442. Korelacja Pearsona – założenia i interpretacja

Korelacja Pearsona jest jedną z podstawowych metod analizy zależności między dwiema zmiennymi ilościowymi. W poprzedniej lekcji rozróżnialiśmy samą ideę korelacji od błędnych wniosków o przyczynowości. Teraz skupimy się na pytaniu bardziej technicznym: kiedy współczynnik korelacji Pearsona jest odpowiednim narzędziem, jakie założenia należy sprawdzić i jak interpretować otrzymany wynik. Umiejętność ta jest potrzebna zarówno w badaniach medycznych i psychologicznych, jak i w analizach omawianych na potrzeby szkolenia w podręczniku na statystyk.edu.pl.

Czym jest korelacja Pearsona?

Korelacja Pearsona, określana także jako współczynnik korelacji liniowej r Pearsona, mierzy kierunek i siłę liniowej zależności między dwiema zmiennymi ilościowymi. Jedna zmienna może być oznaczona jako X, a druga jako Y. Wynik przyjmuje wartości od −1 do +1.

• r > 0 oznacza zależność dodatnią: wyższym wartościom X przeciętnie towarzyszą wyższe wartości Y;
• r < 0 oznacza zależność ujemną: wyższym wartościom X przeciętnie towarzyszą niższe wartości Y;
• r bliskie 0 oznacza brak wyraźnej zależności liniowej, ale niekoniecznie brak jakiejkolwiek zależności;
• |r| bliskie 1 wskazuje na silne uporządkowanie punktów wokół linii prostej.

Ważne jest słowo „liniowej”. Współczynnik r może być bliski zeru także wtedy, gdy między zmiennymi istnieje wyraźna, lecz krzywoliniowa zależność. Dlatego obliczenie korelacji powinno być poprzedzone wykresem rozrzutu. Sam pojedynczy wskaźnik liczbowy nie zastępuje oglądu danych (Schober, Boer i Schwarte, 2018).

Wzór i znaczenie jego elementów

Klasyczny wzór na współczynnik korelacji Pearsona można zapisać następująco:

r = Σ[(Xᵢ − X̄)(Yᵢ − Ȳ)] / √{Σ(Xᵢ − X̄)² · Σ(Yᵢ − Ȳ)²}

W tym zapisie:

• r – oszacowany współczynnik korelacji w próbie;
• Xᵢ – wartość zmiennej X u osoby lub jednostki o numerze i;
• Yᵢ – odpowiadająca jej wartość zmiennej Y;
• X̄ – średnia arytmetyczna zmiennej X;
• Ȳ – średnia arytmetyczna zmiennej Y;
• Σ – sumowanie po wszystkich obserwacjach;
• √ – pierwiastek kwadratowy.

Licznik odnosi się do tego, czy odchylenia obu zmiennych od ich średnich pojawiają się w tym samym kierunku. Jeżeli osoba ma wynik X powyżej średniej i jednocześnie wynik Y powyżej średniej, iloczyn odchyleń jest dodatni. Jeżeli jedna wartość jest powyżej średniej, a druga poniżej, iloczyn jest ujemny. Mianownik skaluje wynik, dzięki czemu korelacja nie zależy od jednostek pomiaru i mieści się w przedziale od −1 do +1.

Współczynnik korelacji nie jest tym samym co współczynnik determinacji. Po podniesieniu r do kwadratu otrzymujemy r², które w określonych warunkach może być interpretowane jako część zmienności liniowo wspólnej dla obu zmiennych. Nie oznacza to jednak automatycznie, że jedna zmienna „wyjaśnia” drugą w sensie przyczynowym.

Podstawowe założenia korelacji Pearsona

1. Ilościowy charakter zmiennych

Najbardziej naturalne zastosowanie korelacji Pearsona dotyczy dwóch zmiennych ilościowych mierzonych co najmniej na skali interwałowej. Przykładami są: ciśnienie skurczowe, stężenie glukozy, wiek, czas reakcji, wynik testu psychologicznego lub liczba dni hospitalizacji. Sama możliwość zapisania kategorii za pomocą liczb nie czyni zmiennej ilościową. Kod „1 = palacz” i „0 = niepalący” jest kodem kategorii, a nie pomiarem ilościowym.

Wyniki skal wielopozycyjnych, na przykład sumaryczny wynik kwestionariusza depresji, często analizuje się jako zmienne ilościowe, jeżeli mają dostateczny zakres wartości i uzasadnienie pomiarowe. Trzeba jednak sprawdzić, czy skala nie jest skrajnie asymetryczna, nie ma bardzo małej liczby poziomów lub nie jest zdominowana przez efekt podłogi albo sufitu.

2. Pary obserwacji i niezależność jednostek

Każda wartość X powinna odpowiadać właściwej wartości Y tej samej jednostki analizy. Jeżeli analizujemy pacjentów, oba pomiary muszą pochodzić od tego samego pacjenta. Nie wolno przypadkowo łączyć wyników jednej osoby z pomiarem innej.

Standardowy test istotności korelacji zakłada także niezależność obserwacji między jednostkami. Wielokrotne pomiary tego samego pacjenta, wyniki obu oceniających u tych samych osób albo dane zgrupowane w oddziałach mogą naruszać to założenie. Traktowanie wszystkich powtórzeń jako niezależnych może sztucznie zwiększyć liczebność próby i zaniżyć niepewność oszacowania (Bland i Altman, 1994). W takich sytuacjach potrzebne są metody dla danych powtarzanych, modele wielopoziomowe albo odpowiednio zdefiniowana analiza na poziomie osoby.

3. Liniowość zależności

Najważniejszym założeniem merytorycznym jest liniowość. Ocenia się ją przede wszystkim na wykresie rozrzutu. Punkty powinny układać się w przybliżeniu wzdłuż prostej, choć nie muszą tworzyć idealnej linii.

Załóżmy, że czas snu i wynik koncentracji są powiązane. Jeżeli koncentracja rośnie wraz ze snem do około ośmiu godzin, a następnie spada, zależność może mieć kształt odwróconej litery U. W takim przypadku pojedyncze r może być małe, mimo że sen ma wyraźny związek z koncentracją. Warto rozważyć wykres, korelację rangową, składnik kwadratowy w regresji lub inną metodę opisującą nieliniowość.

4. Brak dominujących obserwacji odstających

Obserwacja odstająca może silnie zmienić wartość korelacji, zwłaszcza w małej próbie. Należy odróżnić błąd wpisania danych od rzeczywistego, lecz rzadkiego przypadku. Błędną wartość trzeba skorygować zgodnie z dokumentacją, natomiast prawidłową obserwację należy analizować z uzasadnieniem, a nie usuwać wyłącznie dlatego, że osłabia oczekiwany wynik.

Przydatne są: wykres rozrzutu, standaryzowane odchylenia, analiza wpływu obserwacji oraz porównanie wyników z i bez danego punktu. Analiza wrażliwości nie powinna służyć do wybierania „ładniejszego” wyniku, lecz do pokazania, jak stabilny jest wniosek.

5. Rozkład danych i założenia inferencji

Często mówi się, że korelacja Pearsona wymaga normalności obu zmiennych. To sformułowanie jest zbyt uproszczone. Dla klasycznego testu i przedziału ufności ważne jest, aby dane były zgodne z założeniami modelu, zwykle opisywanymi przez dwuwymiarową normalność lub przez przybliżenie rozkładu statystyki przy dostatecznej liczebności. W praktyce należy ocenić kształt rozkładów, wykres rozrzutu, odstające punkty i homogeniczność rozproszenia.

Nie należy mechanicznie stosować testu Shapiro–Wilka jako jedynego kryterium. W małej próbie test może nie wykryć problemu, a w dużej może wskazać niewielkie odchylenie bez istotnego znaczenia praktycznego. Gdy rozkłady są silnie skośne, zmienne są porządkowe lub występują istotne odstające obserwacje, można rozważyć korelację Spearmana, transformację danych albo metody odporne i bootstrapowe. Wybór powinien wynikać z charakteru danych, a nie z samego wyniku testu normalności (Schober, Boer i Schwarte, 2018).

Jak interpretować wartość współczynnika?

Interpretację należy rozpocząć od kierunku, następnie ocenić wielkość związku, przedział ufności i znaczenie praktyczne. Nie ma uniwersalnej tabeli, która w każdej dziedzinie rozstrzyga, że na przykład r = 0,30 jest zawsze „słabe”, a r = 0,70 zawsze „silne”. Znaczenie zależy od jakości pomiaru, heterogeniczności badanej populacji, celu badania i konsekwencji decyzji (Schober, Boer i Schwarte, 2018).

Przykładowo, r = 0,52 oznacza umiarkowaną dodatnią zależność liniową: osoby z wyższą wartością jednej zmiennej mają przeciętnie wyższe wartości drugiej. Nie wolno jednak pisać, że „wzrost X powoduje wzrost Y”, jeżeli badanie było obserwacyjne. Można powiedzieć, że „wartości X i Y były dodatnio skorelowane”.

Wynik testu istotności, na przykład p = 0,02, informuje o zgodności danych z hipotezą zerową przy przyjętym modelu i założeniach. Nie jest prawdopodobieństwem, że hipoteza zerowa jest prawdziwa. Istotność statystyczna nie przesądza także o znaczeniu klinicznym ani praktycznym.

Przykład 1: zdrowie publiczne

W badaniu przekrojowym analizowano u 120 dorosłych mieszkańców czas codziennej aktywności fizycznej oraz skurczowe ciśnienie tętnicze. Otrzymano r = −0,28, 95% CI [−0,44; −0,10], p = 0,002.

Poprawna interpretacja brzmi: „W badanej próbie wystąpiła słaba do umiarkowanej ujemna zależność liniowa między czasem aktywności fizycznej a skurczowym ciśnieniem tętniczym; większej aktywności towarzyszyło przeciętnie niższe ciśnienie. Przedział ufności wskazuje, że populacyjna zależność zgodna z danymi może być niewielka lub umiarkowana”.

Nie można na tej podstawie stwierdzić, że zwiększenie aktywności obniżyło ciśnienie. Możliwe są czynniki zakłócające, takie jak wiek, leczenie hipotensyjne, masa ciała, palenie tytoniu lub stan zdrowia. Ponieważ badanie było przekrojowe, kierunek czasowy zależności pozostaje nieustalony.

Przykład 2: psychologia i pielęgniarstwo

Załóżmy, że zbadano związek między nasileniem lęku mierzonego kwestionariuszem a jakością snu u 85 pacjentów przygotowywanych do zabiegu. Wynik wyniósł r = −0,61, 95% CI [−0,73; −0,45], p < 0,001.

Wynik wskazuje na dość silną ujemną zależność liniową: wyższe wyniki lęku wiązały się z niższą jakością snu, zgodnie z kierunkiem kodowania skali. Przed interpretacją trzeba sprawdzić, czy wyższy wynik jakości snu oznacza lepszy, czy gorszy sen. Błędne odczytanie kierunku kodowania może odwrócić opis słowny, mimo że rachunek jest poprawny.

Warto również ustalić, czy oba pomiary wykonano raz, czy wielokrotnie. Jeżeli każdy pacjent wypełnił kwestionariusze przed zabiegiem i po zabiegu, zwykła korelacja wszystkich par pomiarów byłaby niewłaściwa bez uwzględnienia powtarzalności pomiarów.

Przykład praktyczny: jak przeprowadzić analizę?

1. Zdefiniuj pytanie. Określ, jakie dwie zmienne mają być powiązane i dlaczego zależność liniowa jest naukowo uzasadniona.
2. Sprawdź jednostkę analizy. Upewnij się, że obserwacje są parami poprawne i że nie mieszasz wielu pomiarów tej samej osoby z pomiarami osób niezależnych.
3. Obejrzyj dane. Zastosuj tabelę opisową, histogramy lub wykresy gęstości oraz wykres rozrzutu z ewentualną linią trendu.
4. Oceń odstające obserwacje. Zbadaj ich poprawność i wpływ na wynik. Nie usuwaj ich automatycznie.
5. Oblicz r i przedział ufności. W raporcie podaj także liczebność analizowanych par, ponieważ brakujące dane mogą zmniejszyć próbę.
6. Przeprowadź interpretację kontekstową. Omów kierunek, wielkość efektu, niepewność i możliwe ograniczenia. Jeżeli analiza jest eksploracyjna, zaznacz to.

Przykładowy zapis w publikacji może wyglądać tak: „Czas oczekiwania na pomoc był dodatnio skorelowany z nasileniem stresu ratowników, r(58) = 0,41, 95% CI [0,17; 0,60], p = 0,001”. Taki zapis wskazuje kierunek, wielkość, stopnie swobody, przedział ufności i wartość p. W praktyce należy także opisać sposób pomiaru zmiennych, brakujące dane, diagnostykę założeń i oprogramowanie, jeśli ma to znaczenie. Jest to zgodne z zasadą przejrzystego raportowania analiz ilościowych promowaną w APA JARS.

Najczęstsze błędy

• Mylenie korelacji z przyczynowością. Współczynnik r opisuje współzmienność, a nie dowód działania przyczynowego.
• Wnioskowanie z samej wartości p. Małe p nie informuje, czy związek jest duży ani czy ma znaczenie kliniczne.
• Pomijanie wykresu rozrzutu. Bez wykresu można przeoczyć zależność krzywoliniową, grupy lub obserwację dominującą.
• Automatyczne usuwanie wartości odstających. Rzadki przypadek może być prawdziwy i informacyjny.
• Stosowanie Pearsona do kodów kategorii. Liczby przypisane kategoriom nominalnym nie tworzą zmiennej ilościowej.
• Wykorzystywanie korelacji do oceny zgodności metod. Dwie metody mogą silnie korelować, a jednocześnie systematycznie różnić się wynikami. Do zgodności służą inne procedury, między innymi analiza Blanda-Altmana (Altman i Bland, 1983).
• Ignorowanie powtórzonych pomiarów. Wielokrotne obserwacje tych samych osób wymagają metod uwzględniających zależność wewnątrzosobniczą.
• Używanie arbitralnych progów. Etykiety „słaba”, „umiarkowana” i „silna” powinny być pomocnicze, a nie zastępować interpretacji w kontekście.

Co warto zapamiętać?

• Korelacja Pearsona mierzy przede wszystkim liniową zależność między dwiema zmiennymi ilościowymi.
• Przed obliczeniem r trzeba sprawdzić pary obserwacji, niezależność jednostek, liniowość, odstające punkty i rozkład danych.
• Wartość r opisuje kierunek i siłę związku, ale nie dowodzi przyczynowości.
• Wynik należy raportować razem z liczebnością, przedziałem ufności i wartością p, a nie za pomocą samego „istotne/nieistotne”.
• Istotność statystyczna, wielkość efektu i znaczenie praktyczne są trzema różnymi aspektami wyniku.
• Jeżeli zależność jest krzywoliniowa, dane są porządkowe, występują silne odstające obserwacje albo pomiary są powtarzane, zwykła korelacja Pearsona może nie być najlepszym wyborem.

W następnych analizach warto traktować korelację nie jako automatyczny przycisk w programie statystycznym, lecz jako model oparty na określonych założeniach. Dobre pytanie badawcze, właściwy wykres i przejrzyste raportowanie są równie ważne jak sam rachunek współczynnika.

Źródła i dalsza lektura

1. Schober, P.; Boer, C.; Schwarte, L. A. (2018). Correlation Coefficients: Appropriate Use and Interpretation. Anesthesia & Analgesia, 126(5), 1763–1768. DOI: 10.1213/ANE.0000000000002864.
2. Bland, J. M.; Altman, D. G. (1994). Statistics Notes: Correlation, regression, and repeated data. BMJ, 308(6933), 896. DOI: 10.1136/bmj.308.6933.896.
3. Altman, D. G.; Bland, J. M. (1983). Measurement in Medicine: The Analysis of Method Comparison Studies. The Statistician, 32(3), 307–317. DOI: 10.2307/2987937.
4. Altman, D. G.; Gardner, M. J.; Pocock, S. J. (1983). Calculating confidence intervals for regression and correlation. British Medical Journal (Clinical Research Ed.), 286(6376), 1489–1493. DOI: 10.1136/bmj.286.6376.1489.
5. American Psychological Association (2018). Journal Article Reporting Standards (JARS). American Psychological Association. Źródło.
6. STROBE Initiative (2007). Strengthening the Reporting of Observational Studies in Epidemiology (STROBE) Statement. STROBE Initiative. Źródło.