427. Test chi-kwadrat zgodności – porównanie z oczekiwanym rozkładem

W poprzednich lekcjach modułu 22 analizowaliśmy tabele kontyngencji oraz porównywanie kategorii między grupami. Tym razem rozważymy sytuację prostszą, ale bardzo ważną: mamy jedną zmienną jakościową i chcemy sprawdzić, czy jej rozkład w badanej próbie jest zgodny z wcześniej określonym rozkładem oczekiwanym. Służy do tego test chi-kwadrat zgodności, nazywany także testem dopasowania lub testem zgodności rozkładu.

Test ten nie odpowiada na pytanie, czy dwie zmienne są niezależne. Nie porównuje też bezpośrednio średnich ani median. Jego zadaniem jest ocena, czy różnice między liczebnościami obserwowanymi a liczebnościami wynikającymi z założonego modelu są na tyle duże, że trudno uznać je za zwykłe wahania losowe.

Na czym polega test chi-kwadrat zgodności?

Załóżmy, że obserwujemy jedną zmienną jakościową, która może przyjmować k kategorii. Dla każdej kategorii znamy:

• liczebność obserwowaną – ile przypadków rzeczywiście znalazło się w danej kategorii;
• liczebność oczekiwaną – ile przypadków powinno znaleźć się w tej kategorii, gdyby obowiązywał rozkład określony przez hipotezę zerową.

Hipoteza zerowa ma postać:

H₀: rozkład kategorii w populacji jest zgodny z określonym rozkładem oczekiwanym.

Hipoteza alternatywna brzmi:

H₁: rozkład kategorii w populacji różni się od określonego rozkładu oczekiwanego.

Rozkład oczekiwany może wynikać z teorii, wcześniejszych badań, norm populacyjnych, założeń organizacyjnych albo prostego modelu, na przykład równomiernego rozkładu kategorii. W ujęciu metodologicznym kluczowe jest to, aby rozkład oczekiwany został określony przed analizą danych, a nie dopasowany po obejrzeniu wyników.

Wzór statystyki chi-kwadrat

Statystykę testową Pearsona zapisujemy następująco:

χ² = Σ[(Oᵢ − Eᵢ)² / Eᵢ]

gdzie:

• χ² – wartość statystyki chi-kwadrat;
• O_i – liczebność obserwowana w kategorii i;
• E_i – liczebność oczekiwana w kategorii i;
• i – numer kategorii, od 1 do k;
• Σ – sumowanie składników dla wszystkich kategorii.

Każdy składnik wzoru mierzy, jak bardzo liczebność obserwowana odbiega od oczekiwanej. Różnica jest podnoszona do kwadratu, dlatego odchylenia dodatnie i ujemne nie znoszą się. Następnie wynik dzieli się przez liczebność oczekiwaną. Dzięki temu takie samo bezwzględne odchylenie ma większe znaczenie w kategorii, w której oczekiwano niewielu przypadków, niż w kategorii licznej.

Im większa wartość χ², tym większa łączna rozbieżność między rozkładem obserwowanym a oczekiwanym. Statystyka ma w przybliżeniu rozkład chi-kwadrat, jeżeli spełnione są warunki dużej próby i odpowiednio duże liczebności oczekiwane (NIST, 2006).

Stopnie swobody i wartość p

W najprostszym przypadku, gdy wszystkie prawdopodobieństwa kategorii są ustalone z góry, liczba stopni swobody wynosi:

df = k − 1

Odejmuje się jeden stopień swobody, ponieważ suma liczebności we wszystkich kategoriach musi być równa całkowitej liczebności próby. Jeżeli znamy liczebności w k − 1 kategoriach, liczebność ostatniej kategorii jest już określona.

Jeżeli parametry rozkładu oczekiwanego są szacowane z tych samych danych, liczba stopni swobody może być mniejsza. Ogólna zasada ma wtedy postać:

df = k − 1 − q

gdzie q oznacza liczbę parametrów oszacowanych na podstawie danych. Tego elementu nie należy pomijać, ponieważ użycie zbyt dużej liczby stopni swobody może prowadzić do nieprawidłowej wartości p (NIST, 2006).

Wartość p jest prawdopodobieństwem uzyskania statystyki testowej co najmniej tak ekstremalnej jak zaobserwowana, przy założeniu, że hipoteza zerowa jest prawdziwa. Nie jest natomiast prawdopodobieństwem prawdziwości hipotezy zerowej. Wartość p nie informuje również o wielkości ani praktycznym znaczeniu różnicy.

Jak obliczyć liczebności oczekiwane?

Jeśli rozkład oczekiwany określają prawdopodobieństwa p₁, p₂, …, p_k, a całkowita liczebność próby wynosi n, to:

Eᵢ = n × pᵢ

Przykładowo, jeśli w próbie 200 osób zakładamy równy rozkład czterech kategorii, każda liczebność oczekiwana wynosi 200 × 0,25 = 50.

Kategoria	Prawdopodobieństwo oczekiwane	Liczebność oczekiwana przy n = 200
A	0,25	50
B	0,25	50
C	0,25	50
D	0,25	50

Ważne, aby prawdopodobieństwa oczekiwane sumowały się do 1, a liczebności oczekiwane do n. Jeżeli rozkład pochodzi z wcześniejszych badań, trzeba jasno wskazać, z jakiej populacji i jakiego okresu pochodzi.

Założenia testu

Jedna obserwacja powinna należeć do jednej kategorii

Test wymaga, aby przypadki były wzajemnie rozłączne: każda osoba, zdarzenie lub jednostka obserwacji trafia do jednej i tylko jednej kategorii. Nie można zwykle zastosować klasycznego testu chi-kwadrat zgodności, jeśli ta sama osoba jest liczona jednocześnie w kilku kategoriach.

Obserwacje powinny być niezależne

Jeżeli analizujemy 300 pacjentów, wynik jednego pacjenta nie powinien determinować kategorii innego pacjenta. Naruszenie niezależności może wystąpić na przykład w badaniu klastrowym, gdy wiele obserwacji pochodzi z tych samych oddziałów, szkół lub gospodarstw domowych.

Liczebności oczekiwane nie powinny być zbyt małe

W praktyce często przyjmuje się, że liczebności oczekiwane powinny być co najmniej równe 5. Jest to reguła orientacyjna, a nie uniwersalne prawo. Przy małych liczebnościach można rozważyć połączenie sensownych merytorycznie kategorii, zastosowanie testu dokładnego albo procedury symulacyjnej. Nie należy jednak łączyć kategorii wyłącznie po to, aby uzyskać korzystną wartość p.

Ograniczenie to dotyczy właśnie liczebności oczekiwanych, a nie obserwowanych. NIST podkreśla również, że wynik testu może zależeć od sposobu pogrupowania danych, zwłaszcza gdy analizowane są zmienne ciągłe zamienione na przedziały (NIST, 2006).

Przykład 1: struktura rozpoznań na oddziale ratunkowym

Załóżmy, że kierownik oddziału ratunkowego chce sprawdzić, czy struktura czterech głównych kategorii rozpoznań w lokalnej próbie 120 pacjentów odpowiada rozkładowi referencyjnemu z wcześniejszego raportu:

• urazy: 40%;
• objawy krążeniowe: 25%;
• objawy oddechowe: 20%;
• pozostałe rozpoznania: 15%.

Zaobserwowano odpowiednio: 54, 24, 27 i 15 przypadków. Liczebności oczekiwane wynoszą:

Kategoria	Oᵢ	pᵢ	Eᵢ = 120 × pᵢ
Urazy	54	0,40	48
Objawy krążeniowe	24	0,25	30
Objawy oddechowe	27	0,20	24
Pozostałe	15	0,15	18

Statystyka wynosi:

χ² = (54−48)²/48 + (24−30)²/30 + (27−24)²/24 + (15−18)²/18

χ² = 0,75 + 1,20 + 0,375 + 0,50 = 2,825

Liczba stopni swobody wynosi df = 4 − 1 = 3. Dla tej wartości statystyki i 3 stopni swobody wartość p jest większa niż 0,05. Nie ma więc podstaw do odrzucenia H₀. Poprawny wniosek brzmi: zaobserwowany rozkład nie wykazuje statystycznie istotnej niezgodności z rozkładem referencyjnym.

Nie wolno jednak napisać, że „udowodniono identyczność rozkładów”. Brak istotności statystycznej nie dowodzi pełnej zgodności. Przydatne jest także przedstawienie różnic bezwzględnych i względnych: urazów było o 6 więcej, a przypadków krążeniowych o 6 mniej niż oczekiwano.

Przykład 2: preferowane formy wsparcia psychologicznego

W badaniu 80 studentów korzystających z poradnictwa psychologicznego zapytano o preferowaną formę dalszego wsparcia. Zespół badawczy przed rozpoczęciem analizy przyjął rozkład oczekiwany: konsultacje indywidualne 50%, grupa wsparcia 30%, konsultacje internetowe 20%.

Otrzymano odpowiednio 52, 18 i 10 odpowiedzi. Liczebności oczekiwane wynoszą 40, 24 i 16. Obliczenie daje:

χ² = (52−40)²/40 + (18−24)²/24 + (10−16)²/16

χ² = 3,60 + 1,50 + 2,25 = 7,35

Stopnie swobody: df = 3 − 1 = 2. Dla χ² = 7,35 i df = 2 wartość p wynosi około 0,025. Wynik jest zatem istotny statystycznie przy α = 0,05. Dane sugerują, że rozkład preferencji w badanej próbie różni się od przyjętego rozkładu oczekiwanego.

Test globalny nie wskazuje jednak automatycznie, która kategoria odpowiada za różnicę. W tym przykładzie największy wkład ma kategoria konsultacji indywidualnych, ponieważ zaobserwowano 52 osoby zamiast oczekiwanych 40. Można analizować składniki χ², reszty standaryzowane albo zaplanować porównania szczegółowe, pamiętając o problemie wielokrotnego testowania.

Jak interpretować wynik w badaniu naukowym?

W raporcie warto podać:

1. liczebność próby;
2. kategorie analizowanej zmiennej;
3. liczebności obserwowane i oczekiwane;
4. wartość statystyki χ²;
5. liczbę stopni swobody;
6. wartość p;
7. informację o źródle rozkładu oczekiwanego;
8. – jeśli to uzasadnione – miarę różnicy lub przedział niepewności.

Przykładowy zapis:

Rozkład kategorii różnił się od rozkładu referencyjnego, χ²(2) = 7,35, p = 0,025. Największe odchylenie dotyczyło konsultacji indywidualnych: 52 obserwacje przy 40 oczekiwanych.

Wartość p wskazuje na zgodność danych z hipotezą zerową w sensie testowym, ale nie mówi, czy różnica jest ważna dla praktyki klinicznej lub organizacyjnej. W przedstawionym badaniu różnica może mieć znaczenie dla planowania obsady poradni, lecz wymaga oceny w kontekście kosztów, dostępności i potrzeb pacjentów.

Najczęstsze błędy

• Pomylenie testu zgodności z testem niezależności. Test zgodności analizuje jedną zmienną i porównuje ją z rozkładem oczekiwanym. Test niezależności dotyczy związku dwóch zmiennych jakościowych.
• Ustalanie rozkładu oczekiwanego po obejrzeniu danych. Takie postępowanie osłabia interpretację testu i może zwiększać ryzyko pozornie potwierdzających wyników.
• Traktowanie wartości p jako miary wielkości efektu. Mała wartość p może wynikać z dużej próby i niewielkiej różnicy praktycznej.
• Wnioskowanie przyczynowe. Sam test zgodności nie pokazuje, dlaczego rozkład odbiega od oczekiwanego.
• Ignorowanie małych liczebności oczekiwanych. Przy rzadkich kategoriach przybliżenie chi-kwadrat może być niewiarygodne.
• Łączenie kategorii bez uzasadnienia. Kategorie można scalać tylko wtedy, gdy ich połączenie ma sens merytoryczny i zostało opisane.
• Raportowanie wyłącznie „istotne/nieistotne”. Należy pokazać także liczebności obserwowane, oczekiwane i kierunek odchyleń.
• Analizowanie danych zależnych jak niezależnych. Powtarzane pomiary, pary dopasowane i obserwacje klastrowe wymagają metod uwzględniających zależność.

Przykład praktyczny: kontrola zgodności z normą

W centrum zdrowia publicznego oceniono 250 zgłoszeń dotyczących sposobu uzyskania informacji o szczepieniach. Z wcześniejszego badania przyjęto rozkład: lekarz rodzinny 45%, pielęgniarka 25%, internet 20%, rodzina lub znajomi 10%. Zaobserwowano odpowiednio 130, 48, 52 i 20 zgłoszeń. Oczekiwano 112,5, 62,5, 50 i 25 przypadków.

W tym przykładzie jedna z liczebności oczekiwanych nie jest liczbą całkowitą, ale nie stanowi to problemu. Liczebność oczekiwana jest wartością modelową i może być ułamkowa. Po obliczeniu statystyki testowej badacz powinien sprawdzić, czy całkowite odchylenie jest statystycznie przekonujące, a następnie ocenić jego znaczenie organizacyjne.

Jeżeli wynik okaże się istotny, nie należy automatycznie stwierdzać, że „lekarze powodują wybór tej ścieżki informacji”. Można powiedzieć jedynie, że struktura źródeł informacji różni się od przyjętej normy. Wyjaśnienie przyczyn wymagałoby innego projektu, na przykład badania ankietowego z dodatkowymi zmiennymi lub badania obserwacyjnego uwzględniającego dostępność usług.

Test a opis danych i analiza wrażliwości

Test chi-kwadrat zgodności nie powinien zastępować statystyk opisowych. Zawsze warto przedstawić liczebności oraz odsetki, a w razie potrzeby także wykres słupkowy porównujący wartości obserwowane i oczekiwane.

Przy małej próbie można wykonać analizę wrażliwości: sprawdzić, czy wniosek zmienia się po zastosowaniu testu dokładnego, symulacji Monte Carlo albo po rozsądnym scaleniu rzadkich kategorii. Nie należy jednak wykonywać wielu alternatywnych analiz bez ujawnienia tego faktu. Czytelnik powinien wiedzieć, która procedura była zaplanowana, a która miała charakter dodatkowy.

W przypadku danych ciągłych pogrupowanych w przedziały test chi-kwadrat jest zależny od sposobu wyznaczenia granic. Dlatego przedziały powinny być uzasadnione merytorycznie lub statystycznie, a wynik warto traktować jako ocenę przyjętego pogrupowania, nie jako całkowicie niezależną właściwość surowych danych.

Co warto zapamiętać?

• Test chi-kwadrat zgodności porównuje rozkład zaobserwowany z rozkładem oczekiwanym.
• Analizuje jedną zmienną jakościową, podzieloną na wzajemnie rozłączne kategorie.
• Statystyka opiera się na różnicach między liczebnościami obserwowanymi i oczekiwanymi.
• Dla ustalonych prawdopodobieństw oczekiwanych stopnie swobody wynoszą zwykle k − 1.
• Wartość p nie jest prawdopodobieństwem prawdziwości H₀ ani miarą wielkości efektu.
• Małe liczebności oczekiwane, zależność obserwacji i niejasny rozkład referencyjny mogą unieważnić prostą interpretację.
• Istotność statystyczną należy oddzielić od znaczenia praktycznego.
• W raporcie trzeba podać rozkład oczekiwany, liczebności, χ², df i p.

W ramach szkolenia na statystyk.edu.pl ten test warto traktować jako kolejny etap rozumienia tabel częstości: najpierw opisujemy kategorie, następnie formułujemy model oczekiwany, a dopiero potem oceniamy, czy obserwowane odchylenia są zgodne z losową zmiennością.

Źródła i dalsza lektura

1. National Institute of Standards and Technology (2006). Chi-Square Goodness-of-Fit Test. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods. National Institute of Standards and Technology. Źródło.
2. National Institute of Standards and Technology (2006). Chi-square Goodness-of-Fit Test. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods: Product and Process Comparisons. National Institute of Standards and Technology. Źródło.
3. Agresti, Alan (2013). Categorical Data Analysis. 3rd edition. John Wiley & Sons. Informacja wydawcy / źródło.
4. McHugh, Mary L. (2013). The Chi-square test of independence. Biochemia Medica, 23(2), 143–149. DOI: 10.11613/BM.2013.018.
5. Rana, Rakesh; Singhal, Richa (2015). Chi-square test and its application in hypothesis testing. Journal of the Practice of Cardiovascular Sciences, 1(1), 69–71. DOI: 10.4103/2395-5414.157577.
6. Bewick, Viv; Cheek, Liz; Ball, Jonathan (2004). Statistics review 8: Qualitative data – tests of association. Critical Care, 8(1), 46–53. DOI: 10.1186/cc2428.

Jeżeli potrzebujesz indywidualnego wsparcia w doborze metod, przygotowaniu bazy lub opracowaniu wyników badań, sprawdź analiza statystyczna.