430. Iloraz szans z tabeli 2×2

W tabeli 2×2 zestawiamy dwie zmienne jakościowe, z których każda ma dwie kategorie, na przykład: ekspozycja wystąpiła lub nie wystąpiła oraz choroba wystąpiła lub nie wystąpiła. Sama tabela opisuje liczebności, ale często chcemy także podsumować siłę związku jedną liczbą. Jedną z najważniejszych miar jest iloraz szans, oznaczany najczęściej jako OR (od ang. odds ratio).

Iloraz szans jest szczególnie użyteczny w badaniach klinicznych, epidemiologicznych, psychologicznych i społecznych, a także w badaniach kliniczno-kontrolnych. Nie należy jednak utożsamiać go automatycznie z ryzykiem względnym ani interpretować jako prawdopodobieństwa. Celem tej lekcji, będącej częścią szkolenia na statystyk.edu.pl, jest przejście od definicji do poprawnej interpretacji i raportowania wyniku.

1. Tabela 2×2 i jej oznaczenia

Przyjmijmy, że badamy związek między ekspozycją a wystąpieniem zdarzenia, na przykład między paleniem papierosów a rozpoznaniem przewlekłej choroby układu oddechowego. Tabelę zapisujemy następująco:

	Zdarzenie: tak	Zdarzenie: nie	Suma
Ekspozycja: tak	a	b	a + b
Ekspozycja: nie	c	d	c + d
Suma	a + c	b + d	n

Litera a oznacza liczbę osób, u których wystąpiła zarówno ekspozycja, jak i zdarzenie. b to liczba osób eksponowanych bez zdarzenia. c oznacza osoby nieeksponowane, u których wystąpiło zdarzenie, a d — osoby nieeksponowane bez zdarzenia.

Układ tabeli ma znaczenie. Jeżeli zamienimy kolejność wierszy albo kolumn, możemy otrzymać odwrotność pierwotnego ilorazu szans. Dlatego przed obliczeniem OR trzeba jasno określić, która kategoria jest traktowana jako ekspozycja, a która jako jej brak, oraz która kategoria wyniku jest zdarzeniem.

2. Czym są szanse?

Prawdopodobieństwo zdarzenia opisuje udział osób, u których zdarzenie wystąpiło, w całej rozważanej grupie. Jeżeli prawdopodobieństwo wynosi 0,20, oznacza to, że zdarzenie występuje u 20% osób.

Szanse są stosunkiem prawdopodobieństwa zdarzenia do prawdopodobieństwa jego niewystąpienia:

szanse = p / (1 − p)

Jeżeli p = 0,20, to szanse wynoszą 0,20 / 0,80 = 0,25. Można je zapisać jako 1:4. Nie oznacza to, że prawdopodobieństwo wynosi 25%; prawdopodobieństwo wynosi nadal 20%.

W tabeli 2×2 szanse wystąpienia zdarzenia w grupie eksponowanej wynoszą:

szanse₁ = a / b

Natomiast w grupie nieeksponowanej:

szanse₀ = c / d

Iloraz szans porównuje te dwa ilorazy:

OR = (a / b) / (c / d)

Po przekształceniu otrzymujemy podstawowy wzór:

OR = (a × d) / (b × c)

Każda litera we wzorze odnosi się do komórki tabeli przedstawionej wcześniej. W praktyce mnożymy liczby po przekątnej zawierającej a i d, a następnie dzielimy przez iloczyn liczb z drugiej przekątnej, czyli b i c.

3. Jak interpretować wartość OR?

OR równe 1

Jeżeli OR = 1, szanse wystąpienia zdarzenia są takie same w obu grupach. W tabeli nie obserwujemy związku między ekspozycją a zdarzeniem w sensie ilorazu szans.

OR większe od 1

Jeżeli OR > 1, szanse zdarzenia są większe w grupie eksponowanej. Na przykład OR = 2 oznacza, że szanse zdarzenia w grupie eksponowanej są dwukrotnie większe niż w grupie nieeksponowanej.

OR mniejsze od 1

Jeżeli OR < 1, ekspozycja wiąże się z mniejszymi szansami zdarzenia. Na przykład OR = 0,50 oznacza, że szanse zdarzenia w grupie eksponowanej stanowią połowę szans w grupie nieeksponowanej. Można również powiedzieć, że są o 50% mniejsze, ponieważ 1 − 0,50 = 0,50.

Warto pamiętać, że OR = 0,50 i OR = 2 nie opisują dwóch różnych sił związku, lecz ten sam kontrast przy odwróceniu kategorii porównania. Jeżeli pierwsza analiza daje OR = 0,50, odwrócenie porównania daje OR = 2,00.

4. Przykład pierwszy: ekspozycja zawodowa i objawy oddechowe

W badaniu pracowników oceniono, czy kontakt z pyłem przemysłowym wiąże się z występowaniem przewlekłych objawów oddechowych. Wyniki przedstawiono w tabeli:

	Objawy: tak	Objawy: nie	Suma
Kontakt z pyłem: tak	30	70	100
Kontakt z pyłem: nie	10	90	100

W tym przypadku a = 30, b = 70, c = 10, a d = 90. Zatem:

OR = (30 × 90) / (70 × 10) = 2700 / 700 = 3,86

Szanse wystąpienia objawów były około 3,86 razy większe wśród osób mających kontakt z pyłem niż wśród osób bez takiego kontaktu. Jest to opis związku obserwowanego w danych. Nie wolno na tej podstawie automatycznie stwierdzić, że kontakt z pyłem spowodował objawy, jeżeli badanie nie miało odpowiedniego schematu, kontroli zakłóceń i właściwej kolejności czasowej.

Dla porównania: ryzyko objawów wynosiło 30/100 = 0,30 w grupie eksponowanej i 10/100 = 0,10 w grupie nieeksponowanej. Ryzyko względne wynosi więc 3,00, a nie 3,86. OR i RR są różnymi miarami. Przy rzadkich zdarzeniach ich wartości mogą być zbliżone, ale przy częstszych zdarzeniach OR zwykle bardziej oddala się od 1 niż RR (Bland i Altman, 2000; Szumilas, 2010).

5. Przykład drugi: badanie kliniczno-kontrolne

Załóżmy, że badacze porównali 80 osób z rozpoznaniem określonej choroby neurologicznej i 80 osób bez tego rozpoznania. Wśród przypadków 48 osób zgłosiło wcześniejszą ekspozycję na czynnik środowiskowy, natomiast w grupie kontrolnej ekspozycję zgłosiło 30 osób.

	Choroba: tak	Choroba: nie
Ekspozycja: tak	48	30
Ekspozycja: nie	32	50

Iloraz szans wynosi:

OR = (48 × 50) / (30 × 32) = 2400 / 960 = 2,50

W tym badaniu szanse wcześniejszej ekspozycji były 2,5 raza większe wśród osób z chorobą niż wśród osób z grupy kontrolnej. W badaniu kliniczno-kontrolnym nie obliczamy zwykle bezpośrednio ryzyka zachorowania na podstawie proporcji przypadków i kontroli, ponieważ liczebności obu grup są ustalane przez projekt badania. OR jest jednak naturalną miarą związku dla takiego schematu, pod warunkiem właściwego doboru przypadków i kontroli (von Elm i in., 2007).

6. Przedział ufności dla ilorazu szans

Sama wartość OR jest oszacowaniem z próby. Aby pokazać jego niepewność, raportuje się zwykle 95-procentowy przedział ufności. W przybliżeniu dla dużych prób najpierw oblicza się błąd standardowy logarytmu OR:

SE[ln(OR)] = √(1/a + 1/b + 1/c + 1/d)

Następnie wyznacza się przedział na skali logarytmicznej:

ln(OR) ± 1,96 × SE[ln(OR)]

Po wykonaniu obliczeń granice przekształca się z powrotem przez funkcję wykładniczą. W praktyce badacz zazwyczaj korzysta z programu statystycznego, ale powinien rozumieć, skąd bierze się wynik.

Jeżeli 95% CI dla OR obejmuje wartość 1, dane nie dostarczają wystarczających podstaw do odrzucenia hipotezy o braku związku na poziomie alfa = 0,05, przy założeniu zastosowanej metody i modelu. Nie oznacza to, że hipoteza zerowa została udowodniona ani że prawdopodobieństwo jej prawdziwości wynosi 95% lub 5%.

Przykładowy zapis: OR = 2,50; 95% CI: 1,30–4,81; p = 0,006. Oznacza to, że oszacowany związek wskazuje na 2,5-krotnie większe szanse ekspozycji w grupie przypadków, a przedział ufności opisuje niepewność oszacowania. Wnioski powinny uwzględniać także znaczenie kliniczne, jakość pomiaru i możliwe zmienne zakłócające.

7. OR a ryzyko względne i różnica ryzyka

W tabelach 2×2 można obliczyć kilka miar:

• ryzyko w grupie eksponowanej: a/(a+b);
• ryzyko w grupie nieeksponowanej: c/(c+d);
• ryzyko względne: [a/(a+b)] / [c/(c+d)];
• różnica ryzyka: a/(a+b) − c/(c+d);
• iloraz szans: (a×d)/(b×c).

Wybór miary zależy od projektu badania, pytania badawczego i sposobu interpretacji. OR jest wygodny w regresji logistycznej i badaniach kliniczno-kontrolnych, ale dla odbiorcy klinicznego może być mniej intuicyjny niż ryzyko bezwzględne. Dlatego — jeżeli projekt na to pozwala — warto raportować OR razem z częstościami zdarzeń, a czasem także z RR lub różnicą ryzyka.

Przykład pokazuje, dlaczego OR może być mylący. Jeśli ryzyko wzrasta z 10% do 20%, RR wynosi 2,00, natomiast OR wynosi (0,20/0,80)/(0,10/0,90) = 2,25. Przy wzroście z 40% do 60% RR nadal wynosi 1,50, ale OR wynosi (0,60/0,40)/(0,40/0,60) = 2,25. Ta sama wartość OR może więc odpowiadać różnym różnicom ryzyka, zależnie od ryzyka bazowego.

8. Przykład praktyczny: interpretacja raportu

W badaniu pielęgniarskim oceniono związek między niewystarczającą jakością snu a objawami wypalenia zawodowego. Po zbudowaniu tabeli 2×2 uzyskano OR = 1,80; 95% CI: 1,10–2,95.

Poprawna interpretacja brzmi: w badanej próbie osoby z niewystarczającą jakością snu miały 1,8 raza większe szanse występowania objawów wypalenia niż osoby bez tego problemu; 95-procentowy przedział ufności wynosił od 1,10 do 2,95.

Niepoprawne byłyby sformułowania: „ryzyko wypalenia wzrosło dokładnie o 80%”, „sen powoduje wypalenie” albo „istnieje 95% prawdopodobieństwa, że prawdziwy OR znajduje się w tym przedziale”. Pierwsze zdanie zamienia OR na RR, drugie sugeruje przyczynowość bez uzasadnienia, a trzecie błędnie interpretuje przedział ufności.

9. Co w przypadku zera w komórce?

Jeżeli jedna z komórek ma wartość zero, bezpośredni wzór może dać OR równe zero albo nieskończoność. Nie oznacza to automatycznie, że związek w populacji jest doskonale określony. Zwykle wskazuje na małą próbę, rzadkie zdarzenie, separację danych albo problem z konstrukcją kategorii.

W takiej sytuacji należy rozważyć test dokładny, przedział ufności odpowiedni dla małych liczebności, metodę dokładną lub model z regularyzacją. Proste dodanie 0,5 do każdej komórki bywa stosowane jako przybliżenie, ale nie powinno być przedstawiane jako uniwersalne rozwiązanie. Metodę trzeba opisać w części statystycznej pracy.

Najczęstsze błędy

• Mylenie OR z prawdopodobieństwem. OR = 3 nie oznacza 3-procentowego ani 300-procentowego prawdopodobieństwa.
• Mylenie OR z RR. Iloraz szans porównuje szanse, a nie bezpośrednio ryzyko.
• Pomijanie kategorii referencyjnej. Bez wskazania, która grupa jest punktem odniesienia, interpretacja jest niepełna.
• Odwracanie tabeli bez zauważenia skutku. Zmiana kategorii referencyjnej zmienia OR na jego odwrotność.
• Wnioskowanie przyczynowe z tabeli obserwacyjnej. Związek statystyczny nie jest sam w sobie dowodem przyczynowości.
• Raportowanie wyłącznie wartości p. Należy podać OR, przedział ufności, liczebności i — jeśli to możliwe — częstości bezwzględne.
• Ignorowanie rzadkości zdarzenia. Przy częstym zdarzeniu OR może znacznie przewyższać RR.
• Brak kontroli zmiennych zakłócających. Surowy OR z tabeli 2×2 może różnić się od OR skorygowanego w regresji logistycznej.
• Nieprawidłowe założenie niezależności obserwacji. Dane sparowane lub powtarzane wymagają metod dostosowanych do zależności, a nie zwykłego OR z tabeli niezależnych obserwacji.

10. Jak raportować iloraz szans?

Dobry opis powinien zawierać: definicję ekspozycji i wyniku, liczebności w czterech komórkach tabeli, kategorię referencyjną, OR, 95% CI oraz — w razie potrzeby — wartość p i metodę obliczeń.

Przykładowe zdanie: W porównaniu z osobami bez kontaktu z pyłem osoby eksponowane miały większe szanse występowania objawów oddechowych (OR = 3,86; 95% CI: wartość należy podać na podstawie obliczeń; p < 0,05). Wynik opisuje związek w badanej próbie i nie przesądza o jego przyczynowym charakterze.

W badaniach obserwacyjnych warto stosować zasady STROBE, a w badaniach eksperymentalnych jasno opisać sposób randomizacji, analizę i kategorię odniesienia. Samo umieszczenie OR w tabeli wyników nie zastępuje interpretacji klinicznej lub społecznej.

Co warto zapamiętać?

1. Iloraz szans z tabeli 2×2 obliczamy ze wzoru OR = (a×d)/(b×c).
2. OR porównuje szanse, a nie bezpośrednio prawdopodobieństwa.
3. OR = 1 oznacza brak związku w sensie ilorazu szans; OR > 1 wskazuje na większe szanse, a OR < 1 na mniejsze.
4. OR nie jest tym samym co ryzyko względne. Różnica staje się szczególnie ważna, gdy zdarzenie nie jest rzadkie.
5. W badaniu kliniczno-kontrolnym OR jest naturalną miarą związku, ponieważ projekt nie pozwala zwykle na bezpośrednie wyznaczenie ryzyka.
6. Wynik należy podawać razem z 95% przedziałem ufności, liczebnościami i informacją o grupie referencyjnej.
7. Istotność statystyczna, wielkość OR i znaczenie praktyczne to trzy odrębne kwestie.
8. Przed interpretacją trzeba sprawdzić projekt badania, niezależność obserwacji, małe liczebności i możliwość występowania zmiennych zakłócających.

Iloraz szans jest zwięzłą i elastyczną miarą związku, ale jego poprawna interpretacja wymaga znajomości konstrukcji tabeli, różnicy między szansami a ryzykiem oraz ograniczeń projektu badania. Właśnie dlatego OR powinien być traktowany jako element pełnej analizy, a nie jako samodzielny dowód ważności lub przyczynowości obserwowanego zjawiska.

Źródła i dalsza lektura

1. Bland, J. M.; Altman, D. G. (2000). The odds ratio. BMJ, 320(7247), 1468. DOI: 10.1136/bmj.320.7247.1468.
2. Szumilas, M. (2010). Explaining odds ratios. Journal of the Canadian Academy of Child and Adolescent Psychiatry, 19(3), 227–229. Pełny opis źródła.
3. von Elm, E.; Altman, D. G.; Egger, M.; Pocock, S. J.; Gøtzsche, P. C.; Vandenbroucke, J. P.; STROBE Initiative (2007). The Strengthening the Reporting of Observational Studies in Epidemiology (STROBE) Statement: Guidelines for Reporting Observational Studies. PLoS Medicine, 4(10), e296. DOI: 10.1371/journal.pmed.0040296.
4. von Elm, E.; Altman, D. G.; Egger, M.; Pocock, S. J.; Gøtzsche, P. C.; Vandenbroucke, J. P.; STROBE Initiative (2007). The Strengthening the Reporting of Observational Studies in Epidemiology (STROBE) Statement: Explanation and Elaboration. PLoS Medicine, 4(10), e297. DOI: 10.1371/journal.pmed.0040297.
5. Kirkwood, B. R.; Sterne, J. A. C. (2003). Essential Medical Statistics. 2nd edition. Blackwell Science. Informacja wydawcy / źródło.
6. Altman, D. G.; Bland, J. M. (2000). Statistics notes: Diagnostic tests 2: predictive values. BMJ, 309(6947), 102. DOI: 10.1136/bmj.309.6947.102.