296. Rozkład próbkowania średniej

W poprzedniej lekcji omówiliśmy centralne twierdzenie graniczne, które wyjaśnia, dlaczego średnie z odpowiednio dużych prób często mają rozkład zbliżony do normalnego. Teraz przechodzimy od ogólnej zasady do konkretnego pojęcia: rozkładu próbkowania średniej. Jest ono jednym z fundamentów wnioskowania statystycznego, ponieważ pozwala ocenić, jak bardzo średnia obliczona w jednej próbie może różnić się od średniej w populacji.

Rozkład próbkowania średniej nie opisuje bezpośrednio wyników pojedynczych osób. Opisuje natomiast rozkład wartości średnich, które uzyskalibyśmy, gdybyśmy wielokrotnie pobierali próby tej samej liczebności z tej samej populacji. Dzięki temu możemy rozumieć błąd standardowy, konstruować przedziały ufności i wykonywać testy dotyczące średniej populacji.

1. Od populacji do wielu prób

Załóżmy, że interesuje nas ciśnienie skurczowe dorosłych mieszkańców określonego regionu. Cała populacja obejmuje bardzo wiele osób, ale badacz zwykle nie może zmierzyć ciśnienia u każdego mieszkańca. Pobiera więc próbę, na przykład 100 osób, i oblicza średnią wartość ciśnienia skurczowego.

Jedna uzyskana średnia jest tylko jednym oszacowaniem. Gdybyśmy powtórzyli losowanie, prawdopodobnie otrzymalibyśmy nieco inną grupę osób i nieco inną średnią. Gdybyśmy wykonali takie losowanie bardzo wiele razy, otrzymalibyśmy ciąg średnich:

• pierwsza próba: średnia 128 mmHg,
• druga próba: średnia 131 mmHg,
• trzecia próba: średnia 126 mmHg,
• kolejne próby: wartości oscylujące wokół średniej populacji.

Rozkład wszystkich tych hipotetycznych średnich nazywa się rozkładem próbkowania średniej. W praktyce nie musimy rzeczywiście pobierać tysięcy prób. Teoria statystyczna pozwala określić najważniejsze właściwości tego rozkładu na podstawie parametrów populacji albo ich oszacowań z jednej próby.

2. Średnia rozkładu próbkowania

Jeżeli próby są pobierane losowo i w sposób niezależny, średnia rozkładu próbkowania średniej jest równa średniej populacji. Zapisujemy to jako:

E(X̄) = μ

Oznaczenia są następujące:

• X̄ – średnia z próby,
• E(X̄) – wartość oczekiwana, czyli średnia wszystkich możliwych wartości średniej z próby,
• μ – średnia w populacji.

Wynik ten oznacza, że średnia z próby jest nieobciążonym estymatorem średniej populacji. Poszczególne średnie mogą być za wysokie albo za niskie, lecz przy wielokrotnym powtarzaniu losowania ich przeciętna powinna zbliżać się do wartości populacyjnej.

Nie oznacza to jednak, że każda próba jest reprezentatywna ani że jedna uzyskana średnia musi być bliska średniej populacji. Właściwości rozkładu próbkowania wynikają z założeń dotyczących losowania, niezależności obserwacji i jakości pomiaru.

3. Zmienność średnich i błąd standardowy

Średnie z różnych prób nie są identyczne. Ich rozproszenie mierzy błąd standardowy średniej. Jeżeli odchylenie standardowe w populacji jest znane, błąd standardowy ma postać:

SE(X̄) = σ / √n

Gdy odchylenie standardowe populacji nie jest znane, co jest typową sytuacją w badaniach empirycznych, stosujemy oszacowanie:

SE(X̄) ≈ s / √n

gdzie:

• SE(X̄) – błąd standardowy średniej,
• σ – odchylenie standardowe w populacji,
• s – odchylenie standardowe obliczone w próbie,
• n – liczebność próby,
• √n – pierwiastek kwadratowy z liczebności próby.

Błąd standardowy opisuje typową zmienność średnich z prób, a nie zmienność pojedynczych osób. To zasadnicza różnica między odchyleniem standardowym a błędem standardowym. Odchylenie standardowe informuje, jak bardzo obserwacje różnią się między sobą. Błąd standardowy informuje, jak bardzo średnia z próby mogłaby zmieniać się między powtarzanymi próbami (Altman i Bland, 2005; Lee, In i Lee, 2015).

Wzór pokazuje również, że zwiększenie liczebności próby zmniejsza błąd standardowy, ale nie proporcjonalnie do liczebności. Aby zmniejszyć błąd standardowy dwukrotnie, trzeba zwiększyć liczebność próby czterokrotnie. Wynika to z obecności pierwiastka kwadratowego.

4. Kształt rozkładu próbkowania średniej

Kształt rozkładu próbkowania zależy między innymi od kształtu rozkładu w populacji i liczebności próby. Jeżeli zmienna w populacji ma rozkład normalny, średnia z próby ma rozkład normalny także wtedy, gdy próba jest mała, pod warunkiem spełnienia odpowiednich założeń losowania.

Jeżeli rozkład populacji nie jest normalny, centralne twierdzenie graniczne wskazuje, że rozkład średniej z próby wraz ze wzrostem n staje się coraz bardziej zbliżony do rozkładu normalnego. Nie istnieje jednak uniwersalna granica, od której zawsze można uznać próbę za „wystarczająco dużą”. Znaczenie ma między innymi skośność rozkładu, obecność wartości odstających, ciężkość ogonów oraz sposób doboru próby.

W praktyce nie należy mechanicznie stosować reguły, że każda próba licząca 30 obserwacji jest wystarczająca. Przy umiarkowanie symetrycznym rozkładzie taka liczebność może być użyteczna, ale przy silnej skośności lub bardzo nietypowych obserwacjach potrzebna może być większa próba albo metoda odporna na naruszenie założeń.

5. Standaryzacja średniej z próby

Jeżeli znamy średnią i odchylenie standardowe populacji, możemy przekształcić średnią z próby do postaci standaryzowanej:

z = (X̄ − μ) / (σ / √n)

W tym wzorze:

• z – liczba błędów standardowych, o które średnia z próby różni się od średniej populacji,
• X̄ – średnia z próby,
• μ – średnia populacji,
• σ / √n – błąd standardowy średniej.

Jeżeli odchylenie standardowe populacji jest nieznane, a zastępujemy je odchyleniem z próby, stosujemy statystykę t:

t = (X̄ − μ) / (s / √n)

Wtedy odwołujemy się do rozkładu t-Studenta z n − 1 stopniami swobody. Rozkład ten uwzględnia dodatkową niepewność wynikającą z faktu, że s jest tylko oszacowaniem populacyjnego odchylenia standardowego.

6. Przykład obliczeniowy: czas oczekiwania na pomoc

W badaniu jakości pracy zespołu ratownictwa medycznego zmierzono czas oczekiwania na przyjęcie pacjenta w 64 przypadkach. Średni czas wyniósł 42 minuty, a odchylenie standardowe w próbie 16 minut.

Błąd standardowy wynosi:

SE = 16 / √64 = 16 / 8 = 2 minuty

Interpretacja: gdybyśmy wielokrotnie pobierali losowe próby po 64 przypadki z tej samej populacji zdarzeń, średnie czasy oczekiwania zmieniałyby się typowo w skali około 2 minut. Nie oznacza to, że każdy pacjent czekał około 2 minut ani że odchylenie standardowe czasu wynosi 2 minuty. Pojedyncze czasy różniły się przeciętnie znacznie bardziej, co odzwierciedla wartość 16 minut.

Przy przybliżeniu normalnym można zbudować 95-procentowy przedział ufności:

42 ± 1,96 × 2 = 42 ± 3,92

Otrzymujemy przedział od około 38,08 do 45,92 minuty. Jego poprawna interpretacja wymaga ostrożności: w procedurze wielokrotnie powtarzanej dla losowych prób 95% tak skonstruowanych przedziałów pokrywałoby prawdziwą średnią populacji. Nie należy mówić, że prawdopodobieństwo, iż konkretna średnia populacji znajduje się w już obliczonym przedziale, wynosi 95%.

7. Przykład medyczny: średnie stężenie glukozy

Załóżmy, że pielęgniarka bada średnie stężenie glukozy na czczo u 25 pacjentów poradni. Uzyskano średnią 108 mg/dl i odchylenie standardowe 20 mg/dl.

Oszacowany błąd standardowy wynosi:

SE = 20 / √25 = 20 / 5 = 4 mg/dl

Średnia 108 mg/dl jest oszacowaniem średniego stężenia w populacji, z której pochodzili pacjenci. Błąd standardowy 4 mg/dl opisuje precyzję tego oszacowania. Nie opisuje natomiast różnic metabolicznych pomiędzy pacjentami. Te różnice charakteryzuje odchylenie standardowe równe 20 mg/dl.

Przy małej próbie i nieznanym odchyleniu populacji właściwsze będzie użycie rozkładu t-Studenta. Dla 24 stopni swobody wartość krytyczna dla dwustronnego przedziału 95% wynosi w przybliżeniu 2,064. Przedział ma więc postać:

108 ± 2,064 × 4 = 108 ± 8,256

Otrzymujemy około 99,7–116,3 mg/dl. Przedział jest szerszy niż analogiczny przedział oparty na wartości 1,96, ponieważ mała próba oznacza większą niepewność oszacowania.

8. Związek z przedziałem ufności i testem hipotezy

Rozkład próbkowania średniej jest podstawą wielu procedur wnioskowania. Jeżeli znamy lub oszacujemy jego zmienność, możemy określić, jakie wartości średniej z próby byłyby względnie typowe przy założeniu określonej wartości średniej populacji.

W teście hipotezy przyjmujemy na przykład:

• H0: μ = 100,
• H1: μ ≠ 100.

Następnie sprawdzamy, jak daleko uzyskana średnia z próby znajduje się od 100 w jednostkach błędu standardowego. Wartość p jest prawdopodobieństwem uzyskania wyniku takiego jak obserwowany lub bardziej skrajnego przy założeniu, że hipoteza zerowa jest prawdziwa. Nie jest prawdopodobieństwem prawdziwości hipotezy zerowej.

Należy rozdzielać trzy kwestie: istotność statystyczną, wielkość efektu i znaczenie praktyczne. Bardzo duża próba może wykazać istotność statystyczną dla różnicy niewielkiej z punktu widzenia pacjenta. Z kolei ważna klinicznie różnica może nie osiągnąć istotności statystycznej przy małej próbie i dużej niepewności.

9. Analiza przypadku: program redukcji stresu

Psycholog ocenia program redukcji stresu u pracowników ochrony zdrowia. W skali od 0 do 40 uczestnicy uzyskali po zakończeniu programu średnio 18 punktów, a odchylenie standardowe wyniosło 8 punktów. Próba liczyła 100 osób.

Błąd standardowy wynosi:

SE = 8 / √100 = 0,8 punktu

Mały błąd standardowy oznacza, że średnia z próby jest relatywnie precyzyjna jako oszacowanie średniej populacji podobnych uczestników. Nie pozwala jednak samodzielnie stwierdzić, że program spowodował obniżenie stresu. Do wniosku przyczynowego potrzebny byłby odpowiedni schemat badania, na przykład randomizowana grupa kontrolna, jasno określony pomiar przed i po interwencji oraz kontrola istotnych źródeł błędu.

Jeżeli badanie miało charakter wyłącznie przekrojowy, można opisać średni poziom stresu i jego niepewność, lecz nie można na tej podstawie twierdzić, że program wywołał określony efekt.

10. Założenia i ograniczenia

Losowość i niezależność

Wzory dotyczące błędu standardowego zakładają, że obserwacje są niezależne albo że zależność została prawidłowo uwzględniona. Jeżeli badacz pobiera wielu pacjentów z tych samych oddziałów, dane mogą być podobne w obrębie oddziału. Wówczas proste s / √n może zaniżać niepewność.

Reprezentatywność

Rozkład próbkowania opisuje losową zmienność między próbami, ale nie usuwa błędu systematycznego. Próba ochotników może różnić się od populacji docelowej, nawet jeśli obliczenia są wykonane bezbłędnie. Większa próba nie naprawia automatycznie błędu doboru.

Pomiar i wartości odstające

Błąd standardowy nie uwzględnia wszystkich źródeł niepewności. Niedokładny aparat, różnice między obserwatorami, brakujące dane lub wartości odstające mogą wpływać na średnią i jej oszacowaną precyzję.

Najczęstsze błędy

• Mylenie odchylenia standardowego z błędem standardowym. SD opisuje zróżnicowanie obserwacji, a SE – zróżnicowanie średnich z prób.
• Twierdzenie, że SE opisuje rozrzut pacjentów. Do tego celu służy SD, mediana z rozstępem międzykwartylowym lub inne miary zmienności danych.
• Interpretowanie SE jako maksymalnego błędu. Błąd standardowy nie jest granicą, której średnia nie może przekroczyć.
• Automatyczne uznawanie n = 30 za wystarczające. Adekwatna liczebność zależy od kształtu rozkładu, celu badania i precyzji wymaganej przez badacza.
• Ignorowanie zależności obserwacji. Dane z wielu pomiarów tego samego pacjenta albo z tych samych klastrów wymagają odpowiednich metod.
• Wyciąganie wniosków przyczynowych z samej średniej. Rozkład próbkowania dotyczy niepewności estymacji, a nie automatycznie przyczynowości.
• Ograniczanie raportu do wartości p. Wynik powinien obejmować co najmniej estymatę efektu, miarę niepewności, liczebność próby i opis metody analizy (Curran-Everett, Taylor i Kafadar, 1998; SAMPL, 2013).

Co warto zapamiętać?

1. Rozkład próbkowania średniej to rozkład średnich uzyskanych z wielu hipotetycznych prób o tej samej liczebności.
2. Średnia tego rozkładu jest równa średniej populacji, jeśli próby są odpowiednio losowane.
3. Błąd standardowy średniej wynosi σ / √n, a w praktyce często szacujemy go jako s / √n.
4. Większa próba zwykle zwiększa precyzję średniej, ale nie eliminuje błędu systematycznego.
5. Odchylenie standardowe opisuje zróżnicowanie osób lub pomiarów, natomiast błąd standardowy opisuje zmienność średniej między próbami.
6. Centralne twierdzenie graniczne uzasadnia przybliżenie normalne dla wielu sytuacji, lecz nie zwalnia z oceny założeń.
7. Przedziały ufności są zwykle bardziej informacyjne niż samo stwierdzenie, czy wartość p przekroczyła ustalony poziom.

Rozkład próbkowania średniej łączy prawdopodobieństwo z praktyką badań empirycznych. W publicznym szkoleniu na statystyk.edu.pl warto traktować go jako ogniwo łączące wcześniejsze lekcje o rozkładach z późniejszymi tematami dotyczącymi estymacji, przedziałów ufności i testów statystycznych. Zrozumienie tego pojęcia ułatwia nie tylko wykonywanie obliczeń, ale przede wszystkim poprawne rozumienie tego, co właściwie mówi wynik badania.

Źródła i dalsza lektura

1. Douglas G. Altman; J. Martin Bland (2005). Standard deviations and standard errors. BMJ, 331(7521), 903. DOI: 10.1136/bmj.331.7521.903.
2. Dong Kyu Lee; Junyong In; Sangseok Lee (2015). Standard deviation and standard error of the mean. Korean Journal of Anesthesiology, 68(3), 220-223. DOI: 10.4097/kjae.2015.68.3.220.
3. D. Curran-Everett; S. Taylor; K. Kafadar (1998). Fundamental concepts in statistics: elucidation and illustration. Journal of Applied Physiology, 85(3), 775-786. DOI: 10.1152/jappl.1998.85.3.775.
4. Mohini P. Barde; Prajakt J. Barde (2012). What to use to express the variability of data: Standard deviation or standard error of mean?. Perspectives in Clinical Research, 3(3), 113-116. DOI: 10.4103/2229-3485.100662.
5. Betty R. Kirkwood; Jonathan A. C. Sterne (2003). Essential Medical Statistics. 2nd edition. Blackwell Science. Informacja wydawcy / źródło.
6. SAMPL Guidelines Group (2013). Statistical Analyses and Methods in the Published Literature: The SAMPL Guidelines. EQUATOR Network. Źródło.