421. Tabela kontyngencji – podstawowe narzędzie analizy kategorii

Tabela kontyngencji jest jednym z podstawowych sposobów porządkowania danych jakościowych. Pozwala zestawić dwie lub więcej zmiennych kategorialnych i sprawdzić, jak często występują poszczególne kombinacje ich kategorii. W badaniach medycznych może służyć do porównania częstości powikłań między grupami leczenia, w zdrowiu publicznym — do oceny związku między ekspozycją a zachowaniem zdrowotnym, a w psychologii — do zestawienia kategorii diagnozy z poziomem funkcjonowania. Sama tabela nie jest jeszcze testem statystycznym, ale stanowi punkt wyjścia do opisu danych, testowania hipotez i obliczania miar związku.

W tej lekcji kursu na statystyk.edu.pl przechodzimy od konstrukcji tabeli do jej poprawnej interpretacji. Szczególną uwagę poświęcimy temu, aby nie utożsamiać istotności statystycznej z siłą ani praktycznym znaczeniem związku.

Czym jest tabela kontyngencji?

Tabela kontyngencji, nazywana także tabelą krzyżową, przedstawia rozkład liczebności dla dwóch zmiennych jakościowych. Jedna zmienna jest umieszczana w wierszach, druga w kolumnach. W komórkach znajdują się liczby obserwacji należących jednocześnie do określonej kategorii zmiennej wierszowej i określonej kategorii zmiennej kolumnowej.

Jeżeli pierwsza zmienna ma r kategorii, a druga c kategorii, mówimy o tabeli r × c. Przykładowo tabela 2 × 2 ma dwa wiersze i dwie kolumny, natomiast tabela 3 × 4 — trzy kategorie jednej zmiennej i cztery kategorie drugiej. Do wymiarów tabeli nie wlicza się wiersza ani kolumny sumarycznej.

Liczebności obserwowane

Oznaczmy przez n_ij liczebność obserwowaną w komórce znajdującej się w i-tym wierszu i j-tej kolumnie. Suma wszystkich komórek daje całkowitą liczebność próby:

N = Σ_i=1^r Σ_j=1^c n_ij

Sumy wierszy informują, ile osób znalazło się w poszczególnych kategoriach zmiennej wierszowej, a sumy kolumn — ile osób należy do kategorii zmiennej kolumnowej. W praktyce warto zawsze prezentować zarówno liczebności bezwzględne, jak i odsetki, ponieważ sama liczba osób może być myląca przy nierównych liczebnościach grup.

Przykład podstawowy

Załóżmy, że w badaniu 120 pacjentów oceniono wystąpienie działania niepożądanego po zastosowaniu dwóch metod leczenia:

Metoda leczenia	Działanie niepożądane: tak	Działanie niepożądane: nie	Razem
A	18	42	60
B	9	51	60
Razem	27	93	120

W tabeli widzimy, że działanie niepożądane wystąpiło u 30% pacjentów leczonych metodą A i u 15% pacjentów leczonych metodą B. Jest to opis różnicy między grupami. Nie wolno jednak bez dodatkowych informacji stwierdzić, że metoda A spowodowała częstsze działania niepożądane. Taki język wymaga odpowiedniego schematu badania, kontroli zakłócających czynników i uzasadnienia przyczynowego.

Rodzaje procentów w tabeli

Ta sama tabela może prowadzić do różnych wniosków w zależności od mianownika, czyli liczby, przez którą dzielimy liczebność komórki.

• Procenty wierszowe odpowiadają na pytanie: jaki jest rozkład kategorii zmiennej kolumnowej w obrębie każdej kategorii zmiennej wierszowej?
• Procenty kolumnowe odpowiadają na pytanie: jaki jest rozkład kategorii zmiennej wierszowej w obrębie każdej kategorii zmiennej kolumnowej?
• Procenty ogółem pokazują, jaką część całej próby stanowi dana komórka.

W przykładzie leczenia właściwe będą zwykle procenty wierszowe, ponieważ chcemy porównać odsetek działań niepożądanych w każdej metodzie. Dla metody A obliczenie wygląda następująco: 18/60 × 100% = 30%. Dla metody B: 9/60 × 100% = 15%.

Nie należy pisać jedynie „18 pacjentów, czyli 15%”, jeśli nie wiadomo, czy 15% odnosi się do całej próby, grupy leczenia czy osób z działaniem niepożądanym. Każdy odsetek powinien mieć jasno określony mianownik.

Niezależność zmiennych i liczebności oczekiwane

Jednym z najczęstszych pytań jest to, czy rozkład jednej zmiennej różni się zależnie od kategorii drugiej zmiennej. W języku statystycznym testujemy wówczas hipotezę o niezależności.

Hipoteza zerowa H₀: zmienne są niezależne w populacji, czyli rozkład jednej zmiennej nie zależy od kategorii drugiej.

Hipoteza alternatywna H₁: zmienne nie są niezależne; występuje między nimi związek.

Do obliczenia statystyki chi-kwadrat porównuje się liczebności obserwowane z liczebnościami oczekiwanymi. Liczebność oczekiwana to liczba, jakiej spodziewalibyśmy się w danej komórce, gdyby zmienne były niezależne:

E_ij = (n_i+ × n_+j) / N

gdzie:

• E_ij — liczebność oczekiwana w komórce i, j;
• n_i+ — suma liczebności w i-tym wierszu;
• n_+j — suma liczebności w j-tej kolumnie;
• N — całkowita liczebność próby.

Dla komórki „metoda A — działanie niepożądane: tak” liczebność oczekiwana wynosi: (60 × 27) / 120 = 13,5. Zaobserwowano 18 przypadków, a więc więcej niż oczekiwano przy założeniu niezależności. Dla komórki „metoda B — działanie niepożądane: tak” oczekiwana liczebność również wynosi 13,5, lecz zaobserwowano 9 przypadków.

Statystyka chi-kwadrat Pearsona

Najczęściej stosowanym testem dla tabeli kontyngencji jest test chi-kwadrat Pearsona. Jego statystyka ma postać:

χ² = Σ_i=1^r Σ_j=1^c (O_ij − E_ij)² / E_ij

Oznaczenia są następujące:

• χ² — wartość statystyki chi-kwadrat;
• O_ij — liczebność obserwowana;
• E_ij — liczebność oczekiwana;
• sumowanie obejmuje wszystkie komórki tabeli.

Im większe są rozbieżności między liczebnościami obserwowanymi i oczekiwanymi, tym większa jest wartość statystyki. Dla tabeli r × c liczba stopni swobody wynosi:

df = (r − 1)(c − 1)

Wartość p informuje, na ile dane byłyby zgodne z hipotezą o niezależności, przy przyjęciu określonego modelu i założeń. Nie jest prawdopodobieństwem, że hipoteza zerowa jest prawdziwa. Ponadto mała wartość p nie mówi sama przez się, czy związek jest silny ani czy ma znaczenie kliniczne.

W tabeli 2 × 2, przy małych liczebnościach oczekiwanych, można zastosować dokładny test Fishera. Nie jest on „lepszy” w każdej sytuacji; wybór zależy od struktury danych, liczebności i planu analizy. Gdy kategorie są uporządkowane, warto rozważyć także test trendu, zamiast traktować zmienną porządkową jak nominalną (Agresti, 2013; McHugh, 2013).

Siła związku: nie tylko istotność

Po wykonaniu testu niezależności należy ocenić wielkość związku. Dla tabel większych niż 2 × 2 często stosuje się V Craméra:

V = √[χ² / (N × min(r − 1, c − 1))]

gdzie min(r − 1, c − 1) oznacza mniejszą z wartości r − 1 i c − 1. V przyjmuje wartości od 0 do 1, przy czym interpretacja „małego”, „umiarkowanego” i „dużego” efektu powinna uwzględniać dziedzinę, projekt badania i konsekwencje praktyczne. Uniwersalne progi nie zastępują oceny merytorycznej.

W tabeli 2 × 2 przydatne mogą być także iloraz szans, ryzyko względne i różnica ryzyka. Nie są one zamienne. Ryzyko względne ma naturalną interpretację przede wszystkim wtedy, gdy znamy mianowniki grup i projekt pozwala na sensowne wyznaczenie ryzyka. Iloraz szans bywa użyteczny w badaniach klinicznych i epidemiologicznych, ale przy częstym wyniku może wyolbrzymiać wrażenie wielkości związku.

Przykład praktyczny: szczepienie i hospitalizacja

W badaniu obserwacyjnym analizowano 800 osób z infekcją układu oddechowego. Zestawiono status szczepienia z hospitalizacją:

Status szczepienia	Hospitalizacja	Brak hospitalizacji	Razem
Szczepieni	24	376	400
Nieszczepieni	48	352	400
Razem	72	728	800

Odsetek hospitalizacji wynosi 6% w grupie szczepionej i 12% w grupie nieszczepionej. Różnica ryzyka wynosi 6 punktów procentowych, a ryzyko względne hospitalizacji w grupie szczepionej względem nieszczepionej wynosi 0,50. Są to wyniki opisowe i nie stanowią automatycznie dowodu ochronnego działania szczepienia, ponieważ badanie obserwacyjne może być obciążone między innymi różnicami wieku, chorobami współistniejącymi, dostępem do opieki i zachowaniami zdrowotnymi.

W raporcie należałoby podać liczebności, odsetki, miarę związku z przedziałem ufności oraz sposób uwzględnienia potencjalnych czynników zakłócających. Takie podejście jest zgodne z dobrą praktyką raportowania badań obserwacyjnych, w tym z zaleceniami STROBE (von Elm et al., 2007).

Jak czytać tabelę większą niż 2 × 2?

Rozważmy badanie 300 studentów pielęgniarstwa. Zmienną wierszową jest rok studiów, a kolumnową kategoria wypalenia: niskie, umiarkowane i wysokie. Tabela 4 × 3 może ujawnić, że odsetek wysokiego wypalenia rośnie w kolejnych latach. Najpierw należy obejrzeć procenty wierszowe, następnie globalny test niezależności, a potem sprawdzić, które komórki najbardziej przyczyniają się do wartości chi-kwadrat.

Pomocne są standaryzowane reszty, które pokazują, gdzie różnica między liczebnością obserwowaną i oczekiwaną jest szczególnie duża. Nie powinno się jednak przeglądać wielu komórek bez planu i wybierać wyłącznie tych, które przypadkowo wyglądają interesująco. Przy licznych porównaniach rośnie ryzyko wyników fałszywie dodatnich, dlatego potrzebna jest kontrola wielokrotnego testowania albo jasno określona hipoteza kierunkowa.

Założenia i ograniczenia

• Obserwacje powinny być niezależne, chyba że zastosowano metodę przeznaczoną do danych zależnych.
• Każda osoba powinna zostać przypisana do jednej, jasno zdefiniowanej komórki, o ile konstrukcja zmiennych tego wymaga.
• Kategorie powinny być rozłączne i wyczerpujące albo powinien istnieć jawnie opisany sposób postępowania z kategorią „brak danych” lub „inne”.
• Liczebności oczekiwane nie powinny być skrajnie małe. Przy rzadkich danych należy rozważyć łączenie kategorii, test dokładny lub model odpowiedni dla małych częstości.
• W przypadku danych sparowanych, powtarzanych albo pochodzących ze złożonego planu losowania zwykły test chi-kwadrat może być nieodpowiedni.

Ważna jest także jednostka analizy. Jeśli jedna osoba może zgłosić wiele objawów, nie wolno bezrefleksyjnie traktować każdego objawu jako niezależnej obserwacji. Tabela musi odpowiadać pytaniu badawczemu i sposobowi gromadzenia danych.

Najczęstsze błędy

1. Podawanie samych liczebności. Bez mianownika nie wiadomo, czy grupy są porównywalne.
2. Mylenie procentów wierszowych i kolumnowych. Zawsze należy opisać, względem czego obliczono odsetek.
3. Traktowanie wartości p jako miary siły efektu. Wartość p zależy także od liczebności próby.
4. Wnioskowanie przyczynowe z tabeli obserwacyjnej. Związek kategorii nie jest sam w sobie dowodem przyczynowości.
5. Ignorowanie małych liczebności oczekiwanych. Wynik testu asymptotycznego może być wtedy niewiarygodny.
6. Automatyczne łączenie kategorii. Łączenie powinno mieć uzasadnienie merytoryczne, a nie służyć wyłącznie uzyskaniu istotności.
7. Brak informacji o brakach danych. Liczebność całkowita może różnić się między tabelami i trzeba to wyjaśnić.
8. Założenie, że tabela zastępuje analizę wieloczynnikową. Przy zakłócaniu lub modyfikacji efektu potrzebne mogą być modele regresyjne albo analiza stratyfikowana.

Jak raportować tabelę w pracy naukowej?

Dobry opis powinien zawierać: definicje kategorii, liczebność analizowanej próby, liczebności komórek, właściwe odsetki, zastosowany test, stopnie swobody, wartość statystyki, wartość p oraz — gdy to uzasadnione — miarę efektu i przedział ufności. Należy także podać, czy test był dwustronny, jak potraktowano braki danych i czy zastosowano korektę z powodu wielokrotnych porównań.

Przykładowe zdanie: „Hospitalizowano 24 z 400 osób szczepionych (6,0%) oraz 48 z 400 osób nieszczepionych (12,0%). Rozkład hospitalizacji różnił się między grupami; wynik testu chi-kwadrat należy uzupełnić o dokładną wartość statystyki, stopnie swobody, wartość p i przedział ufności dla wybranej miary związku”. Takie sformułowanie oddziela opis danych od interpretacji.

Co warto zapamiętać?

• Tabela kontyngencji pokazuje wspólny rozkład dwóch zmiennych kategorialnych.
• Liczebności obserwowane opisują dane, a liczebności oczekiwane wynikają z założenia niezależności.
• Procenty trzeba interpretować względem właściwego mianownika.
• Test chi-kwadrat ocenia zgodność danych z hipotezą niezależności, ale nie mierzy samodzielnie siły ani znaczenia praktycznego związku.
• Po wyniku testu należy rozważyć miarę efektu, przedział ufności i znaczenie kliniczne lub społeczne.
• Wybór analizy zależy od niezależności obserwacji, liczebności oczekiwanych, skali pomiaru i schematu badania.
• Poprawna tabela jest narzędziem rozumowania, a nie tylko formatem prezentacji danych.

Źródła i dalsza lektura

1. Agresti, Alan (2013). Categorical Data Analysis. 3rd edition. John Wiley & Sons. Informacja wydawcy / źródło.
2. McHugh, Mary L. (2013). The Chi-square test of independence. Biochemia Medica, 23(2), 143–149. DOI: 10.11613/BM.2013.018.
3. Sridharan, Kannan; Lakshmi, P. V. M. (2016). Biostatistics Series Module 4: Comparing Groups—Categorical Variables. Indian Dermatology Online Journal, 7(4), 293–299. DOI: 10.4103/2229-5178.185700.
4. von Elm, Erik; Altman, Douglas G.; Egger, Matthias; Pocock, Stuart J.; Gøtzsche, Peter C.; Vandenbroucke, Jan P.; STROBE Initiative (2007). The Strengthening the Reporting of Observational Studies in Epidemiology (STROBE) statement: guidelines for reporting observational studies. The Lancet, 370(9596), 1453–1457. DOI: 10.1016/S0140-6736(07)61602-X.
5. von Elm, Erik; Altman, Douglas G.; Egger, Matthias; Pocock, Stuart J.; Gøtzsche, Peter C.; Vandenbroucke, Jan P. (2008). The Strengthening the Reporting of Observational Studies in Epidemiology (STROBE) statement: guidelines for reporting observational studies. Journal of Clinical Epidemiology, 61(4), 344–349. DOI: 10.1016/j.jclinepi.2007.11.008.