni związek, ale także na znaczną niepewność co do jego dokładnej siły. Nie oznacza automatycznie, że zwiększenie liczby dyżurów powoduje wypalenie.

Co warto zapamiętać?

• Wielkość próby dla korelacji zależy od oczekiwanej korelacji, α, mocy i charakteru testu.
• Słabsze korelacje wymagają znacznie większych prób niż korelacje silne.
• Trzeba odróżnić liczebność kompletnych obserwacji od liczby osób, które należy zrekrutować.
• Przy planowaniu warto rozważyć zarówno moc testu, jak i precyzję przedziału ufności.
• Wzór oparty na transformacji Fishera jest użytecznym przybliżeniem, ale nie zastępuje oceny założeń i jakości pomiaru.
• Korelacja opisuje współwystępowanie zmiennych; sama nie dowodzi związku przyczynowego.
• W raporcie należy podać wszystkie założenia obliczenia, a nie tylko końcową liczbę uczestników.

W praktyce najlepsza procedura obejmuje cztery kroki: zdefiniowanie głównej korelacji, uzasadnienie oczekiwanej wielkości efektu, obliczenie próby dla ustalonej mocy oraz korektę na braki danych i ewentualne dodatkowe analizy. Tak zaplanowana liczebność jest elementem rzetelnego projektu badawczego, a nie jedynie formalnym dodatkiem do części statystycznej.

Źródła i dalsza lektura

1. Douglas G. Bonett; Thomas A. Wright (2000). Sample size requirements for estimating Pearson, Kendall and Spearman correlations. Psychometrika, 65(1), 23–28. DOI: 10.1007/BF02294183.
2. Franz Faul; Edgar Erdfelder; Axel Buchner; Albert-Georg Lang (2009). Statistical power analyses using G*Power 3.1: Tests for correlation and regression analyses. Behavior Research Methods, 41(4), 1149–1160. DOI: 10.3758/BRM.41.4.1149.
3. Franz Faul; Edgar Erdfelder; Axel-Georg Lang; Axel Buchner (2007). G*Power 3: A flexible statistical power analysis program for the social, behavioral, and biomedical sciences. Behavior Research Methods, 39(2), 175–191. DOI: 10.3758/BF03193146.
4. Jacob Cohen (1988). Statistical Power Analysis for the Behavioral Sciences. 2nd edition. Lawrence Erlbaum Associates.
5. Warren S. Browner; Thomas B. Newman; Douglas A. Grady; Kathleen E. Cummings; Deborah G. Newman (2022). Designing Clinical Research: An Epidemiologic Approach. 5th edition. Wolters Kluwer. Informacja wydawcy / źródło.